有限元法讲义.doc

有限元分析中的数值方法目 录第一部分、矩阵与线性代数3第一章、矩阵的基本概念31.1矩阵入门31.2特殊矩阵41.3矩阵相等、矩阵的加法和矩阵与数的乘法61.4矩阵的乘法71.5逆矩阵与伴随矩阵91.6矩阵的分块101.7矩阵的迹和矩阵的行列式10第二章、矩阵和向量空间122.1引言122.2向量空间、子空间和矩阵的张成122.3线性变换的矩阵表示172.4基的改变202.5向量模和矩阵模22第二部分、有限单元法24第三章、有限元法公式的建立243.1引言243.2利用虚位移原理建立有限元法的公式283.3建立有限元步骤归纳35第四章、杆件结构的有限单元法374.1平面刚架结构374.2平面桁架结构40第五章、平面问题的有限单元法425.1前言425.2连续体的离散化与三角形常应变单元425.3面积坐标485.4采用高次位移函数的三角形单元505.5矩形单元56第六章、等参单元606.1等参单元606.2等参杆单元606.3平面线性等参单元626.4高斯积分法656.58节点平面等参单元66第七章、空间问题有限单元法697.1前言697.2四面体单元707.3正六面体单元767.4等参单元79第八章、板弯曲问题有限单元法828.1前言828.2薄板弯曲828.3矩形薄板单元868.4三角形薄板单元908.5中厚板弯曲918.6等参中厚板单元92第九章、壳体有限单元法969.1前言969.2坐标系统979.3单元的几何描述999.4位移模式1009.5应力与应变1019.6单元刚度矩阵与数值积分102第三部分、有限元分析的方程组解法103第一章、静力分析中线性方程组的解法10310.1前言10310.2基于高斯消去法的直接解法10410.3应用正交矩阵的直接解法11110.4高斯塞德尔迭代法118第一一章、动力分析中平衡方程组的解法12011.1前言12011.2直接积分法12011.3振型叠加法127第一部分、 矩阵与线性代数第一章、 矩阵的基本概念1.1 矩阵入门通过研究线性联立方程组的解法，就容易体会到在实际计算中使用矩阵的有效性。例如 （1.1）式中x是未知量，利用矩阵的表示法，方程组（1.1）可写成为 （1.2）然而，用矩阵符号表示式(1.2)中的各个数组，方程组就可写成为 （1.3）式中A是线性方程组的系数矩阵，x是未知量矩阵，b是已知量矩阵；即， （1.4）现在显然可以对矩阵作出如下的正式定义。定义 矩阵是由有序数组成的一个数组。一般的矩阵是由个数排成m行和n列的数组组成： （1.5）我们说这个矩阵为阶。当A矩阵只有一行(m1)或一列(n1)时，可称A为一个向量。在本书里矩阵用黑体字母表示，当矩阵不是向量时，则用大写字母表示，而向量可以用大写或小写黑体字母表示。根据定义，下列的都是矩阵 （1.6）矩阵A的第i行第j列的元素表示为,例如在式(1.4)中的第一个矩阵里，。应当注意，式(1.5)中的元素的下角标变化范围是i从1到m，j从1到n。1.2 特殊矩阵当矩阵元素服从某种规律时，我们可以把它作为一个特殊矩阵来考虑。若矩阵的元素都是实数，则称为实矩阵；若其中有复数的元素，则称为复矩阵。下面我们只讨论实矩阵。此外，矩阵住往是对称的，它有如下所定义的性质。定义 将矩阵A的行和列交换所得的矩阵称为A的转置矩阵，记作。若，可知A的行数和列数相等，且.因为，故将A称为n阶方阵；又因,故称A为对称矩阵。应当指出，对称性即意昧着A是方阵，但反过来就不一定成立，即方阵不一定就是对称的。另一个特殊矩阵是单位矩阵，它是n阶方阵，除对角线上的元素等于1外，其余元素均等于零。例如三阶单位矩阵为 （1.7）在实际计算中，单位矩阵的阶常常是非常明确的，并且不用写出它的下角标。类似于单位矩阵，我们也要用到n阶单位向量，记为，其中下角标i表示这个向量即是单位矩阵的第i列。我们将更多地和对称带状矩阵打交道。带状意味着在矩阵带宽以外的所有元素为零。因为A是对称的，所以可把带状矩阵的条件规定为 （1.8）这里是A的带宽，例如下面的矩阵是一个五阶对称带状矩阵，半带宽为2。 （1.9）若矩阵的半带宽是零，则只在对角线上有非零元素，称为对角矩阵。例如，单位矩阵就是一个对角矩阵。图1-1 矩阵的一维存储在计算机上进行的计算时。