初二奥数第一讲有关几何证明老师讲义.doc

即使上帝不青睐学生，我也决不放弃。为了他们年轻的生命和燃烧的梦，还有那期盼的眼神，我将用全身心的爱照亮他们前进的路。 郑瑾 第一讲：如何做几何证明题【知识梳理】1、几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。2、掌握分析、证明几何问题的常用方法：（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；（3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。3、掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。【例题精讲】【专题一】证明线段相等或角相等 两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。【例1】已知：如图所示，中，。 求证：DEDF 分析：由是等腰直角三角形可知，由D是AB中点，可考虑连结CD，易得，。从而不难发现 证明：连结CD 说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。显然，在等腰直角三角形中，更应该连结CD，因为CD既是斜边上的中线，又是底边上的中线。本题亦可延长ED到G，使DGDE，连结BG，证是等腰直角三角形。有兴趣的同学不妨一试。【巩固】如图所示，已知为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AEBD，连结CE、DE。 求证：ECED证明：延长BD到F使DF=BC，因为等边三角形ABC，所以AB=BC，且B=60所以AB=DF因为AE=BD，所以BE=BF所以三角形BEF为等边三角形所以BE=EF,且B=F=60因为BC=DF所以三角形BCE全等于三角形EDF所以CE=DE如图8所示，已知为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AEBD，连结CE、DE。求证：ECED证明：作DF/AC交BE于F 是正三角形 是正三角形 又AEBD 即EFAC 【例2】已知：如图所示，ABCD，ADBC，AECF。求证：EF 证明：连结AC 在和中， 在和中， 说明：利用三角形全等证明线段求角相等。常须添辅助线，制造全等三角形，这时应注意： （1）制造的全等三角形应分别包括求证中一量；（2）添辅助线能够直接得到的两个全等三角形。【巩固】如图所示，ABC是等腰直角三角形，ACB90，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：ADCBDEABCDEF过C做一条垂线CH交AB于H，交AD于M，然后 角边角 证明ACM全等于CBE CAM=BCE（ACD里面的双垂）AC=CB 很特殊的45ACH=CBE 由此得到CM=BE，然后在证明CMD全等于BCD得到ADC和BDE关系相等（边角边）【巩固】(15届江苏初二2试) 已知：如图， ABC中，ACBC，ACB90，D是AC上一点，AEBD交BD的延长线于E，且AEBD求证：BD是ABC的角平分线(江苏省第十五届初中数学竞赛初二年级)【专题二】证明直线平行或垂直 在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证。【例3】如图所示，设BP、CQ是的内角平分线，AH、AK分别为A到BP、CQ的垂线。 求证：KHBC 分析：由已知，BH平分ABC，又BHAH，延长AH交BC于N，则BABN，AHHN。同理，延长AK交BC于M，则CACM，AKKM。从而由三角形的中位线定理，知KHBC。 证明：延长AH交BC于N，延长AK交BC于M BH平分ABC 又BHAH BHBH 同理，CACM，AKKM 是的中位线 即KH/BC 说明：当一个三角形中出现角平分线、中线或高线重合时，则此三角形必为等腰三角形。我们也可以理解成把一个直角三角形沿一条直角边翻折（轴对称）而成一个等腰三角形。【例4】已知：如图所示，ABAC，。 