透视仿射对应,仿射对应,仿射变换及其关系,图形的仿射性质和仿射变换的特例

章主要讨论透视仿射对应 仿射对应 仿射变换及其关系 图 形的仿射性质和仿射变换的特例 关键词 关键词 透视仿射对应 仿射变换 仿射对应 仿射坐标 图形的仿射 性质 单比 同素性 结合性 平行性 引言 在欧氏平面上建立仿射坐标系 研究仿射变换下图形的仿射性质 单比 同素性 结合性 平行性 及仿射变换的特例 正交变换 位似变换 相似变 换 压缩变换等 为以后学习射影变换和图形的射影性质打下基础 1 预备知识 1 11 1 单比单比 定义定义 1 1 设 是有向直线上的两个定点 是这有向直线的另一点 1 P 2 PP 分有向线段为两个有向线段和 则其量数的比叫做三点P 12 p p 1 p p 2 p p 1 2 PP P P 的单比 12 P P P 记为 即 其中 叫做基点 叫做分点 12 PP P 12 PP P 1 2 PP P P 1 P 2 PP 显然 当在 之间时 P 1 P 2 P 12 0p p p 当在 之外时 P 1 P 2 P 12 0p p p 当与重合时 P 1 P 12 0p p p 当与重合时 不存在P 2 P 12 PP P 当为线段的中点时 1 P 1 P 2 P 12 PP P 如果已知一直线上三点的单比 另一直线上两点 则在第二直 12 PP P 12 pp 线上可以唯一地确定一点而使 p 12 p p p 12 PP P 现在我们将共线三点的单比用坐标表示 定理定理 设共线三点的仿射坐标顺次为则 123 P P P 112233 x yxyxy 单比 这就是单比的坐标表示 123 p p p 3131 3232 xxyy xxyy 1 21 2 透视仿射对应透视仿射对应 1 2 1 透射仿射对应的分类 一般透射仿射对应可以分为两个 l A A B B C C a a X 1 二直线间的透视仿射对应 定义定义 1 1 在一平面上设有直线和 a a 为此平面上与 均不平行的另一直la a 线 通过直线上各点分别作与a A B C 平行的直线 顺次交于这样 图 1 l a A B C 使得到直线上点到上点的一个一一对应 称为透视仿射对应 a a 如果直线与相交 则交点是透视仿射对应的二重点或称自对应点 a a 如是自对应点 X 2 二平面间的透视仿射对应 定义定义 2 2 设有两个平面与 通 过平面内各点引平行线交 A B C 于这样使平面内的点 A B C 与平面内的点建立一种一一对应 图 2 关系 这种对应叫做到的透视仿射对应 如果平面和相交于直线 则上的每个点都是自对应点 并且在平 mm 面和间的透视仿射对应下的所有自对应点都在其交线上 直线叫做透 mm 视轴 简称轴 如果平面和平行则无自对应点 也不存在透视轴了 显然 透视仿射对应由平行射影所得到的对应 1 2 2 透视仿射对应的性质 透视仿射对应具有如下的性质 1 透视仿射对应保持同素性 即透视仿射对应使点对应点 直线对应直线 我们称这个性质为同素性 2 透视仿射对应保持结合性 如图 2 中 点在直线上 经过透视仿射对应后 其对应点在 A B Cn A B C 对应直线上 这就是说 透视仿射对应保持点和直线的结合关系 n 3 透视仿射对应保持共线三点的单比不变 如图 2 中 平面内的共线三点 经过透视仿射对应后 变为平面内 A B C 的共线三点由于互相平行 所以有 即 A B C AA BB CC ACA C BCB C ABCA B C A B C D A B C D n n m l M 4 透视仿射对应保持二直线的平行性 图 3 中 在平面内 直线 ab cd 经过平面和间的透视仿射 对应后 对应 对应 a a b b 对应 对应 d c d d 容易可得 图 3 ab cd 1 31 3 仿射对应仿射对应 1 3 1 仿射对应的分类 我们所讨论的仿射对应有两种情况 1 两直线间的仿射对应 定义定义 1 1 设同一平面内有条直线 顺次表示到 n 12 n a aa 121 n 1 a 2 a 到 到的透视仿 2 a 3 a 1n a n a 射对应 经过这一串透视仿射对应 