需要用到一个将矩阵元素存人内存中的存贮方案。存储矩阵A的元素的一个明显的方案，是在FORTRAN程序中规定一个给出维数的数组，其中M=m，N=n,而每一个元素存储在的元素之中，但在许多计算中，按这样的存储方案，就会多余地存储很多根本不参加运算的零元素。如果A是对称的。则应当利用对称性的特点只存储矩阵的上半部分元素(包括对角线上的元素)。通常在内存中可用的存储元素是有限的，为了能把尽可能大的矩阵存入内存，必须使用有效的存储方案。若矩阵太大以致内存不能容纳时，则求解过程需要从外存上读出和写入，这样做会显著地增加机器解题的费用。幸而，在有限元分析中，系统矩阵是对称带状的，因此，采用一种有效的存储方案，就可以把比较高阶的距阵存人内存里。我们用A(I)表示一维存储的数组A中的第i个元素样，一个n阶对角矩阵可简单地按图1-1(a)存储。 （1.10）假设有如图1-1(b)所示的带状矩阵，以后我们将会看到，在矩阵的带状边界线内的零元素在求解过程中会变为非零元素。例如可能是零元素，但在求解过程中会变为非零元素。因此，我们必须对带状边界线内的零元素分配存储元素，但不必存储边界线以外的零元素。图1-1示出了在有限元求解过程中将要使用的存储方案，我们将在以后的章节中作进一步说明。1.3 矩阵相等、矩阵的加法和矩阵与数的乘法现在我们对矩阵相等、矩阵的加法和矩阵与数的乘法作如下的定义。定义 矩阵A和B是相等的。当且仅当(1)A和B有相同的行数和列数。(2)所有对应的元素相等，即对所有的i和j有定义 当且仅当矩阵A和矩阵B具有相同的行数和列数，矩阵A和B才可以相加。矩阵的相加就是将所有对应的元素分别相加。即若和表示A和B的一般元素，则表示C的一般元素。此时。由此可知。C与A和B具有相同的行数和列数。矩阵减法可用类似的方法来定义。根据矩阵减法的定义，可知一个矩阵本身相减得到一个只有零元素的矩阵，这样的矩阵定义为零矩阵O。现在来定义矩阵与数的乘法。定义 一个数与一个矩阵相乘。是把该数与矩阵的每一个元素相乘，即意味着.应该注意，到目前为止的所有定义，完全类似于计算普通数所用的定义，并且，两个阶的一般矩阵相加(或相减)需要次加法(或减法)运算。而一个数乘一个阶的一般矩阵需要次乘法运算。因此，当矩阵是特殊形式时(例如对称带状)，我们就可利用这些特点，只计算矩阵C在带状边界线以下的元素，因为其余的元素都是零。1.4 矩阵的乘法现考虑两个矩阵A和B，要求出矩阵的乘积CAB。定义 当且仅当矩阵A的列数等于矩阵B的行数时，两个矩阵A和B才可以相乘得到CAB。假设A是阶。而B是阶、则C中的每一个元素均按下式计算： (1。11)式中C是阶；即式(1.11)中i和j分别从1到p和从1到q变化。因此，计算C的第个元素，是把A的第i行元素和B的第j列元素对应相乘后相加。由于取A的每一行相B的每一列的乘积，可知C一定是阶的。例1.1计算矩阵的乘积，其中 可得=(5)(1)十(3)(2)十(1)(3)14 (4)(1)十(6)(2)十(2)(3)=22 =(10)(1)十(3)(2)十(4)(3)=28等等因此得到容易证明，矩阵乘法需要进行次乘法运算。但是，在实际处理矩阵时，常常可以利用矩阵内的零元素而减少运算的次数。众所周知，普通数的乘法是可交换的，即。我们要研究上述结论对距阵乘法是否同样成立。考虑下列矩阵 （1.12）可得 （1.13）可见，乘积AB和BA是不相同的，因此，矩阵的乘法是不可交换的。实际上乘积与A和B的阶数有关。两个乘积矩阵AB和BA的阶可以是不同的，乘积AB可以有定义，但乘积BA却可能是不能计算的。为了区别矩阵相乘的次序。对于乘积AB，我们说是对B左乘以A或对A右乘以B。虽然通常，但对于特殊的A和B，可能有，这时，我们说A和B是可交换的。虽然在矩阵乘法中交换律不成立，但分配律和结合律都是成立的。分配律表示为 (1.14)分配律可以用式（1.11）来证明 （1.15）可得 （1.16）结合律可以表示为 （1.17）由于结合律成立，实际上对于一系列矩阵的相乘可以取任一种顺序来进行，如果顺序选择得好。往往可以节省许多次运算。当计算一系列矩阵相乘时，必须记住的是括号可以去除或加入，幂次可以合并，促必须保持相乘的次序。