函数基本要求.doc

第一章 函 数基 本 要 求一、理解函数概念，包括反函数、复合函数、分段函数、初等函数的概念.二、了解函数的四种特性，掌握基本初等函数及其图形.三、会建立简单应用问题的函数关系式.习 题 一1、填空题：（1），则 f(-5)=_; f(0)=_; f(5)=_.（2），则f(0)=_; f=_; f(-x)=_; 2f(x)=_.（3） 在内是_函数.（奇、偶、有界）.2、作出下列函数的草图：（1） ； （2）； 3、设，求 和 ，并指出和中哪个是奇函数？哪个是偶函数？4、（1）设生产与销售某产品的总收益R是产量x 的二次函数，经统计得知：当产量x =0、2、4时，总收益R=0、6、8.试确定总收益R与产量x 的函数关系.（2）某商品供给量Q对价格p的函数关系为 今知当p=2时，Q=30； p=3时Q=50；p=4时，Q=90.求供给量Q对价格p的函数关系.（3）某化肥厂生产某产品1000吨，每吨定价为130元，销售量在700吨以内时，按原价出售，超过700吨时超过的部分需打9折出售，试将销售总收益与总销售量的函数关系用数学表达式表出.5、求下列函数的定义域.（1）y = tan (x+1)； （2）；6、将下列函数分解为简单函数：（1） ； （2）；第一章 单 元 测 验 题1、设,求下列函数值：g (0),g (1) , g (), g (), g (-2).2、设 , 求f (x)的定义域及f ( f (-7 ).3、设 ， 求f (x).4、已知函数 ， 求和.5、证明函数 为奇函数.6、 设 和 ，求 f g ( x ) 和g f ( x ) ,并作出这两个函数的图形.第二章 极 限 与 连 续基 本 要 求一、 理解数列极限和函数极限（包括左极限、右极限）的概念.二、理解无穷小的概念和基本性质；掌握无穷小的阶的比较方法.理解无穷大的概念及其与无穷小的关系.三、 掌握极限的性质和四则运算法则，掌握极限存在的两个准则.四、 会用两个重要极限求极限.五、 理解函数连续性的概念.六、 解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）及其简单应用.习 题 二1、写出下列数列的前五项：（1） ； （2）（3）； （4）.2、用观察的方法判别下列数列是否收敛：（1）； （2）；（3） ； （4）.3、用数列极限的定义证明下列极限.（1） ； （2）.4、求下列基本初等函数的极限（1） ； （2） ； （3）；（4） ； （5） ； （6）；（7）； （8） ； （9）；（10） ； （11） ； （12）；（13）； （14）.5、证明 不存在.6、已知 ， 求， ， ， ， .7、根据极限定义证明（1） ； （2）.8、当时，下列数列哪些是无穷小？（1）； （2） ；（3）； （4）.9、已知函数 xsinx, , lg(2+x), , ，（1）当时，上述函数中哪些是无穷小？哪些是无穷大？（2）当时，上述函数中哪些是无穷小？哪些是无穷大？10、函数 在什么变化过程中是无穷大量，又在什么变化过程中是无穷小量.11、求下列极限（1）； （2）；（3）； （4）.12、计算下列极限：（1） ； （2）；（3） ； （4）； （5）； （6）；（7） ； （8）；13、设 讨论时 f (x) 的极限是否存在，并求 及.14、若 ，求 k 的值.15、利用夹逼定理证明：.16、计算下列极限（1）； （2）；（3），(x为不等于0的常数)；（4）.17、计算下列极限：（1）； （2）；（3）18、计算下列极限.（1）； (2) .19、讨论下列函数的连续性：（1） ； （2）.20、求c和d的值，使 在上连续.21、说明下列每个函数在给出的点处为什么是间断的，并草描函数的图形.（1） ； (2)；(3) ； (4) .22、证明下列方程在给出的区间内存在一个根：（1）在（2，3）； （2），在（1，2）.第二章 单 元 测 验 题1、试求下列极限：（1）； （2）；（3）.2、设 ，问a为何值时，f (x)在整个数轴上连续.3、设，指出函数的间断点，并写出连续区间.4、当时，与为等价无穷小量，求a.