求证：FDED 证明一：连结AD 在和中， 说明：有等腰三角形条件时，作底边上的高，或作底边上中线，或作顶角平分线是常用辅助线。 证明二：如图5所示，延长ED到M，使DMED，连结FE，FM，BM 说明：证明两直线垂直的方法如下： （1）首先分析条件，观察能否用提供垂直的定理得到，包括添常用辅助线，见本题证二。 （2）找到待证三直线所组成的三角形，证明其中两个锐角互余。 （3）证明二直线的夹角等于90。【巩固】(15届江苏初二2试) 如图所示，BD、CE分别是ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP= AC，点Q在CE上，CQ=AB 求证：(1)AP=AQ； (2)APAQ2001年第十六届江苏省初中数学竞赛B卷【专题三】证明线段和的问题（一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。（截长法）【例5】如图，四边形ABCD中，ADBC，点E是AB上一个动点，若B60，ABBC，且DEC60；求证：BCADAE 分析：在AC上截取AFAE。易知，。由，知。，得： 证明：在AC上截取AFAE 又 即【巩固】已知：如图，在中，BAC、BCA的角平分线AD、CE相交于O。 求证：ACAECD在AC上取一点F,使得AF=AE,连接OF.下面证明CF=CDAD是角平分线,那么有角EAO=角FA0再加上AE=AF,AO=AO所以由边角边得到:三角形AEO和三角形AFO全等就有角AOE=角AOF又角B=60度所以角BAC+角BCA=120度那么角AOE=角OAC+角OCA=(角BAC+角BCA)/2=60度所以角AOF=角AOE=60度那么角COF=180-60-60=60度=角AOE=角COD就是角COF=角COD再加上角OCD=角OCF,OC=OC角边角就得到三角形OCD和三角形OCF全等得到:CF=CD所以就证明了:AC=AF+CF=AE+CD（二）延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，则两较短线段成为一条线段，证明该线段等于较长线段。（补短法）【例6】 已知：如图7所示，正方形ABCD中，F在DC上，E在BC上，。 求证：EFBEDF 分析：此题若仿照例1，将会遇到困难，不易利用正方形这一条件。不妨延长CB至G，使BGDF。 证明：延长CB至G，使BGDF 在正方形ABCD中， 又 即GAEFAE 【专题四】证明几何不等式：【例7】已知：如图所示，在中，AD平分BAC，。 求证： 证明一：延长AC到E，使AEAB，连结DE 在和中， 证明二：如图10所示，在AB上截取AFAC，连结DF 则易证 说明：在有角平分线条件时，常以角平分线为轴翻折构造全等三角形，这是常用辅助线。【拓展】中，于D，求证： 4. 取BC中点E，连结AE 【实战模拟】 1. 已知：如图11所示，中，D是AB上一点，DECD于D，交BC于E，且有。求证： 2. 已知：如图12所示，在中，CD是C的平分线。 求证：BCACAD 3. 已知：如图13所示，过的顶点A，在A内任引一射线，过B、C作此射线的垂线BP和CQ。设M为BC的中点。 求证：MPMQ17(18届江苏初二2试)如图，在ABC中，AD为BAC的平分线，BPAD，垂足为P已知AB=5，BP=2，AC=9试说明ABC=3ACB 【试题答案】 1. 证明：取CD的中点F，连结AF 又 2. 分析：本题从已知和图形上看好象比较简单，但一时又不知如何下手，那么在证明一条线段等于两条线段之和时，我们经常采用“截长补短”的手法。“截长”即将长的线段截成两部分，证明这两部分分别和两条短线段相等；“补短”即将一条短线段延长出另一条短线段之长，证明其和等于长的线段。 证明：延长CA至E，使CECB，连结ED 在和中， 又 3. 证明：延长PM交CQ于R 又 是斜边上的中线 17在ABC中，C=，D是AB的中点，E、F分别在BC、AC上，且EDF=.(1)如图1，若E是BC的中点，,EF与AF、BE有怎样的数量关系？并说明理由； （2）如图2，当F在AC上运动时，点E在BC上随之运动，问在运动过程中，EF与AF、BE有怎样的数量关系？