除了矩阵乘法中的交换律一般不成立外，在矩阵方程中一般也不能像普通数相消那样来进行矩阵相消。特别是，如果ABCB，不一定能得出AC，这很容易由下面的特殊情况来证明： （1.18）但 （1.19）然而，必须注意到，若方程ABCB时所有可能的B均成立。则有AC。此时我们简单地选取B为单位矩阵I，使得出AC还应看到，若AB0，并不能由此得出A或B是零矩阵的结论。下面的特殊情况说明了这一点。 （1.20）必须指出，在矩阵乘法中有关使用转置矩阵的一些特殊规则。应当注意的是,两个矩阵A和B的乘积的转置等于按相反顺序的转置矩阵的乘积，即 (1.21)1.5 逆矩阵与伴随矩阵定义 矩阵A的逆矩阵用表尔。假设A的逆矩阵存在，则的元素满足和。若一个矩阵有逆矩阵，则称该矩阵为非奇异的；若没有逆矩阵，则称该矩阵为奇异矩阵。计算乘积AB的逆矩阵，可按下述方法进行。设，式中A和B都是方阵。于是 （1.22）两边均右乘以和，可得 （1.23） (1.24)因而 (1.25)读者当然会注意到,矩阵反置的同一规则曾在计算矩阵乘积的转置时用过。矩阵的逆可以由，其中为矩阵A的伴随矩阵，是矩阵A的行列式值。定义 记n阶方阵A的第i行第j列元素的代数余子式为，则由元素组成的矩阵的转置，称为矩阵A的伴随矩阵，记为，即1.6 矩阵的分块把一个矩阵划分为若干个子矩阵,可有效地简化矩阵的运算和利用矩阵的特殊形式。子矩阵只是从原矩阵中取出某些行和列的元素所组成的矩阵，这个概念可用下面的一个具体例子来说明。其中虚线是块的划分线。 (1.26)应该注意，块的划分线必须穿过整个原矩阵。利用分块，矩阵A可写为 (1.27)其中，等等。矩阵的分块对节省计算机存储量是有利的，即如果子矩阵是要重复使用的，就只需要将它存储一次。上述方法同样也可以用在算术运算中，利用子矩阵可以表示一个多次重复的典型运算。因此，只需进行一次这样的运算，每当需要它时就可以直接调用其结果。用于分块矩阵计算的规则，是根据矩阵加法、减法和乘法的定义得出的。假设原矩阵已分成可以进行各个子矩阵块相加、相减或相乘的形式，那么，只要把子矩阵看作普通的矩阵元素来进行加法、减法或乘法运算即可。只要我们记住矩阵的分块仅仅是简化矩阵的运算而一点也不改变计算结果的一种手段，则上述规则是容易证明并容易记忆的。1.7 矩阵的迹和矩阵的行列式仅当矩阵是方阵时，矩阵的迹和行列式才有定义。迹和行列式都是一个数，其值由矩阵的元素来计算，因而它们都是矩阵元素的函数。定义 矩阵A的迹以来表示,它等于,其中n是A的阶。矩阵A的行列式可由A的子矩阵的行列式来定义。注意一阶矩阵的行列式就是矩阵的元素本身，即若，则。定义 阶矩阵A的行列式以表示，它由下面的递推关系来定义： （1.28）式中是由删除A的第l行和第j列后的矩阵。许多定理与行列式的应用有关。有代表性的是，通过计算一系列行列式可以求得一个方程组的解。但从现代观点看，利用行列式所得到的许多结果，用矩阵理论可以更有效地求得。例如，用行列式解方程组不是很有效的。正如以后我们会看到的那样，应用行列式的主要作用，在于讨论像距阵的逆存在那样的一些问题时能用简便的表示法。特别是在求解特征值问题时，我们将要用到行列式。计算矩阵的行列式的较为有效的方法是，先把矩阵分解为若干个矩阵的乘积，然后利用下面的结果： （1.29）关系式(1.29)说明，一系列矩阵的乘积的行列式等于每个矩阵行列式的乘积。这个结论的证明是比较冗长的(利用(1.28)中行列式的定义来证明)，因此在这里我们就不加讨论。在特征值解法中，当需要求矩阵(例如矩阵A)的行列式时，我们将经常用(1.29)式的结果。而所用的特殊分解是，其中L是单位下三角矩阵，D是对角矩阵。此时， （1.30）因为，则有 （1.31）矩阵的行列式和迹都是矩阵元素的函数。但重要的是，非对角元素不影响矩阵的迹，而行列式是矩阵全部元素的函数。虽然我们能得出这样的结论，即行列式或迹的值大意味着某些矩阵元素的值也大。但并不能得出这样的结论，即行列式或迹的值小就意味着所有的矩阵元素的值也小。第二章、 矩阵和向量空间2.1 引言在第一章中，我们对矩阵作了简单的介绍。矩阵作为由有次序排列的数组成的数组，服从加法、乘法等特定的规则。在以后各章中会广泛地使用基本的代数规则，完全熟识它们是非常重要的。