第三章 导数与微分基 本 要 求一、理解导数的概念及可导性与连续性的关系，理解导数的几何意义与经济意义.二、熟练掌握常数和基本初等函数的导数（微分）公式、掌握导数（微分）的四则运算法则及复合函数求导法则，掌握反函数与隐函数的求导方法及对数求导法.三、 了解高阶导数的概念并掌握其求法，能熟练求出初等函数的一阶、二阶导数.四、 会用微分进行近似计算.习 题 三1、求在点（0，1）处的切线方程. 2、设函数 ，求 . 3、设函数，为了使f(x)在x=1处连续，且可导，b,c应取什么值.4、假设存在，指出A表示什么？（1）； （2）.5、证明：（1）可导的偶函数的导数是奇函数；（2）可导的奇函数的导数是偶函数.6、求下列函数的导数：（1）； （2）；（3） ； （4）；（5）； （6）；（7） ； （8）；（9） ； （10）.7、设f(x)可导，求下列函数的导数：（1） ； （2）.8、求由点（2，-3）向抛物线所引切线的方程.9、a为何值时，与y=ln x相切？10、求下列函数的导数：（1）； (2)；(3) ； (4)；(5) ； (6)；(7)； (8) .11 、假设F(x)=f (g(x) 且g(3)=6，.12、求下列函数的导数.（1） ； （2）；（3）； （4）；（5） ； （6）；（7）； （8）；13、求下列函数的二阶导数：（1） ； （2）.14、求下列函数的n阶导数.（1）； （2）.15、求下列隐函数的导数：（1） ； （2）；（3） ； （4）；16、用对数求导法求：（1） ； （2）；（3）； （4）；17、对指定的x和dx，求dy.(1)，x=1,； （2）y = cosx ,.18、求下列函数的微分：（1）； （2）；（3）； （4）.22、用微分求下列数的近似值.（1） ； （2）；（3） ； （4）ln(1.002).23、正立方体的棱长x=10米，如果棱长增加0.1米，求此正立方体体积增加的精确值与近似值.第三章 单 元 测 验 题1、设 ,其中g(x)在x=1处连续，且g(1)=6, 求.2、求导数：（1）； （2）；（3）； （4）；(5) y = ln |csc3x+cot3x|；3、用表示：（1）； (2).4、设 ，求.5、求曲线在指定点的切线方程.（1）； （2），（0，ln2）.第四章 中值定理，导数的应用基 本 要 求一、理解罗尔（Rolle）定理、拉格郎日（Lagrange）定理、柯西（ Cauchy）定理的条件和结论，掌握这三个定理的简单应用.二、会用洛必达（L，Hospital）法则求不定式的极限.三、理解函数极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法，会用导数判断函数图形的凹向性，会求拐点，会求函数图形的渐近线（包括水平、垂直及斜渐近线）.会求解较简单的最大值和最小值的应用问题.四、掌握函数作图的基本步骤和方法，会作某些简单函数的图形.习 题 四1、验证下列函数在指定区间满足罗尔定理的条件，并找出所有满足罗尔定理结论的：（1） ，-1，1 ； （2） ， 0，3.2、验证下列函数在指定区间满足拉格朗日中值定理的条件，并找出所有满足结论的：（1）， 0，3 ； （2） , 1,2.3、应用拉格朗日中值定理，证明下列不等式：（1）(x0)； （2）(ab). 4、证明 .5、求下列极限：（1） ； （2）；（3） ； （4）；（5）； （6）；（7） ； （8）； (9) ； (10).6、设连续，试用洛必达法则证明： 7、决定下列函数的单调区间：（1） ； （2）.8、利用函数单调性证明：对任意 ，有 .9、求下列函数的极值：（1）； （2）；（3） ； （4）.10、应用二阶导数确定下列函数的极值：（1） ； （2） (1x6).11、求下列函数在指定区间上的最值：（1） 0，1； （2）， -1，2；（3） ； （4）.12、欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容积，怎样做法所用材料最省.13、欲用围墙围成面积为216平方米的一块矩形土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大的尺寸，才能使所用建筑材料最省.14、某厂生产某种商品，其年销售量为100万件，每批生产需增加准备费1000元，而每件的库存量为0.05元.