选修2-12.2椭圆.doc

选修2-1第二章 圆锥曲线与方程2.2 椭圆一、知识要点1椭圆的定义（1）椭圆的两种定义：（第一定义）平面内到两个定点，的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，两个定点，叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。（第二定义）平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹。（2）标准方程焦点在轴上，中心在原点：；焦点，其中。焦点在轴上，中心在原点：_，_。2椭圆的简单几何性质（1）对于焦点在轴上，中心在原点，形如的椭圆有以下几何性质：范围：_；对称性：_；顶点：_；离心率：_；准线方程：_；焦半径公式：为椭圆上任意一点，为椭圆的左、右焦点，=_，=_。设为椭圆上的一点，为下、上焦点，则=_，=_。（2）对于焦点在轴上，中心在原点，形如的椭圆用以上同样的讨论方法可得到相类似的性质。3焦点三角形与弦（1）椭圆上的点与两焦点构成的称作焦点三角形。如图，。，当时，即为短轴端点时，最大，且。，当，即为短轴端点时，最大，且最大值为。（2）焦点弦（过焦点的弦）AB为椭圆的焦点弦，弦中点。则弦长，通径最短。（3）椭圆的一般弦AB为椭圆的一般弦，弦中点。弦长。直线AB的方程：_。直线AB的垂直平分线方程：_。4待定系数法求椭圆方程（1）解决问题的关键是：列方程（组），解方程（组），求待定系数。（2）一般地：如果已知焦点在轴上，可设方程为_；如果已知焦点在轴上，可设方程为_；如果焦点的位置不能确定应分类讨论，或设椭圆方程为：_。5椭圆的几何性质的应用（1）椭圆的几何性质涉及的不等关系；（2）椭圆中有“四线”（两条对称轴，两条准线），“六点”（两个焦点，四个顶点）。（3）点与椭圆的关系：在椭圆上；_；_。6与椭圆有关的综合问题（1）直线与椭圆位置关系中的常用结论把椭圆方程与直线方程联立消去，整理形成如的形式，对此一元二次方程：，直线与椭圆有两个公共点、，此时弦长求法：求、两点坐标，利用两点间距离公式；由根与系数关系得到弦长公式；，直线与椭圆有一个公共点；，直线与椭圆无公共点。（2）解决直线与椭圆位置关系时一般通过直线与椭圆交点个数进行研究，用一元二次方程的判别式、根与系数的关系、求根公式来处理问题，还要注意数形结合思想的运用。（3）与椭圆有关的最值问题。建立目标函数，用坐标表示距离，用方程消参转化为一元二次函数的最值问题，关键是由方程求、的范围；数形结合，用化曲为直的转化思想；利用判别式，对于二次函数求最值，往往由条件建立二次方程，用判别式求最值；借助均值不等式求最值。二、典型例题例1在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2，以O为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率=_。例2设椭圆上一点到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则到右准线的距离为_。例3在平面直角坐标系中，已知的顶点和，顶点在椭圆上，则=_。例4如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为_。例5椭圆，焦点为、，是椭圆上一点，若，求的面积。例6已知是椭圆的左焦点，是此椭圆上的动点，A（1，1）是一定点。（1）求的最小值，并求此时点的坐标；（2）求的最大值和最小值。例7设椭圆C：的右焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A、B两点，直线的倾斜角为60o，。（）求椭圆C的离心率；（）如果|AB|=，求椭圆C的方程。例8已知椭圆：的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为。（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于、两点，坐标原点到直线的距离为，求的面积的最大值。例9设分别是椭圆E: 的左、右焦点，过斜率为1的直线与E 相交于两点，且，成等差数列。（）求E的离心率；（）设点P（0,-1）满足，求E的方程。例10平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T（）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、，其中m0,。（1）设动点P满足,求点P的轨迹；（2）设，求点T的坐标；（3）设,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。三、小结（这次课我学到了什么？）2.2 椭圆作业1若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是_。2若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为_。3已知椭圆的焦点是，。为椭圆上的一点，且是和的等差中项。（1）求椭圆方程；（2）若点在第三象限，且，求。4椭圆与直线交于、两点，且，其中为坐标原点。（1）求的值；（2）若椭圆的离心率满足，求椭圆长轴的取值范围。5如图，已知椭圆过点，离心率为，左、右焦点分别为、。点为直线上且不在轴上的任意一点，直线和与椭圆的交点分别为、和