然而，至此我们没有讨论过如何从一个实际的物理问题得出矩阵的元素和在什么条件下得到这些元素；如果需要的话，就要用到己介绍过的矩阵代数规则。换句话说，我们不打算让读者对矩阵在计算中表示的是什么有较深入的了解。然而，如果要很好的理解以后所介绍的数值方法，那么对矩阵有这些了解是非常重要的(确实也是必要的)。本章的任务是介绍一些重要的线性代数概念，懂得这些概念对于完全理解在有限元分析中所用的数值方法是必要的。然而，除了扩大矩阵和线性代数的重要知识外，还希望通过本章介绍的概念，除去那些把矩阵单纯作为一堆数来使用而显得枯燥的一面。即我们只有增加对矩阵应用的了解，才能充分评价求解的方法。2.2 向量空间、子空间和矩阵的张成在第一章我们把一个n阶向量定义为用矩阵形式写出的n个数的数组。现在图2-1 向量的几何表示我们要把向量的元素与其几何解释联系起来。讨论一个三阶向量的例子，如 (2.1)从初等几何学可知，在三维空间所选定的坐标系下，x表示一个几何向量。图2-1表示在该坐标系下所采用的坐标轴及对应于(2.1)式的向量。应该指出,在(2.1)式中x的几何表示完全依赖于所选取的坐标系,即如果(2.1)式给出的是与此不同的坐标系下向量的分量，则x的几何表示与图2.1所表示的应当不同。因此,仅仅是坐标(或向量的分量)不能定义实际的几何量，而必须同时结出量度它们的具体坐标系。三维几何向量的概念可以推广到有限的n阶向量。若n3，我们再不可能得到向量图。然而，我们将会看到，在数学上所有关于向量的概念都与n无关。如上所述，当我们考虑n3的特殊情形时，n阶向量表示一个n维空间的具体坐标系中的一个几何量。 假设要处理若干个n阶向量，这些向量是在一个确定的坐标系中被定义的。在以后各章中将会极其有用的一些基本概念，可由下面的一些定义和论据加以概述。定义 如果存在不全为零的数使 （2.2）则称向量组是线性相关的。如果向量组不是线性相关的，则称它们为线性无关向量组。我们用下面的例子来阐明该定义的合义。例2.1设n3，确定向量组是线性相关还是线性无关。根据线性相关的定义，我们需要检查是否存在满足下述方程的三个不全为零的常数： (a)而从方程组（a）得只有当时才满足方程组(a)，因此向量组是线性无关的。考虑这个问题的另一种方法可能更具有吸引力，即如果一个向量组中的任何一个向量都可以用其余的向量来表示时，则称该向量组是线性相关的。这就是说，若在(2.2)式中不全为零，例如，则我们可写成 （2.3）在几何上，当n3时，我们就能将向量组画出，并且如果它们是线性相关的，则它们当中任一个向量可以用其余向量的组合描绘出来。例如，画出例2.1的向量组，我们立即就看到它们当中没有一个向量能用其余向量的组合来表示，因此，该向量组是线性无关的。假定有q个线性相关构n阶向量，但我们只研究它们当中的任意个向量时，这个向量可能仍是线性相关的。然而，继续减少所研究的向量组的向量个数，我们会得到p个线性无关向量，通常。其它个向量能用这p个向量来表示。于是就得出下面的定义定义 假设有p个n阶线性无关向量，其中，这p个向量构成p维向量空间的一组基。因为在该空间中任何一个向量都能用p个基向量的线性组合来表示，所以我们只讨论一个p维向量空间。应该指出，对于所考虑的特定空间的基向量不是唯一的。基向量的一些线性组合可能给出同一个空间的另一组基。特别是，如果，则所考虑的空间的一组基是， (称作自然基)。由此也得出p不能大于n的结论。定义 若q个向量中有p个向量是线性无关的，就说这q个向量张成一个p维向量空间。因此，我们认识到，基向量组是非常重要的，因为它们是张或所考虑空间的最少向量个数。所有q个向量都能用基向量组来表示，而且q可以是很大(甚至q会大于n)的。假设已知一个p维向量空间，记为，选为基向量，。然后，我们同样只考虑所有能用、表示的那些向量,而向量和也组成一个向量空间的基，称该向量空间为。若p=2，则与会重合。我们称是的子空间，其简明的含义如下面定义所述。定义 一个向量空间的子空间也是一个向量空间。子空间上任一个向量也是原来空间的一个向量。如果是原来空间的基向量，这些基向量中的任何一个子集组成一个子空间的基；该子空间的维数等于所选择的基向量的个数。