使上的点与上的点建立了一一对应 1 a n a 这个对应称为到的仿射对应 1 a n a 用表示 于是有 1221nn 即间的一一对应 图 4 1 n aa 定义定义 2 2 两直线间的仿射变换的另一种定义 两直线之间的一个一一 对应 如果满足任何三点的单比不变 那么这种对应叫做两直线间的仿射对应 2 两平面间的仿射对应 定义定义 1 1 设有个平面 如果在平面偶 121 n 之间都存在着透视仿射对应 即每两个相邻平面 111 iin 之间都存在着平行投影 这样在平面与的点之间就建立一种一一对应 这种对 应叫做平面到的仿射对应 既有限个透视仿射对应的乘积为一个仿射对应 图 5 表示经过四次平行投影而得到的平面到的仿射对应 l a b c d a b c d 1 A 1 B 1 C 2 A 2 B 2 C i A i B n B i C n A n C 1 a 2 a i a n a A B C 1 B 1 A 1 C 2 B 2 A 2 C 3 C 3 A 3 B A B C 1 a 2 a 3 a 图 5 定义定义 2 2 两平面间的仿射对应的另一种定义 两个平面与之间的一个一 一对应 如果满足以下条件 任何共线点的象仍是共线点 任何共线三点的单比不变 则此一一对应叫做平面与的仿射对应 1 3 2 仿射对应和透视仿射对应的关系 将透视仿射对应可以看作仿射对应 但是仿射对应不一定透视仿射对应 因 为在透视仿射对应中 连接对应点的直线相互平行 但是在仿射对应中 连接对应 点的直线不一定相互平行 1 3 3 仿射对应的性质 仿射对应具有下列性质 1 仿射对应保持同素性和结合性 2 仿射对应保持共线三点的单比不变 3 仿射对应保持直线的平行性 2 仿射变换 下面介绍仿射变换的三种定义 定义定义 1 1 如果平面与重合 则到的仿射对应叫做平面到自身的仿 射变换 定义定义 2 2 平面上点之间的一个线性变换中 如果 111 222 xa xb yc ya xb yc 则这种变换叫做仿射变换 11 22 0 ab ab 定义定义 3 3 平面内的点之间的一个一一变换 如果满足以下条件 1 任何共线点的象仍是共线点 2 任何共线三点的单比不变 则此一一变换叫做平面内的仿射变换 2 1 2 1 仿射变换的性质仿射变换的性质 仿射变换具有下列性质 1 仿射变换保持同素性和结合性 2 仿射变换保持共线三点的单比不变 3 仿射变换保持直线的平行性 2 2 2 2 仿射变换的代数表示式仿射变换的代数表示式 设在平面内给定仿射坐标系 如果有一个仿射变换把变为 1 2 Oee 1 2 Oee 坐标系 把点变为点 其中都是对于 1 2 Oee P x y Px y x yx y 的坐标 1 2 Oee 现在要求出与的关系 假定向量在坐标系中的坐标 x y x y 12 e e 1 2 Oee 分别为 点在坐标系中的坐标为 11 211222 a aaa O 1 2 Oee 1323 aa 图 6 在图 6 中 由于仿射变换保持平行性不变 所以为平行四边形 xy O P P P 分别为的象 又由于仿射变换保持单比不变 所以点在坐标系 xy P P xy P P P 中的坐标为 1 2 Oee x y O 1 e 2 e p y p x p 1 e o 2 e y p p x p 因为 opooo p 所以 13 123 212 opa ea exeye 13 123 211 121 212 122 2 a ea ex a ea ey a ea e 但是 12 opx ey e 比较以上两个等式得 111213 212223 xa xa ya ya xa ya 这就是仿射变换的代数表示式 推论推论 不共线的三对对应点决定唯一一个仿射变换 例例 1 1 求使三点顺次变到点 0 0 1 1 1 1OEP 的仿射变换 2 3 2 5 3 7OEP 解解 设所求仿射变换为 111213 212223 xa xa ya ya xa ya 于是有 13 2a 23 3a 111213 2aaa 212223 5aaa 111213 3aaa 212223 7aaa 解方程组 得 13 