旋转的魔力.doc

欢迎光临曹开清网站 （/）旋转的魔力之二 江苏省泰州市朱庄中学 曹开清 225300例1. 如图，P是等边ABC内一点，连接PA、PB、PC，且PA=，PB=2，PC=4. 求ABC的边长.解析：将ABP绕点A逆时针旋转60到ACE，易证APE是等边三角形，所以PE=，又CE=BP=2，PC=4，根据勾股定理的逆定理，得PEC=90. 由CE=PC，得CPE=30，所以APC=60+30=90. 再运用勾股定理得，AC=.例2. 如图，正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在边DC上，且EAF=45，AB=1. 连接AE、AF、EF，设BE=x，EF=y，求y与x的函数关系式.解析：先证明BE+DF=EF. 将ABE绕点A逆时针旋转90到ADG，易证AFGAFE，于是GF=EF，而GD=BE，所以BE+DF=EF.由BE=x，EF=y，AB=1，得DF=y-x. 在RtCEF中，FC=1+x-y，CE=1-x，根据勾股定理，得(1+x-y)2+(1-x)2=y2，解得（0x1）.例3. 在直角坐标系xOy中，直线y=-x+t (t0)与x轴、y轴分别交与点A、B，有一个等腰直角CEF的锐角顶点C与坐标原点O重合并绕O旋转，且边CE、CF分别与直线AB交于点M、N.（1）当CEF旋转到左图的位置时，求证：MN2=AM2+BN2.（2）当CEF旋转到右图的位置时，若AM=3，BN=4，求t的值. 解析：（1）要证明的结论与勾股定理结论的形式相类似，而三条线段MN、AM、BN不在同一个三角形中，因此要设法把它们聚集到同一个三角形中. 考虑用旋转变换来解决：把BON绕点O顺时针方向旋转90到AOG，连接MG，易证OMGOMN，MAG=90.根据勾股定理，得MG2=AM2+AG2，即MN2=AM2+BN2.（2）先同理证出MN2=AM2+BN2. 再由AM=3，BN=4 代入得MN=5. 所以AN=5-3=2，AB=AN+BN=6，所以OB=，即t=.例4. 已知P是边长为1的等边ABC内任意一点，连接PA、PB、PC. 求证：.解析：将ABC绕点A逆时针旋转60到ACD，此时ACP旋转到ADQ. 连接PQ、DQ、BD，有PQ=PA，QD=PC，根据两点之间线段最短，得BP+PQ+QDBD，即PA+PB+PCBD=. 故有.例5. 【狂人三角形】任何一个三角形最多分成三块，都能拼成一个等腰三角形.解析：1. 如图，作ABC的中位线DE；2. 取DE的中点M，过点M作BC的垂线段MN；3. 连接ND、NE，并分别沿ND、NE剪下，得到两个三角形和一个四边形ADNE；4. 将BDN绕点D旋转180到ADP，将CEN绕点E旋转180到AEQ.易知NPQ是等腰三角形.练习题：1. 如图，四边形ABCD中，AB=AD，BAD=60，BCD=120. 求证：AC=BC+CD.提示：将ABC绕点A逆时针旋转60到ADE，证点C、D、E三点共线，ACE是等边三角形. 2. 已知P是正ABC内一点，连接PA、PB、PC，且PA=3，PB=4，PC=5. 求APB的度数.提示：将ACP绕点A顺时针旋转60到ABE，易证APE是等边三角形，根据勾股定理的逆定理，得EPB=90，于是APB=150.3. 如图，P是正方形ABCD内一点，连接PA、PB、PC，且PA=2，PB=4，APB=135，求PC的长