研究了向量空间的一些概念后，现在我们可以认为，任何矩阵A的列也张成一个向量空间，我们称这个空间为A的列空间。同样，矩阵的行张成一个称为A的行空间的向量空间。相反，我们可以将任意q个n阶向量集合成为一个阶矩阵,所用的线性无关向量的个数等于A的列空间的维数。假设已知矩阵A，计算A的列空间的维数，即要计算在A中有多少个列向量是线性无关的。取A的列向量的任意线性组合，既不会增加也不会减少在A中的线性无关列向量的个数。因此，为了确定A的列空间，我们试图用对A的列向量进行线性组合得到单位向量的方法来变换矩阵A。例2.2讨论向量组成的矩阵A的列空间的维数。把矩阵A的第二列和第三列相应地替换为其第列和第二列，而用原第一列替换第三列，可得从第三列中威去第一列，再把两倍的第二列加上第三列，最后把第二列乘以 (-1)，可得至此，巳将矩阵化为可使我们识别出这三列是线性无关的形式，就是说，因为这些向量的头三个元素是三阶单位矩阵的列，所以它们是线性无关的。 而且，由于我们通过A的列交换及其线性组合的过程中得到，并在解算过程中没有因此而增加由矩阵的列所张成的空间的维数，故得到A的列空间的维数是3。在上面的讨论中，为了判断A的列是否线性无关，我们对A的列向量，进行线性组合。另一方面，为了确定由向量组,.,张成的空间的维数,我们可以利用在式(2.2)中向量线性无关的定义，并考虑下列齐次方程组 (2.4)其矩阵形式为 (2.5)式中a是一个向量。其元素是,.,，而A的列是向量,.,。对A的任意行进行线性组合或乘以因子都不会改变未知量,.,的解。因此，我们可以通过对A的的各行乘以因子并进行组合，使A简化为只含有单位列向量的矩阵。这个简化了的矩阵称为A的行-梯阵形式。在A的行-梯阵中，单位列向量的个数等于A的列空间的维数。而且可以看出，它也等于A的行空间的维数。由此可见，A的列空间的维数等于A的行空间的维数，即在A中线性无关的列数等于线性无关的行数。这个结论概括在下面关于矩阵的秩的定义中。定义 距阵A的秩等于A的列空间的维数。也等于A的行空间的维数。例2.3考虑下面的三个向量： 将这些向量作为矩阵A的列，并将矩阵化为行梯阵形式。有为了把第一列化为单位向量，从第二行起逐行减去乘以不同倍数的第一行，可得为了把第二列化为单位向量，用（-5）除第二行，然后从其余各行减去不同倍数的第二行，可得因此我们可以得出下列相应结论：（1）的解是，（2）向量,是线性相关的，它们组成一个二维向量空间。向量,是线性无关的，它们组成,所在的二维空间的一组基。（3）A的秩是2.（4）A的列空间的维数是2。（5）A的行空间的维数是2。2.3 线性变换的矩阵表示工程分析中，我们一般需要把一些量与另一些量，例如应力与应变，应变与位移，力和位移，温度与热流等等联系起来。每一种这样的关系都可以认为是从一种性质的量到另一种性质的量的变换，并可简要地定义和用矩阵表示为一种紧凑的形式。我们暂不列举所要讨论的具体的变换，而是用一个符号来标记它。这样在讨论中就包括了许多可能的重要变换。设x为集合X的一个元素，y是集合y的一个元素。则把x变换成y可写成 (2.6)式中是变换算子。如果对每一个元素x有唯一的元素y，反之亦然，则我们说算子是非奇异的,否则，算子就是奇异的。如果下面的两个关系成立，则变换是线性的。 (2.7) (2.8)我们只讨论线性变换。例2.4算子，其中表示在z中所有阶次的多项式，计算，其中。试讨论算子是否表示一个线性变换和它是否奇异。把算子用于上， 因此因为求导数过程是线性的，所以算子是线性的。为了判断算子是否奇异，可以研究一个简单的元素，如。此时可以看出变换后。是否有唯一的元素x与y对应呢？然而x并不唯一，可知该算子奇异。用矩阵表示一个线性变换，第一步是选择两个基向量组，一组是用来表示x的元素，另一组是用来表示y的元素。设，是在x中的一组基，是在y中的一组基。因此x的每一个元素x可表示为 (2.9)式中,.,是x的坐标。y的每一个元素y可表示为 (2.10)式中,.,是y的坐标。于是，线性变换的矩阵表示为 （2.11）式中A是一个n阶的方阵，y和x分别是由y和x的坐标所排列成的向量，即 （2.12）当算子作用于基向量时，矩阵A的元素就是由式（2.6）所求得的坐标。因此，为了计算A的第j列元素。