素材：高中数学备课参考数学通报数学问题解答0004.doc

2000年第 4期数学通报 数学问题解答 2000年 3月号问题解答 2 (解答由问题提供人给出 ) m要最大且使 500-m能被 m 2整除 只要 m12411求函数 y = sinnx + cos nx 499即可 也就是 k =2499= 998, 2 sin (x + )解 (1)当 n= y = = 4 ym ax= 2, ym in = 2. (2)当 n=2k + 1 (k N )时, = sinnx + cos nx1y 11 1 sinnx + cos nx1111 sinx 12+ cosx 1 2= 1 -1 1y 11 ymax = 1, ym in = -1. (3)当 n=2k (k N )时, y = sinnx + cos nx sin2 x + co s 2 x = 1, ymax = 1; sin2 x + co s 2 x =2 12 ,设 sin2 x = 12-d , co s 2 x = 12+ d. y = sinnx + cos nx = (sin2 x ) k + (co s 2 x ) k = (1-d ) k + (1+ d ) k 22 =2 ( 12 k + C 2 k ( 12) k-2d 2+ n 2 (1) k 2k21 21= -1= 2 n ymax = 1, ym in = 21-2 12421求最大的正整数 n,使得 n 2+ 2000n是一个完全平方数 解设 n 2+ 2000n=(n+ k ) 2, k是正整数 整理得 n= k 2.2000-2k容易看出 , k是偶数 ,令 k =2m ,则有 9982 n= = 249001.4 12431在 ABC中, ABC = A CB = 40, P , Q为形内两点 , PA B = QA C = 20, P CB = Q CA = 10,求证 : B , P , Q三点共线 证明如图 ,以 BC为一边在 ABC内作正 DB C ,连DA、BQ 易知 AB = AC ,可知 DA为BC的中垂线 由 Q CB = 30,可知 CQ为 BD的中垂线 有 Q CD = 30= ADC.由 QA C = 20= A CD ,有 AQ DC ,可知四边形 A QCD为等腰梯形 ,有 AD = QC ,进而 ABD QB C ,得BA = BQ.在 ABQ中,可知 QBA =.20 QB C =.20在 BA延长线上取一点 E ,使 BE = BC ,连 EP、EC、BP ,可知 PCE = 60, EA C = 80= PA C 进而 EA C PA C ,得 PC = EC. EPC为正三形 ,有 PC = PE ,可知 BP为 EC的中垂线 于是 1PB C = EB C = 20= QB C.2 B、P、Q三点共线 12441设 xi 1000, 2000, i= 1, 2, , n (n 2) ,则有 n 2 xi x 1 i 98 n 2,且左等号成立 ni=1 x 1= = x ni=n1 1000, 2000;右等号成立 n是偶数 ,且#i: xi= 1000= # i: xi= 2000= n/2. 2000年第 4期数学通报证明左不等式和左等式成立的充要条件证明容易,只证右不等式令 f (x )= (x + c)( x 1+ d ),x 0,其中 c, d 0,则 x = cd是 f (x )的唯一最小值点,且 f ( x )在 ( 0, d 严格单调下降;在 c/xi in)达到最大值 #i: xi= 1000,则 n max (xi) 1)xi 1000, 2000 i=1 i=1 xi 1in = max 1000m + 2000 (n-m ) m + n-m 1m n 10002000 = max 1(mn-m 2) + n 2(3 ) 1m n 2 ( i) n为偶数,则当 m = n/2时,(3 )达到最大值,且 nn 11 n 22 max (xi)( )= + n x 1000, 2000 i=1 i=1 xi 24 1in 92 = 8 n (ii) n为奇数,则当mc=(n-1) /2或m =(n+ 1) /2n时 /,(3 )式达到最大值,且 nn 11 n 2-1 2 max (xi )( )= + n x 1000, 2000 i=1 i=1 xi 24 1in 92 1, 111 11-22n-1 f (1) + f (2) + + f (n) 1212n. (袁金提供)(下转 10页) 2000年第 4期数学通报214通过小结促使学生对知识的理解由经验水平过渡到抽象水平 ,促使学生对解题操作的具体认识过渡到对条件模式概括程度较高的认识 为此可设计有较高概括程度的问题让学生解答 ,例如问题 :“如果将复数 z 1所表示的向量 OP 1绕原点 O按逆时针方向逆转 2,并将长度变为原来的 r21912195. 2Zhu, X. M. , Lee, Y. F. , Simon, H. A. &Zhu, D. Cue recognitionandcueelaborationfromexamples. Proceedingsof NationalAcademicof Science. U. S. A. 1996. 93. 134621351 3朱新明 ,李亦菲 ,朱丹著 人类的自适应学习 2示例学习的理论与实践 中央人民广播电视大学出版社 , 1997年版 4皮亚杰著 ,卢睿译 皮亚杰教育论著选 人民教育出版社 , 1990年版 5司马贺著 ,荆其诚 ,张厚粲译 人类的认知 2思维的信息加工理论 科学出版社 , 1986年 6朱新明 解决几何问题的思维过程 心理学报 , 1983年,第 1期 7施铁如 解代数应用题的认识模式 心理学报 , 1988年,第 3期 8邵光华 几何解题策略的实验研究 数学通报 , 1997年,第 1期 9石英 教案复数乘法几何意义及应用的研究报告 数学通报, 1997年,第 11期 (上接 48页) 12471D为 RtABC斜边 BC上一点 ,且 ABD和 A CD的内切圆的半径相等 ,求证 AB AC= 2AD 2 (袁安全提供 ) 12481AD、BE、CF是 ABC三条内角平分线 ,求证 4 BF+ CD+ AE 5 5BD+CE+AF 4 (黄全福提供 ) 12491求出所有边长均为整数 ,面积为整数且周长是面积的 n倍的三角形 ,其中