如果年销售率是均匀的，且上批销售完后，立即再生产下一批（此时商品库存数为批量的一半），问应分几批生产，能使生产准备费及库存费之和最小？15、确定下列函数的凹向和拐点：（1） ； （2）；（3）= ； (4).16、求下列曲线的渐近线：（1） ； （2） . 17、按照作图步骤，描绘函数 的图象. 18、对于成本函数，求出：(1)产量为1000单位时的成本、平均成本和边际成本；(2)使平均成本到最小的生产量；(3)最低平均成本；19、设某商品的总成本函数为，需求函数为 Q=60-2P，其中p为商品的单价，试求（1）平均成本、边际平均成本;（2）边际成本、边际收入、边际利润.20、已知某商品的需求量Q与价格p 的函数关系为，求p= 4时的需求弹性，并解释其经济意义.21、某地区的小麦产量 y 与化肥的投入量x有如下的函数关系 ，求：(1)当x = 20,x = 70时的边际产量；(2)当x = 20,x = 70时的产量的弹性.第四章 单 元 测 验 题1、求以下极限：（1） ； （2）；（3） ； （4）；2、求下列函数在指定区间上的极值和最值.（1）,1,3 ； （2） ， -5，3.3、确定a,b的值，使（1，6）为曲线的一个拐点.4、制作一容积为10米3的长方形无盖容器，要求底面的长是宽的2倍.如果制作底面的材料价格为10元/米2，制作四侧的材料价格为6元/米2，求最低的制作费用.第五章 不定积分基 本 要 求一、理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质.二、掌握基本积分公式、换元积分法和分部积分法，能灵活地运用上述公式和积分方法计算不定积分.习 题 五1、 已知在曲线上任一点切线的斜率为2x ,并且曲线经过点（1，-2），求此曲线的方程.2、 求下列不定积分：（1） ； （2）；（3） ； （4）；（5） ； （6）；（7） ； （8）；（9） ； （10）；（11）； （12）；（13） ； （14）.3、 求下列不定积分.（1） ； （2）；（3） ； （4）；（5）； （6）；（7） ； （8）；（9）； （10）；（11）； （12）；4、 求下列不定积分：（1） ； （2）；（3） ； （4）； (5).5、 求下列积分.（1） ； （2）；（3） ； （4）；6、 计算下列不定积分.（1） ； （2）；（3） （4）（5） （6）(7) （8）第五章 单 元 测 验 题1、下列命题中正确的有（ ）（1）若f(x) 在区间内的某个原函数是常数，则f(x)在(a,b)内恒为零.即.（2）若f(x)的某个原函数为零，则f(x)的所有原函数都是常数.（3）若f(x)在（a,b）内不是连续函数，则在这个区间内f(x)必无原函数.（4）若F(x)为f(x)的任意一个原函数，则F(x)必定为连续函数.2、下列命题中正确的有（ ）（1） （2）（3） （4）3、设F(x)是的一个原函数，求4、求下列不定积分：（1）； （2）；（3） ； （4）；（5）； (6) .第六章 定积分基 本 要 求一、理解定积分的概念和基本性质，了解积分中值定理，掌握牛顿莱布尼兹公式，以及定积分的换元积分法和分部积分法.二、理解变上限积分定义的函数，并会求它的导数.三、会利用定积分计算平面图形的面积和旋转体的体积，会利用定积分求解一些简单的经济应用题.四、了解广义积分收敛与发散的概念，掌握计算广义积分的基本方法.习 题 六1、 利用定积分的几何意义及其性质计算下列定积分.