2a 23 3a 11 1 2 a 12 1 2 a 21 4a 22 6a 故所求的仿射变换为 11 2 22 463 xxy yxy 例例 2 2 试确定仿射变换 使轴 轴的象分别为直线 且yx10 xy 10 xy 点的象为原点 1 1 解解 设式为所求变换的逆变换表示式 于是有 111213 212223 xa xa ya ya xa ya 的象为0 x 111213 0a xa ya 的象为0y 212223 0a xa ya 但由题设的对应直线0 x 10 xy 的对应直线 0y 10 xy 所以 与表示同一直线 111213 0a xa ya 10 xy 即 131112 111 aaa h 因此 有 xhxhyh 同理 由于 与表示同一直线 212223 0a xa ya 10 xy 所以 有 xkxkyk 又因为的象为 1 1 0 0 所以 1h 1k 代入 得所求变换式的逆变换式为 1 1 xxy yxy 解出 得所求变换式为 11 22 11 1 22 xxy yxy 3 图形的仿射性质 定义定义 图形经过任何仿射变换后都不变的性质 量 称为图形的仿射性质 仿 射不变量 由以上可知同素性 结合性是图形的仿射性质 单比是仿射不变量 关于图形 的仿射性质 下面再利用仿射变换的代数表示推论一些仿射性质与仿射不变量 定理定理 1 1 两条平行直线经过仿射变换后仍变为两条平行直线 证明证明 设在笛氏坐标系下 已知二平行直线 12 l l 1111 0la xb yc 2222 0la xb yc 其中 经过仿射变换后 分别变为 111 222 abc abc 111211121 1121 0abxabyabc 2122212221122 0abxabyabc 令 则 于是 11 22 ab k ab 1 2 0 c c 1112 2222 ab k ab 1112 2222 ab k ab 1 112 2122 ab k ab 但是 1 1121 21222 abc k abc 因为否则将有 因此 1 112121222 abck abc 12 ckc 所以 表示的两直线平行 由定义 1 得到下面的两种推论 推论推论 1 1 两条相交直线经仿射变换后仍变成两条相直线 推论推论 2 2 共点的直线经仿射变换后仍变为共点的直线 定理定理 2 2 两平行线段之比是仿射不变量 证明 证明 设在笛氏直角坐标系下 已知四点且 1 2 3 4 iii P x yi 经过仿射变换后变为 1234 PPPPA iii P x y iii P xy 则由定理 1 知 所以 1234 P PP P A 4321 2143 yyyy k xxxx 4321 2143 yyyy k xxxx 由仿射变换可得 111213 212223 iii iii xa xa ya ya xa ya 1 2 3 4i 因此有 22 2 2121 1221 222 34 43 4343 1 1 xxyyPPxxk PP xxk xxyy 11211221 21 4311431243 axxayyxx xxaxxayy 111221 21 43111243 aa kxxxx xxaa kxx 又 1221 3443 PPxx PPxx 所以 12 12 34 34 P P PP PP P P 推论推论 一直线上两线段之比是仿射不变量 定理定理 3 3 两个三角形面积之比是仿射不变量 证明证明 在笛氏直角坐标系下 已知不共线三点 则 1 2 3 iii P x yi 的面积为 123 PP P 123 p p p S 的绝对值 123 p p p S 11 22 33 1 1 1 2 1 xy xy xy 经过仿射变换后变为 i P iii Px y 1 2 3i 则 111213 212223 iii iii xa xa ya ya xa ya 1 2 3i 的面积为 123 PP P 的绝对值 1 2 3 123 123 1 2 111 PP P xxx Syyy 的绝对值 11 1121131121221311312313 21 1221232122222321322323 