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文档简介

一、填空题: 1设函数是由所确定,则 2设幂级数的收敛区间为,则幂级数的收敛区间为 3设函数的付氏级数的和函数为,则4设,其中具有连续的二阶偏导数,则 = 5设幂级数在处收敛,而在处发散,则幂级数的收敛域为 6函数关于的幂级数展开式为 7设函数,则 8曲线的切线中,与平面垂直的切线方程是9设是由方程 为常数所确定的二元函数,则 10.旋转抛物面的切平面: , 平行与已知平面.11微分方程的通解为 ,的通解为 12.曲线在点处的切线方程为 3函数的麦克劳林级数的第5项为,收敛域为.14.已知函数(其中是大于的实数),有一个极值点, 则, 此时函数 的极大值为 3.15.试写出求解下列条件极值问题的拉格朗日函数:分解已知正数为三个正数之和,使的倒数之和最小16函数的麦克劳林级数的收敛域为,-30二、单项选择题:请将正确结果的字母写在括号内。1二元函数在点处两个偏导数,存在是在该点连续的 【 D 】(A)充分条件 (B)必要条件(C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件2函数在点处两个偏导数,存在是在该点可微分的 【 B 】(A)充分条件 (B)必要条件(C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件3设是由方程所确定的隐函数,其中是可微函数,为常数,则必有 【 A 】 (A) (B)(C) (D)4微分方程特解的形式为 【 C 】(A) (B) (C) (D)5若级数收敛,则下列结论正确的是 【 B 】 (A)收敛 (B)收敛(C)收敛 (D)收敛6下列级数中条件收敛的是 【 B 】(A) (B) (C) (D)7曲面在点处的切平面方程为 【 C 】(A) (B) (C) (D) 8 原点是函数的 【 C 】(A)极小值点 (B)极大值点(C)驻点却不是极值点 (D)非驻点9下列方程中是一阶线性微分方程是 【 D 】(A) (B)(C) (D)10设为常数,则级数 【 B 】 (A)绝对收敛 (B)条件收敛 (C)发散 (D)收敛性与有关11.设是函数的全微分,则其中一个为 (A) (B) (C) (D) 12.级数的敛散情况是 【 C 】(A) 条件收敛 (B)绝对收敛 (C) 发散 (D)敛散性不能确定三、计算下列各题: 1.设,其中函数具有二阶连续偏导数,求,解: ,.2. 设,函数可导,且方程确定了函数,求【 解 】 因,方程两端对求偏导,得, 解得,故。 3. 求级数的和。【 解 】考查幂级数,因 ,所以,当,即时,幂级数绝对收敛。在处,原幂级数成为收敛。故,幂级数的收敛域为,在内,设,上式两边对求导,该式两边从0到积分,得 又,因此故 4求原点到曲面的最短距离。【 解 】设点为曲面上任一点,则该点与原点距离的平方和为:,只要求距离的平方和最小即可,约束条件:,设 由 ,解得 故,原点到曲面的最短距离为: 5求幂级数的收敛域及和函数。【 解 】因 所以,当,即时,幂级数绝对收敛。在处,原幂级数成为,收敛。故,幂级数的收敛域为在内,设, 上式两边对求导, 上式两边从0到积分,得 又,因此6求幂级数的收敛域及和函数。 【 解 】因 所以,半径,幂级数在,即在内绝对收敛。在处,原幂级数成为,发散;在处,原幂级数成为,发散。故,幂级数的收敛域为。在内,设,则。在内,再设,则 上式两边对求偏导,得 因此 , 7求微分方程的通解。【 解 】 原方程可化为 是一阶线性微分方程。通解为 8.一本长方形的书,每页所印文字部分要占150平方厘米,上、下空白处各要留1.5厘米宽,左、右空白处各要留1厘米宽,应用拉格朗日乘数法求每页纸长、宽各为多少时,耗纸最省?解:设每页所印文字部分宽,长为,则每页纸宽为,长为,每页纸面积为,且构造Lagrange函数令,得,;由实际意义知S最小值存在。故当每页纸宽为12cm,长为18cm时耗纸最省.四、证明下列各题: 1设函数具有连续的偏导数,且满足,试证仅为的函数。【 证 】设,则因,所以,故仅为的函数。2设方程确定了隐函数,其中F具有连续的偏导数,试证【 证 】方程两边对求偏导,有解得 ,方程两边对求偏导,有,解得 ,于是 3(1)验证函数满足微分方程;(2)利用(1)的结果求幂级数的和函数。【 证 】(1)因,故 (2)方程是一阶线性微分方程。通解为 又,代入通解,得。于是,幂级数的和函数 4设,均为方程的特解,且常数。求证:为该方程通解。【 证 】因与是原方程所对应的齐次方程 的解又常数,所以与线性无关。于是是齐次方程的通解再由方程解的结构可知方程的通解为即 5设正项数列单调递减,且发散。试判断级数的敛散性,其中。如有确定结论,请给出证明;若无确定结论,请举例说明。【证】 因正项数列单调递减,根据单调有界数列必有极限可得 若,则与发散相矛盾。故 ,于是 ,因此,正项级数收敛。西南交通大学网络教育2009年春季入学考试模拟题高等数学(一) 一、 填空题1 、2 3 4 5设 y则6设 y则7设 y则8 9 10设 则 11 012 13二、 选择题:1. 函数是( A ) A. 奇函数B. 