我们进行变换，即计算，并用基向量(i1，2，n)来表示y。的系数就是A的第j列元素。例2.5试用矩阵来表示例2.4中的变换。选定下面两组基：（1），而 ；（2），而 。 例2.4中的算子是，其中表示在z中所有阶次的多项式。为了计算在算子k的表示矩阵A中的第j列元素，我们需要形成，并用基向量（j=1，2，3，4）来表示其结果。若考虑(1)的一组基，有因此，在选定基下，算子的矩阵表示为 为了变换元素x，其中，我们要求出在选定的基下x的坐标 于是，利用，可得 也可得到，这与例2.4的结果相同。（第二种情况，同学们自己动手完成。）2.4 基的改变假设A是在基，下算子k的阶矩阵表示。并假设只用一组基,即(i1，2，,n)，已算出了矩阵A。这是最重要的情形。在(2.11)式中所给出的联系x和y的矩阵A中,向量x和y的第i个元素(即和)是基向量的乘子。假定新的基向量是(i1，,n)，且与它相对应的坐标是落在向量和中。为了求得把与联系起来的矩阵，第一步是用旧的基向量(i1,2.,n)来表示全部新的基向量(i=1,2,.,n)，即计算， (i=1,2,n) (2.13)利用这个关系，则有 （2.14）式中P是一个阶的矩阵。把上式代入（2.11）式，可得 （2.15）因而得到 （2.16）在上面的推导中。假设了P的逆矩阵存在，这是规定了已经选取了一组适当的基(i1,2,n)的情形，亦即全部(i1,2,n)是线性无关的情形。应该指出，矩阵P的逆矩阵存在，保证了对于任何向量x和y存在着如式(2.14)所示的唯一的向量和，反之亦然。定义 如果满足，则矩阵P是一个正交矩阵，因此对正交矩阵有。这个定义说明，如果在基的改变时利用正交矩阵，则有。对于实际应用来说，存在一些易于建立和使用的正交矩阵。下面介绍两种应用比较广泛的正交矩阵。最常用的一种正交矩阵是旋转矩阵。 （2.17）其中i和j可以是任意的，但。旋转矩阵的名称可通过讨论n2的情况来说明，在这种情况下， （2.18）另一种常用的正交矩阵是映射矩阵， （2.19）其中V可以是任意的。这个矩阵称为映射矩阵，因为向量Pw是向量w在与V正交的平面上的映射。例2.6确定对应于向量的映射矩阵和对向量的映射。在这种情况下，有向量w的映射Pw为2.5 向量模和矩阵模在使用向量和矩阵的迭代求解过程中，我们也需要一个关于收敛性的度量。认识到一个向量或矩阵的“大小”必然会依赖于数组中所有元素的大小，我们既能得出向量模和矩阵模的定义。模是一个数，它依赖于向量或矩阵的所有元素的大小。定义 一个n阶向量v的模可写成，它是一个数。模是v的所有元素的函数，且满足下列的条件：(1)，当且仅当时才有 (2.20)(2),对于任意常数C (2.21)(3)，对于向量V和W (2.22)关系式(2.22)是三角形不等式。通常使用的有下列三种向量模，它们分别叫做向量的无穷模、1模和2模： (2.23) (2.24) (2.25)现在，我们可以度量向量序列,趋向于向量x的收敛性。序列收敛于x的充分必要条件是对于任何一种向量模都满足 (2.26)与向量模的定义相类似，我们也能定义矩阵模。定义 一个阶矩阵A的模可写成，它是一个数。这个模是A的元素的函数，并且有下列的关系成立：(1)，当且仅当时才有 (2.27)(2)，对于任何常数c (2.28)(3)，对于矩阵A和B (2.29)(4)，对于矩阵A和B (2.30)关系式(2.29)是一个与式(2.30)等效的三角形不等式，在向量模的定义中不要求附加的条件(2.30)式，但是为了能在有矩阵乘积时使用矩阵模，则必须满足式(2.30)。下列是经常用到的一些矩阵模： (2.31) (2.32)； 为的最大特征值 (2.33)其中对于对称矩阵A，我们有。模称为矩阵A的谱模。像向量序列中的情形一样，我们可以度量矩阵序列A1，A2，At趋向于矩阵A的收敛性。例如，收敛的充分必要条件是对任一种给出的矩阵模均满足 (2.34)在遇到矩阵与向量的乘积时，我们也需要使用模。在这种情况下，为了得到使用模的有用的资料，我们需要把具体的向量模和具体的矩阵模一起使用。矩阵模和向量模可以一起使用，这是由对于任意矩阵A和向量v下面的关系式均成立的条件来决定的： (2.35)式中用矩阵模来计算，和用向量模来计算。