并说明理由.(湖州数学竞赛题）全等三角形【知识梳理】1、全等三角形：全等三角形、能够完全重合的两个三角形。2、全等三角形的判定方法有：“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”、“HL”3、 全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应角相等，对应线段（边、高、中线、角平分线）相等。（2）全等三角形的周长、面积相等。4、全等三角形常见辅助线的作法有以下几种：1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答【例题精讲】例1：已知，如图ABC中，AB5，AC3，则中线AD的取值范围是_.解：如右图所示，延长AD到E，且AD=DE，并连接BE，D是BC中点，BD=CD，又ADC=BDE，AD=DE，ADCEDB，AC=BE，在ABE中，有AE-ABAEAB+BE，2AE8，即22AD8，1AD4【巩固】如图所示，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BEAC，延长BE交AC于F，求证: AFEF.证明：延长AD至G，使得AD=DG，连接BG,GCABC中,AD是BC边上的中线BD=DCAD=DG四边形ABGC为平行四边形AC=BG,AC/BGAFEGBEAF/FE=GB/BEAC=BE,AC=BGBE=BGAF=FE例2：已知等腰直角三角形ABC中，ACBC，BD平分ABC，求证：ABBCCD证明：作DEAB于E则DEB=C=90又EBD=CBD【BD平分CBA】 BD=BDEBDCBD（AAS）BE=BC，DE=CDA=45AED是等腰直角三角形AE=DE=CDBC+CD=BE+AE=AB【巩固】1、 已知ABC中，AD平分BAC，ABAC，求证：ABACBDDC证明：在AB上截取AE=ACAECACDDE=DC,AB-AC=AB-AE=BE在BDE中：BEBD-DE又BD-DE=BD-DC BE-AB-AC AB-ACBD-CD2、如图所示，已知四边形ABCD中，ABAD，BAD60，BCD120，求证: BCDCAC. 设AC和BD交于E ，延长CD至F使DFBC BAD=60，BCD=120A B C D共圆 ABC和ADF中 ，ABAD ，DFBC ，ADFACDCADABDCBDABC 两三角形全等 ACAF 而等边三角形ABDACFABD60AFC ACCFCDDFCDBC例3：如图，已知在ABC中，B60，ABC的角平分线AD，CE相交于点O求证：OEOD证明：连接OB，过点O作OMAB于M，ONBC于NABC60BAC+ACB180-ABC120AD平分BAC，CE平分ACBOACBAC/2, OCAACB/2AOC180-（OAC+OCA）180-（BAC+ACB）/2120DOEAOC120ABC+DOE180ODB+OEB+ABC+DOE180ODB+OEB180OEB+OEA180OEAODB又AD平分BAC，CE平分ACBO是ABC角平分线交点OB平分ABCOMAB，ONBCOMON，OMEOND90OMEOND （AAS）OEOD例4：如图，在ABC中，BAC的平分线与BC的垂直平分线PQ的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作PNAB于N，PM AC于点M求证：BNCM连接BP、CP因为PQ为BC的垂直平分线，所以BP=CP因为PA平分角CAB，PN垂直AN，PM垂直AC，所以PM=PN对三角形PMC和三角形PNB，因为PM=PN，PB=PC，角PNB=角PMC，所以两三角形全等，所以BN=CM例5：AD为ABC的角平分线，直线MNAD于A，E为MN上一点，ABC周长记为，EBC周长记为。求证.设C1点为C的对称点，连接A、C1,E、C1.那么AC=AC1,CE=C1E,又B、A、C1在一直线上(1/2BAC+1/2CAC1=90，所以BAC+CAC1=180），那么BEC1为三角形，BE+C1EBA+AC1(BC1),因此BE+CEBA+AC,不等式两边同加BC得：PbPa。