偶函数C. 非奇非偶函数D. 有界函数 2. 函数的周期是( B ) A. 2B. C. D. 0 3. ( C ) A. 0B. 1C. 2D. -2 4. ( B ) A. B. eC.1 D. 5. 设曲线与直线x=2,y=2的交点为P,则曲线在P点的切线方程是( A ) A ex+ey-z=e B ex+ey-z=0 C 2x+y-3z=0 D 4x-y-4=0 6. 设 y则( C ) A. B. C. D. 7. 在点可导是在点连续的( A ) A. 充分条件B. 必要条件C. 充分必要条件D. 无关条件 8. 函数单调减少的区间是( A ) A. B. C. D. 9. 曲线的水平渐近线方程为( D ) A. B. C. D. 10. ( A )A. B. C. D. 11. 设 则=( D ) A. B. C. D. 12. 当,则=( A ) A B 1 C D 0 13. ( C ) A. B. C. D. 14. 积分( D ) A. B. C. D. 0 15. 橢球面 在点处的切平面是( C ) A. B C. , D. 16. 判断级数是( A )A 绝对收 . B 条件收敛. C 发散 . D 以上都不正确 . 17. 设要使在处连续,则( D ) A. 0 B. 1 C. D. e 18. 方程的通解是( B ) A. B. C. D. 19. ( A )A B C D 20. 曲面:上任何一点处的切平面各坐标舳上的截距之和等于( C )A. B. C. D. 西南交通大学网络教育2009年春季入学考试模拟题高等数学(二) 一、填空1 2 4 球面 在点处的切平面是( ) ;5当,则6当,则7幂级数的收敛半径是8幂级数的收敛半径是 19幂级数的收敛半径是10函数11函数二、选择题1. 函数是( A ) A. 奇函数B. 偶函数C. 非奇非偶函数D. 有界函数 2. 函数的周期是( B ) A. 2B. C. D. 0 3. ( C ) A. 0B. 2C. 1D. -2 4. ( B ) A. B. eC.1 D. 5. 设曲线与直线x=2的交点为P,则曲线在P点的切线方程是( A ) A 4x-y-4=0 B x+y-1=0 C 2x+y-3=0 D 2x-y+2=0 6. y则( B ) A. B. C. D. 7. 在点可微是在点连续的( A ) A. 充分条件B. 必要条件C. 充分必要条件D. 无关条件 8. 函数单调减少的区间是( C ) A. B. C. D. 9. 曲线的水平渐近线方程为( D ) A. B. C. D. 10. ( B ) A. B. C. D. 11. 设 则( C ) A. B. C. D. 12. 当,则( A ) A B 1 C D 0 13. ( C ) A. B. C. D. 14. 广义积分( D ) A. B. C.发散 D. 15. 曲面在点(1, 2, 5)处的切平面方程是( B ) A. B C. ,D. 16. 判断级数是( A )A 绝对收 . B 条件收敛. C 发散 . D 以上都不正确 . 17. 设要使在处连续,则( D ) A. 0 B. 1 C. D. e 18. 方程的通解是( C ) A. B. C. D. 19. ( A )A B C D 20. 设,则=( C )A. B. C. D. 西南交通大学网络教育2009年春季入学考试模拟题高等数学(三)一、填空题1 2 3 4 5设 y则6设 y则7设 y则8 9 10设 则 11 012 13二、选择题:1. 函数是( A ) A. 奇函数B. 偶函数C. 非奇非偶函数D. 有界函数 2. 函数的周期是( C ) A. 2B. C. D. 0 3. ( B ) A. 0B. 1C. 2D. -2 4. ( D ) A. B. eC.1 D. 5. 设曲线与直线的交点为P,则曲线在P点的切线方程是( A ) A B 4x-y-4=0 C 2x+y-3=0 D 2x-y+2=0 6. y则( B ) A. B. C. D. 7. 在点可微是在点可导的( C ) A. 充分条件B. 必要条件C. 充分必要条件D. 无关条件 8. 函数单调增加的区间是( B ) A. B. C. D. 9. 曲线的水平渐近线方程为( D ) A. B. C. D. 10. ( B ) A. B. C. D. 11. ( C )A B 2x C D 12. 当,则( D ) A B 1 C 0 D 13. ( A ) A. 0B. C. D. 14. 广义积分( D ) A. B. C.发散 D. 15. 曲面在点(1, 2, 5)处的切平面方程是( B ) A. B C. ,D. 16. 判断级数是( A )A 绝对收 . B 条件收敛. C 发散 . D 以上都不正确 . 17. 其中=2要使在处连续,则( C ) A. 0 B. 1 C. D. e 18. 方程的通解是( C ) A. B. C. D. 19. ( A )A B C D 20. 设,则=( D )A. B. C. D. 期中考试参考答案:一、单项选择题 C D

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