第二部分、 有限单元法第三章、 有限元法公式的建立3.1 引言作为一种分析工具的有限元方法的发展，实质上是从数字电子计算机的出现而开始的，一个连续介质问题的数值解法，基本上需要建立和求解一个代数方程组。在计算机上使用有限无法，就有可能用非常有效的方式建立和求解复杂系统的控制方程组。有限元法之所以具有广泛的吸引力，主要是因为它能分析一般的结构或连续体，能够比较容易建立其控制方程，而且所建立的系统矩阵具有良好的数值性质。有限元法首先是在结构力学问题分析的物理基础上发展起来的，但不久人们就认识到这个方法同样可以用来解决许多其它类型的问题。当给出有限元法的变分公式并在分析中采用了以后，有限元法的普遍性就更为明显了。为了介绍和从物理上阐述这个方法，我们将只研究结构力学问题的解法。最初发展的情况注往是这样，要引证“发明”有限元法的准确日期是相当困难的。但这个方法的根源可追溯到应用数学家们、物理学家们、和工程师们所做的有关工作。虽然方法的原理早已发表，但有限元法通过工程师们所进行的独立发展工作才获得了真正的推动力。最早的重要著作有Turner等人的论文和Argyris与kelsey合写的论文。“有限元”这个名词是Clough在一篇介绍平面应力分析的有限元法的论文中提出来的。自从有限元法开始发展以来，由于人们很快就认识到它的潜力，因此对这个方法已进行了大量的研究工作。目前，有限元法的概念是一个非常广泛的概念。虽然我们只限于结构力学问题的分，但这种方法能用于各种不同的行业。当讨论到变分公式时，这一点就变得特别明显。在实际问题的求解中广泛使用的种最重要的方法，是基于位移的有限元法。因为这种方法具有简单性、普遍性和良好的数值性质，所以所有较大的分析程序实际上都是根据它来编写的。基于位移的有限元法可以看作是位移分析法的一个推广，而位移分沂法在梁和桁架结构的分析中已经用了许多年。通过一个小的例子来回顾一下位移分析法并同时引入有限元法的基本概念是有好处的图3-1 简单的梁和桁架结构现考虑对图3-1中结构的分析。在位移分析法中我们是把该结构看成是两个梁单元、一个桁架单元和一个弹簧单元的分割体，第一步是计算对应于结构总体自由度的单元刚度矩阵。在这种情况下，对于梁单元、弹簧单元和桁架单元，我们分别有； ； 整个分割体的刚度矩阵可以由各个单元刚度矩阵通过直接刚度法有效地求得。在这个过程中，结构刚度矩阵K是通过各单元刚度矩阵直接相加而算得，即而系统的平衡方程为式中是系统的总体位移向量，R是作用在结构总体位移方向上的外力向量：，在求解结构的位移之前，我们需要利用边界条件和。这意味着我们可以只考虑含有五个未知位移的五个方程，即，式中是从K中删去第一和第七行以及第一和第七列后得到的，而，上面的讨论说明了有限元法的一些重要特点基本的处理过程是先把整个结构看成为各个结构单元的分割体，计算对应于结构分割体总体自由度的各单元刚度矩阵，然后通过将各单元刚度矩阵叠加的方法形成结构刚度矩阵，求解单元分割体的平衡方程组就得到单元的位移，然后利用它们来计算单元的应力。虽然原来并不认为用位移法分析梁和衍架单元的分割体就是有限元分析，但以后我们将会看到，实际上我们可以把桁架和梁单元看作两种特殊的有限元。在这个定义上，上述的分析就是梁和衍架结构的有限元分析。而用另一种方法，我们可不通过求解平衡微分方程，而是用虚功原理计算其刚度系数。导出表示弹性体平衡的相应方程的一个等效方法是利用虚位移原理，这个原理表示物体处于平衡的要求是：对于强加在该物体上的任意相容的微小的虚位移，总的内虚功应等于总的外虚功，即 （3.1）式中， ， （3.2）是作用在弹性体上的体力、表面力和集中力。从未受荷载时的位置开始的弹性体的位移以表示，其中 （3.3）相应于的应变为 （3.4）相应的应力为 （3.5）和表示虚应变和虚位移。介绍了一些基本概念之后，现在我们扼要地叙述图3-2中的平面应力问题的有限元分析是有益的。在该问题的分析中首先使用了“有限元法”这个专门术语。在这个问题中，可假定位移和为未知量，由它们可以算出应变和应力值。分析的基本步骤和上述桁架和梁结构的分析步骤一样。图3-2 有限元平面分析该问题的求解可按下列的步骤进行：(1)假设每一单元节点i的两个未知位移为和，而和用简单多项式函数来表示，其中的末知参数是单元节点位移。