【拓展】正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BEDFEF，求EAF的度数. 解：延长EB至M使BM=DF则EF=BE+DF=BE+MB=EM在 ABM与 ADF中AB=AD,ABM=ADF=90,DF=BM所以 ABM ADF所以AM=AF,MAB=DAF因为DAF+BAF=90度所以MAB+BAF=MAF=90度在 AME与 AEF中AM=AF,AE=AE,ME=EF所以 AME AEF所以MAE=EAF=1/2MAF=45度【课后练习】1、如图，BAC60，C40，AP平分BAC交BC于P，BQ平分ABC交AC于Q求证：ABBPBQAQ1.本题主要考查构造全等三角形时辅助线的作法。观察图形可知，我们很容易作出辅助线：延长AB到D，使BD=BP，连结DP，从而将已知和待证联系了起来。2.在出现三角形中求线段相等的问题时，利用全等三角形的对应边相等或三角形中等角对等边的相关知识往往是解题的关键所在，这也是我们要掌握的内容。2、如图，ABC中，E、F分别在AB、AC上，DEDF，D是中点，试比较BECF与EF的大小.解：如图，延长射线FD到G，使GD=DF，连接EG和BG，则容易证明DCFDBG，EDGEDF，所以CF=BG，EF=EG，由于在BEG中，有BE+BGEG，那么BE+CFEF。 3、如图，ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F. （1）说明BECF的理由；（2）如果AB，AC，求AE、BE的长.例1 如图2-1所示1=2，ABC=DCB求证：AB=DC分析 用全等三角形证明线段(或角)相等，最常用的方法是探究所求证的线段(或角)分别在一对可证的全等三角形之中本题的AB，DC分别属于两对三角形ABE和CDE及ABC和DBC经分析可证明ABECDE证 由已知，1=2，ABC=DCB，而EBC=ABC-1，ECB=DCB-2，所以EBC=ECB在ABC及BCD中，ABC=BCD，EBC=ECB，BC=BC，所以 ABCDCB(ASA)，所以 AB=CD说明 线段AB，CD也属于两个(事实上)全等的ABE和DCE，因此也可直接证明这两个三角形全等例2 如图2-2所示ABC是等腰三角形，D，E分别是腰AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交底BC于G求证：GD=GE分析 从图形看，GE，GD分别属于两个显然不全等的三角形：GEC和GBD此时就要利用这两个三角形中已有的等量条件，结合已知添加辅助线，构造全等三角形方法不止一种，下面证法是其中之一证 过E作EFAB且交BC延长线于F在GBD及GEF中， BGD=EGF(对顶角)， B=F(两直线平行内错角相等) 又B=ACB=ECF=F，所以，ECF是等腰三角形，从而EC=EF又因为EC=BD，所以BD=EF 由，GBDGEF(AAS)，所以 GD=GE说明 适当添加辅助线、构造全等三角形的方法可以不止一种，本题至少还有以下两种方法：(1)过D作DFAC，交BC于F可用同样方法证明GFDGCE(图2-3)(2)过D作DFBC于F；过E作EHBC于BC延长线于H，可证明GFDGEH(图2-4)做完一道题后，再想一想还有没有其他证明方法，比较一下哪种证法更好，这对于发展思考、锻炼能力是大有好处的例3 如图2-5所示在等边三角形ABC中，AE=CD，AD，BE交于P点，BQAD于Q求证：BP=2PQ分析 首先看到BP，PQ在RtBPQ之中，只要证明BPQ=60(或PBQ=30)然而，BPQ是ABP的一个外角，所以BPQ=PAB+PBA但A=PAB+PAC=60，若能证明PBA=PAC，问题即能解决，这两个角分别在ABE与CAD中，可以证明这两个三角形全等证 在ABE与CAD中，EAB=DCA=60，AB=CA，AE=CD，所以ABECAD(SAS)，所以 ABE=CAD由于BPQ是ABP的外角，所以BPQ=PAB+PBA=PAB+CAD=60在RtBQP中，BPQ=60，PBQ=30，所以BP=2PQ(在RtBPQ中30角的对边等于斜边的一半)说明 