§8.6 最佳检验

以上讨论了参数与非参数假设检验问题 但是 同一问题 可以用不同的统计量进行检验 比如 2拟合优度检验和Kolmogorov检验 都可以对一个分布函数进行拟合检验 但统计量不同 而且 即使使用同一个统计量 也可以选不同的拒绝域 比如显著性检验双边检验的情况 怎样评价一个检验方法的好坏呢 下面以参数假设检验为例来讨论这种问题 8 6最佳检验 一 功效函数 一个检验问题的解决 相当于将相应的样本观测值的取值空间 样本空间X分为两个部分 拒绝域X0和接受域X X0 例如在t检验中 拒绝域 就等价于 所以 从本质上说 一个检验方法就等价于给出一个拒绝域X0 从而我们称拒绝域X0就是一个检验方法 简称为检验 定义8 6 1设X0是关于假设 的一个检验 称函数 为检验X0的功效函数或势函数 例8 6 1 设总体X N 02 02已知 现从总体中抽取容量为n的样本 假设 H0 0 H1 1 0 试求u检验法的功效函数 对给定显著性水平 拒绝域为 因为 解 u检验法的检验统计量为 所以X0的功效函数为 当原假设成立时 当对立假设成立时 即犯第二类错误的概率为 即犯第一类错误的概率 一般来说 我们在假设检验中常说的显著性水平就是指真实水平 则称 为检验X0的检验水平 显然对任意的1 也是X0的检验水平 为避免这种不确定的说法 我们称X0的最小检验水平为真实水平 即 犯第二类错误的概率 因此 对于给定的常数 若检验X0满足 犯第一类错误的概率 功效函数的意义在于 当H0不真时 它反映了检验X0否定H0的效率 因此 要寻找最佳检验 可归结为在确保真实水平为 的条件下 选择能使功效函数在 1上达到最大的检验方法 二 最优势检验 具有水平 的检验很多 到底怎样从中寻找最佳检验呢 定义8 6 2设X0是关于如下假设 的水平为 的一个检验 若对任何一个检验水平不大于 的检验X0 都有 则称检验X0是关于上述假设的具有水平 的一致最优势检验 简称为一致最佳检验或最佳检验 下面只需证结论对 1也成立 设总体为连续型随机变量 则 X1 Xn 的联合密度函数在 0 1处分别为L 0 x L 1 x 所以 定理8 6 1 奈曼 皮尔逊引理 设 的水平为 的一个检验 其中c为不小于0的常数 L x 为似然函数 x x1 xn 为样本观察值 则上述简单假设的任何一个水平不大于 的检验X0 都有 证明 c 0时结论显然成立 因此只证c 0的情况 显然 为简单假设 从而 从而 离散型类似可证 该定理表明 X0 是定理条件中简单假设的水平为 的最佳检验 注 除了定理中那么简单的假设问题和单参数指数族总体的单边检验问题外 一般不存在这种最佳检验 在X0 X0 上 L 1 x cL 0 x 在X0 X0上 L 1 x cL 0 x 三 无偏检验 意义 H0为真时 H0被否定 判错 的概率 不超过H0为假时 H0被否定 判对 的概率M X0 即1 定义8 6 3设X0为一个具有检验水平 的检验 若其功效函数M X0 满足条件 则称检验X0为具有水平 的无偏检验 单参数指数族分布的双边检验问题 有一致最佳无偏检验 定义8 6 4设X0为一个具有检验水平 的无偏检验 若对任何检验水平不超过 的无偏检验X0 有 则称检验X0是水平为 的一致最优势无偏检验 简称一致最佳无偏检验 四 似然比检验 定义8 6 5对于假设H0 0 H1 1 称 为假设的似然比 其中L x1 xn 为似然函数 几个结论 LR的分布一般未知 设 是s维 0是t维 r s t 0 则在H0成立条件下 当n 时 有 显然LR x1 xn 1且只依赖于 x1 xn 所以LR X1 Xn 是一个统计量 当LR的值较大时 对H0不利 即拒绝域应是形为 LR 的小概率事件 用此似然比作检验统计量的检验称为似然比检验 因此大样本时 可直接得到拒绝域 2lnLR 2 r 8 3 三 多个正态总体方差的齐性检验 检验 构造统计量 当H0为真时 2 2 s 1 对给定显著性水平 检验拒绝域为 Bartlett检验法 方差齐性检验 用于方差分析中 其中 例8 6 2 用似然比检验方法来证明上述结论中的分布 上述结论中 为2s维 均值和方差均未知 0是s 1维 故 解 令f n s fi ni 1 i 1 s 则在 上 i2的极大似然估计为 在 0上 2的极大似然估计为 因此 因此 当n1 ns的最小值趋于无穷大时 容易验证 因此 最后对上式左边进行适当的修正 即可得到想要的结论 3 若存在统计量T 其分布已知且不依赖于未知参数 使得LR仅依赖于T 且为T的严格单调函数 如果为增函数 则有 P LR P T 由T的分布可求得 从而得到拒绝域 LR为T的严格单调减函数 也有类似的结论 可以证明 用似然比方法得到的检验一般具有某种优良性 例 设总体X N 2 2已知 现从总体中抽取容量为n