（1）； （2）；（3） ； (4) 2、 利用定积分的性质证明下列不等式：（1）； （2）.3、 估计下列定积分的值：（1） （2）4、计算下列函数的导数：（1）； （2）；（3）； （4）.5、求曲线的凹向区间：6、计算下列定积分：(1)； (2)；(3) ； (4)；(5) ； (6).7、计算下列定积分：（1）； （2）；（3） ； （4）；（5） ； （6）；（7） ； （8）；8、用阴影表示下列曲线所围成的图形，并求出其面积：（1），y = 2x； (2) ,y = e , x = 0；(3) ； (4) 9、求曲线在两个极值点范围内的曲线弧段，过两个极值点与x轴垂直的直线及 OX轴所围成的平面图形的面积.10、求下列诸曲线所围图形绕指定轴旋转所得旋转体的体积：（1） xy = 4,x = 1,x = 4,y = 0；绕x轴； （2）； 绕x轴；（3）；绕y轴； 11、已知某产品的边际成本，固定成本C(0)=150万元，其中x为产品的件数，求生产2000件这种产品的总成本为多少万元？12、已知某产品生产 x个单位时，总收益R的变化率（边际收益）为求生产了50个单位时的总收益；如果已经生产了100个单位，求再生产100个单位时的总收益.13、某产品的总成本C（万元）的变化率（边际成本）= 1，总收益R（万元）的变化率（边际收益）为生产量x（百台）的函数 求生产量等于多少时，总利润L=R-C为最大？从利润最大的生产量又生产了100台，总利润减少了多少？14、判断下列广义积分的敛散性.如收敛，则求其值.（1） ； （2）；（3） ； （4）；第六章 单 元 测 验 题1、设，计算.2、已知f(x)在x=1的某邻域内可导，且求 3、计算下列积分.（1） ； （2）；（3） ； （4） ； 4、求函数在区间上的最大值.5、过曲线上某点A作一切线，使之与曲线及x轴围成图形的面积为，求 （1）切点A的坐标；（2）过切点A的切线方程；（3）由上述图形绕x轴旋转成的旋转体体积V.第七章 无穷级数基 本 要 求一、理解级数的收敛与发散、收敛级数的和的概念.二、掌握级数的基本性质和级数收敛的必要条件.掌握等比级数及p级数的收敛与发散的条件.掌握正项级数的比较判别法和比值判别法.三、了解任意项级数绝对收敛和条件收敛的概念以及它们之间的关系，掌握交错级数的莱布尼兹判别法.四、会求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域.五、了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些简单幂级数在其收敛区间内的和函数.六、掌握，sinx, cosx, ln(1+x) 与 幂级数即麦克劳林（Maclaurin）展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数.习 题 七1、 填空题：（1） 设级数收敛于s，则级数收敛于_；（2） 设,则_；（3） 若级数收敛，则_.2、 判别下列级数是否收敛.若收敛，求其和.（1）； （2）；（3）； （4）；（5）.3、 用比较判别法判别下列正项级数的敛散性：（1） ； （2）；（3） ； *(4).4、 用比值判别法判别下列级数的敛散性：（1） ； （2）；（3） ； （4）.5、 用适当的方法判别下列级数的敛散性.（1）； （2）；（3） ； （4）.6、 用莱布尼兹判别法判别下列级数的敛散性：（1） ； （2）.7、 判别下列级数是条件收敛？绝对收敛？发散？（1） ； （2）；（3） ； （4）；（5） *(6),(k为常数)；（7） ； （8）；*(9).8、 求下列幂级数的收敛区间：（1） ； （2）；（3） ； （4）；（5） ； （6）；（7） ； （8）；*(9) ； *(10).9、 若的收敛半径是8，求级数的收敛半径.10、 求下列级数的和函数：（1） ； （2）；（3）1+ ； *(4).11、 将下列函数展开成x 的幂级数：（1）； （2）；（3）； （4）；（5*） 12、 将展开成(x-3)的幂级数.13、 将函数展开成（x+4）的幂级数.第七章 单 元 测 验 题1、判断题.（1）若，则级数收敛；（2）若级数发散，则级数（c为常数）也发散；（3）改变级数的有限个项，级数的敛散性不变；（4）若级数收敛，则收敛.2、下列级数是否收敛？是绝对收敛？还是条件收敛？（！） ； （2）；（3） ； *(4).3、（1）求级数的收敛区间.