发现或构造全等三角形是利用全等三角形证明题目的关键，为此，我们常从发现两个三角形中对应元素相等入手，逐步发现或经推理“凑齐”三角形全等的条件如本题在分析到欲证ABP=CAD后，进而把注意力集中到ABE与CAD中，这里，可适当利用几何直观感觉，启发我们寻找有希望全等的三角形，例如虽然ABP与APE都含欲证的角，但只需观察即可知，这两个三角形无望全等例4 如图2-6所示A=90，AB=AC，M是AC边的中点，ADBM交BC于D，交BM于E求证：AMB=DMC分析1 从图形观察AME与DMC所在的两个三角形AME与DMC显然不全等，但是这两个三角形中有其他相等元素：AM=MC若能利用已知条件在现有的三角形中构造出新的对应相等的元素，形成全等三角形，这是理想不过的事由于C=45，A=90，若作A的平分线AG，则在AGM中，GAM=45=C结合求证中的AMB=DMC(这当然不能作为已知，但在分析中可以“当作已知”来考虑，以便寻找思路)，我们可以断言AGM“应该”与CDM全等！为此，只要在这两个三角形中求得一组边相等即可图形及条件启发我们可考虑去证明AGBCDA证法1 作BAC的平分线AG，交BM于G在AGB与CDA中，因为AB=CA，BAG=ACD=45，ABG=90-AMB， MAD=90-EAB 由于，在RtMAB中，AEBM，所以AMB=EAB由，ABG=MAD，所以AGBADC(ASA)，于是 AG=CD在AMG与CMD中，还有AM=MC，GAM=DCM=45，所以 AMGCMD，从而 AMB=DMC分析2 如图2-7所示注意到在RtABM中，由AEBM得到MAE=MBA，若延长AE，过C作CFAC交AE延长线于F，可构成RtABMRtACF，从而有AMB=F设法证明DMC=F，则问题获解证法2 引辅助线如分析2所述在RtABM与RtCAF中，ABM=CAF，AB=AC，及BAM=ACF=90，所以RtABMRtCAF(ASA)，所以AMB=F，AM=CF 在MCD与FCD中，FC=AM=MC(因为M是AC中点)由于ACF=90，ACB=45，所以FCD=MCD=45，CD=CD，所以 FCDMCD(SAS)，所以 F=DMC 由， AMB=DMC说明 这两个证法的思路较为复杂添加辅助线的结果造出两对全等三角形，第一对全等三角形产生一些对应相等的元素，为第二对全等三角形做了铺垫；第一对全等三角形将欲证的一个角“转移”到第二对全等三角形中，从而最后使问题获解对一些较复杂的问题采用迂回的办法，因势利导地创造全等三角形，产生更多的相等条件，使欲证的角(或边)转移位置，走出“死角”，最终使问题获解例5 如图2-8所示正方形ABCD中，在边CD上任取一点Q，连AQ，过D作DPAQ，交AQ于R，交BC于P，正方形对角线交点为O，连OP，OQ求证：OPOQ分析 欲证OPOQ，即证明COP+COQ=90然而，COQ+QOD=90，因此只需证明COP=DOQ即可这归结为证明COPDOQ，又归结为证明CP=DQ，最后，再归结为证明ADQDCP的问题证 在正方形ABCD中，因为AQDP，所以，在RtADQ与RtRDQ中有RDQ=QAD所以，在RtADQ与RtDCP中有AD=DC，ADQ=DCP=90，QAD=PDC，所以ADQDCP(ASA)，DQ=CP又在DOQ与COP中，DO=CO，ODQ=OCP=45，所以DOQCOP(SAS)，DOQ=COP从而POQ=COP+COQ=DOQ+COQ =COD=90，即OPOQ说明 (1)利用特殊图形的特殊性质，常可发现有用的条件，如正方形对角线互相垂直，对角线与边成45角，及OA=OB=OC=OD等均在推证全等三角形中被用到(2)两个三角形的全等与对应元素相等，这两者互为因果，这是利用全等三角形证明问题的基本技巧例6 如图2-9所示已知正方形ABCD中，M为CD的中点，E为MC上一点，且BAE=2DAM求证：AE=BC+CE 分析 证明一条线段等于两条线段和的基本方法有两种：(1)通过添辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和(BC+CE)，再证所构造的线段与求证中那一条线段相等(2)通过添辅助线先在求证中长线段(AE)上截取与线段中的某一段