对于图3-3中的单元，未知位移是。(2)利用虚位移原理计算每个单元对应于节点自由度的刚度矩阵。(3)将各单元刚度矩阵叠加得到结构的刚度矩阵，利用边界条件解平衡方程组求出节点位移，然后算出单元的应力。图3-3 局部坐标系统中典型的二维四节点有限元上述过程与本节开头所讨论的简单梁和桁架结构的分析在概念上是相同的，但是，它们之间有一个重要的差别。重要的是应认识到在连续介质的有限元分析中在一般荷载条件下我们将只能得到一个近似解，其原因是在每个单元上被假定为位移模式的多项式函数只能近似表示连续介质的精确位移。因此，利用虚功原理所导出的是近似的刚度系数，而所算出的是近似的节点位移和应力。这与本节开头所讨论的简单梁和衍架结构的分析完全不同，在梁和析架结构的分析中，单位位移的多项式函数可精确地表示单元范围内的结构位移，因而所算出的是结构的精确反应。实际上，就一般有限元分析来说，需要近似表示连续介质的精确反应，以提供各种各样的问题和要求，使该领域得到发展。3.2 利用虚位移原理建立有限元法的公式上节我们已经指出，最初是作为桁架和梁结构的位移分析法的推广来介绍有限元法的。在利用位移分析法时，一个框架或桁架结构被看作是在结构的节点处相互联结的离散杆元的分割体，首先算出对应于结构总自由度的杆元刚度矩阵，叠加成结构刚度矩阵，形成荷载向量，然后解节点的平衡方程组，求出结构的节点位移。在结构的一般有限元分析中，所用的概念基本上与上述相同。在这种分析中是将结构理想化为许多离散的有限元的分割体，并假定各单元是在有限个节点上相互联结，这些节点相当于在桁架和梁结构分析中的节点，然后假定在每个有限元中的位移是单元节点位移的函数。因此，可通过该分割体的节点位移来表示结构单元的分割体内任何一点的位移，这样就能够以像桁架和梁结构分析中一样的方式来使用虚位移原理，以便导出对应于节点位移的单元分割体的平衡方程组。（一）平面应力分析的位移和应变位移的变换矩阵为了便于说明，再考虑一个平面内荷载作用下悬臂板分析的例子(图3-2)。该结构是处于平面应力的状态，因此可以将平桓理想化为二维平面应力有限元的分割体，如图3-2所示。所需要的基本矩阵是对于分割体的每个单元的位移变换矩阵和应变-位移变换矩阵。为了推导这些矩阵，我们着重研究如图3-3所示的典型单元，并假设局部单元位移和是以局部坐标变量和的多项式的形式给出： （3.6） （3.7）未知系数也称为广义坐标，它们可以用未知的单元节点位移和来表示。定义 （3.8）我们可以把式（3.6）和（3.7）写成矩阵形式 （3.9）其中 （3.10） （3.11） （3.12）对于单元的各个节点，方程(3.9)都一定是成立的。因此，对于所有四个节点，利用式(3.9)，我们有 （3.13）其中 （3.14）因而广义坐标是 （3.15）其中 （3.16）将式（3.9）代入，可以得到 （3.17）其中 （3.18）我们用虚功原理来得到单元刚度矩阵。若是平面应力状态，单元应变为 （3.19）其中 （3.20）利用式（3.17），我们得 （3.21）式中 （3.22） （3.23）单元应力是 （3.24）假定是各向同性的线弹性材料，对于平面应力状态，有 （3.25）其中 （3.26）而和是材料的弹性常数，为杨氏模量，为泊松比。要进行实际的有限元分析，就需要求出式(3.18)和式(3.22)中分别给出的分割体中每个单元的位移和应变-位移的变换矩阵，而算出每个单元的矩阵A，才能求出这些矩阵。至今，我们所考虑的是通过单元局部节点位移来决定的每个有限元的位移。然而，在推导整个单元分割体的平衡方程的时候，通过整个单元分割体节点位移来表示单元的位移是方便的，即对单元m可写出 （3.27）而对于单元应变和应力类似地可写成 （3.28） （3.29）式(3.27)至式(3.29)中的量与向量有关，而存储整个有限元分割体的总体坐标系下的全部节点位移。作为一个例子，考虑，即确定图3.2中悬臂板理想化后的单元2上位移矩阵。利用图3.2给出的整个单元分割体和图3.3给出的单元的节点位移的定义，我们有 （3.30）式中是式（3.17）中考虑单元2时对应的单元。（二）一般公式的建立为了建立基于位移的有限