*（2）求级数.4、将函数展开成 （x-3）的幂级数.第八章 多元函数基 本 要 求一、理解多元函数的概念与二元函数的几何意义，会求二元函数的定义域.二、了解二元函数的极限和连续的直观意义.三、了解多元函数的偏导数与全微分的概念，掌握求二元函数的偏导数、全微分的计算方法，掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法，会求隐函数的偏导数.四、理解二元函数极值和条件极值的概念，掌握二元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值及有关应用问题.五、理解二重积分的概念和基本性质，掌握二重积分（直角坐标、极坐标）的计算方法.习 题 八1、设有两点A（5，4，0）和B（-4，3，4），求满足条件2|PA| = |PB| 的动点P的轨迹方程.2、已知空间四点A（3，4，-4），B（-3，2，4），C（-1，-4，4），D（2，3，-3）判定其中哪些点在曲线 上.3、求 y轴上的一点，使它到A（1，2，3），B（0，1，-1）两点距离相等.4、画出下列平面或曲面的草图.（1）； (2)；(3)； (4)；(5) x+z=1； (6) ；5、写出以点O（1，3，-2）为球心，并过原点的球面方程.6、已知函数，试求f (tx,ty).7、证明函数F（x,y）= lnxlny满足关系式 F（xy,uv）=F(x,u)+F(x,v)+F(y,u)+F(y,v).8、确定下列函数的定义域D：（1）； （2）；（3） ； （4）.9、求下列极限.（1） ； （2）；（3）； （4）；*（5）.10、证明：极限 不存在.11、求下列函数的偏导数：（1） ； （2）；（3）； （4）.12、求下列函数的二阶偏导数：（1） （a,b为常数） （2）z = arcsin(xy)* (3)； * (4)13、求下列各函数的全微分：（1）； （2）；（3） ； （4）.14、求函数当x=1,y=2时的全微分.15、求函数当x=2,y=时的全微分及全增量的值.16、设，而u = xcosy,v = xsiny,求.17、设，而，求.18、设为可微函数，而.19、求下列各函数的一阶偏导数（其中f具有一阶连续偏导数）.（1） ； （2）u = f(x,xy,xyz).20、求由下列各方程所确定的隐函数z的偏导数.（1） ； （2）；*（3）、.*21、设.22、求下列函数的极值.（1） ； （2）； (3)； *（4）.23、从斜边为a 的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形.24、欲围一个面积为60m2的矩形场地，正面所用材料每平方米造价10元，其余三面每平方米造价5元，求场地长、宽各为多少米时，所用材料费最少？25、设生产某种产品的数量与所用的两种原料A，B的数量x,y之间有关系式，已知A，B的单价分别为每吨1万元，2万元，现有150万元购料，问如何购进这种原料，可使产量最大？26、根据二重积分的性质比较积分的大小，其中D是由 x轴、y轴与直线x+y =1所围成.27、利用二重积分的性质估计下列积分的值：（1）； （2）.28、化二重积分为二次积分（分别列出对两个变化量先后次序不同的两个二次积分）.其中积分区域D为（1） 由直线y = x及抛物线所围成的区域；（2） 由x轴及半圆周所围成的区域；29、改变下列二次积分的积分次序；（1） ； （2）；30、计算下列积分：（1） D：y = x ,y = 5x ,x = 1所围成的区域；（2） D：所围成的区域；（3） D：；* (4).31、将下列直角坐标形式的累次积分变化为极坐标形式的累次积分：（1） （2）32、利用极坐标计算下列二重积分.（1），D是由圆周所围成的区域；（2），D是由圆周及直线y = 0,y = x所围成的在第一卦限内的区域；（3），D是由所围在第一卦限中的区域；（4），D是由圆所围成的区域.*（5） D是由圆所围成的区域.第八章 单 元 测 验 题1、设，求f(x+y,x-y).2、 知函数，求3、 z = f