1 2 111 a xa yaa xa yaa xa ya a xa yaa xa yaa xa ya 的绝对值 111213123 212223123 1 2 001111 aaaxxx aaayyy 1 2 3 11221221PP P a aa aS 所以 123 1 2 3 11221221 P P P PP P S a aa a S 同理 另一个三角形与其象三角形面积之比 123 QQ Q 123 QQ Q 123 123 11221221 Q Q Q Q Q Q S a aa a S 所以 1 2 31 2 3 123123 PP PPP P Q Q QQ Q Q SS SS 根据定理 3 可得下面的两个推论 推论推论 1 1 两个多边形面积之比是仿射不变量 推论推论 2 2 两个封闭图形面积之比是仿射不变量 例例 1 1 求一仿射变换 将椭圆变成一个圆 22 22 1 xy ab 解解 设 x x a y y b 则变换 是一个仿射变换 椭圆 经过这个仿射变换后的象 x x a y y b 22 22 1 xy ab 为 22 1xy 这是一个圆 当然也可以经过一个仿射变换将圆变为椭圆 如例 2 由于圆和椭圆为仿射对应图形 所以可以从圆的某些性质导出椭圆的一些 性质 如图 7 已知及其内切圆 内切圆与三边形的切点顺次为 ABCA L M N 则三线共点 经过放射变换 圆的象为椭圆 三角形的象仍为三角 AL BM CN 形 又由于仿射变换保持结合性 所以图 7 的对应图形为图 8 显然有 三线共点 A L B M C N A B C N M L A B C N M L 图 7 图 8 例例 2 2 求椭圆的面积 解解 设在笛氏直角坐标系下椭圆的方程为 22 22 1 xy ab 经过仿射变换 xx a yy b 其对应图形为圆 222 xya 如图 9 在仿射变换 之下 所以 AA BB OO 对应 其中 AOB A OB A A 有 图 9 AOBA OB SS AA 椭圆面积圆面积 所以 11 22 a aba 椭圆面积 因此所给椭圆的面积为 ab 4 仿射变换的特殊情况 仿射变换的特殊情况有几种 1 正交变换 定义定义 平面上的变换 如果保持任何两点的距离不变 即当时 AA BB 必然有 这样的变换叫做平面上的正交变换 ABA B A A B B O x 正交变换的代数表示式为 111213 212223 xa xa ya ya xa ya 正交变换的系数必顺满足以下条件 22 1131 22 1222 11 122122 1 1 0 aa aa a aa a 2 位似变换 定义定义 在平面上取定一点 规定的象即自己 平面上其他点与其象点SSSP 满足以下条件 P 点在直线上 P SP 单比 为常数 则这种变换叫做位似变换 常数叫做位 P PSk k0 1 k 似比 定点叫做位似中心 S 图 10 图 11 在位似变换下 除位似中心外 其他任何两点的连线与它们对应点的连线平行 在 图 10 与图 11 分别表示位似比与的情况 其中为位似中心 0k 0k S 为三对对应点 P P Q Q R R 下面求位似变换的代数表示式 取笛氏直角坐标系的原点为位似中心 设点在位似变换下变成点 P x y 则 Px y xkx yky 其中为位似比 k 更一般地 考虑变换 1 2 xkxc ykyc 0k 不难证明 所表示的变换或者是一个以原点为位似中心的位似变换于一个 S R R P P Q Q R R S Q Q P P 平移的乘积 或者是二者之中的一个 当时为平移 当时为位似1k 12 0cc 变换 3 相似变换 定义定义 平面上的变换 如果任何两点 与其象点 满足以下条件PQ P Q 为常数 P Q k PQ k 则这种变换叫做相似变换 叫做相似比 k 相似变换是正交变换的推广 时即为正交变换 正交变换保持图形的大1k 小与形状都不变 而相似变换只保持图形的形状不变 但是不一定保持大小不变 相似变换可以表示为一个正交变换与一个位似变换的乘积 所以在笛氏直角坐标 系下 相似变换的代数表示式为 1 2 cossin sincos xr