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利用导数研究方程的根陕西省 武功县 张磊方程的根就是与之对应的函数的零点,通过导数的方法研究函数的性质后可以确定函数零点的情况,这就是使用导数的方法研究方程的根的基本思想.利用导数研究方程根的过程中用的主要数学思想方法就是数形结合,即首先通过导数研究函数的性质,根据函数的性质画出函数的图像,然后根据函数的图像确定方程根的情况.本题型作为高考题型在逐年升温,现从近几年高考试题中列举数例作分类探讨如下:一、函数y=f(x)的图像与x轴的交点问题.1、(09江西)设函数f(x)=x392x2+6xa对于任意的实数x , f(x)m恒成立,求m的最大值.若方程f(x)=0有且仅有一个实根,求a的取值范围.解析: 略 f(x)=3x29x+6=3(x1)(x2)因为当x0 ;当1x2时 , f(x)2时, f(x)0所以当x=1时, f(x)取得极大值,f(1)=52 a ;当x=2时f(x)取得极小值 f(2)=2ay=f(x)草图如下: y y1 2 x 1 2 x 图1 图2要使f(x)=0有且仅有一个实根,必须且只需f(x)取得极小值 f(2)0或f(x)取得极大值f(1)52或a0fx极小值=f2=2-a0 解得2a0)、求函数y= f(x)的单独区间、若y= f(x)的图像与直线y=1恰有两个交点,求a的取值范围。解: 略 f(x)=x3+ax22a2x=x(x+2a)(xa)其导函数的图像如下左图: y y=1 y=1-2a 0 a -2a 0 a x -2a 0 a xf(x)极小值 =f(-2a)=-53a4 f(x)极小值 =f(a)=712a4f(x)极大值 =f(0)= a4y= f(x)的草图如上中图、右图,由图知,要使y= f(x)的图像与直线y=1恰有两个交点,只要-53a41712a4或a44127 或 0a0)的图像与x正半轴有且只有三个不同的交点,因为x=2x-8+6x=2x-1(x-3)x要使(x)=0有三个不同的正实数根,必须且只需x极大值=1=m-70x极小值=3=m+6ln3-150 解得7m15-6ln3所以存在实数m,使得y= f(x)的图像与y=g(x)图像的图像有且只有三个不同的交点,m的取值范围为(7 , 15-6ln3)变式引申:若y= f(x)的图像与y=g(x)图像的图像有且只有一个不同的交点,求m的范围
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