变量可分离型的三维定态问题.doc

第五章 变量可分离型的三维定态问题第五章 目 录 5.1有心势3(1) 不显含时间的 方程解在的渐近行为4(2) 三维自由粒子运动5(3) 球方势阱8(4) 氢原子13(5) 类氢离子225.2 HellmannFeynman定理235.3 三维各向同性谐振子255.4 带电粒子在外电磁场中的薛定谔方程， 恒定均匀场中带电粒子运动28(1) 带电粒子在外电磁场中的28(2) 正常塞曼效应（Normal Zeeman Effect）30(3) 带电粒子在均匀强磁场中的运动32(4) 磁通量的量子化33第五章 变量可分离型的三维定态问题对体系，我们可根据进行完全描述，当我们知道初态，便可求出。当不显含t时， 有特解 。 所以通解为 ，而可由t=0时的初始态求出。我们讨论一些特殊位势下的三维问题，即变量可分离型的位势问题。5.1有心势这是一种特殊形式的位势，是空间各向同性的，即 。当粒子在该力场中运动时，其能量本征方程可写为 而 。我们可看到 ，因此，是两两对易。当共同本征函数组不简并时，它们构成一组力学量完全集（球对称势的体系都有这一特点）。所以，我们可以以的本征值（即量子数）对能量本征方程的特解进行分类。即以完全集的力学量的量子数来标记能量本征函数。令 于是有 ，得 ，即得 。为了求解下的能量本征方程解。我们先要了解边条件的性质。(1) 不显含时间的 方程解在的渐近行为A若时，仅当 时才确有束缚态。根据维里定理（Virial Theorem），如是x,y,z的n次齐次函数，则有 （在定态上）。对于上述势。 而 。但在这类位势下，束缚态，所以存在束缚态的条件为, 即仅当时，才有束缚态。B在时，径向波函数应满足由径向方程 。当时，方程的渐近式为 。于是，若有渐近解为，则有 ，可得解 。对于 渐近行为为 ，则而对于 渐近行为为，显然不满足平方可积，即 ，而它在时，比快。对，即。但显然，在附近，不是解。因 （对任何都应满足），但 这就要求 ，这显然不被满足。所以，在时，的渐近行为应为（即），也即 （2）三维自由粒子运动 因，所以可选力学量完全集（，于是有 。 令 。这即为球贝塞尔函数满足的方程。而要处为有限的解是 ；而在处为无穷的解是 。 ， ； ， 。由于的条件，所以自由粒子的本征函数为， 三维自由粒子的能谱形成一连续谱。现对所得结果进行讨论：我们知道，自由粒子，其哈密顿量，并且 ，所以，它们既是运动常数又彼此对易。因此，选它们作为力学量完全集是比较好的。其共同本征函数 或 。 而前述，作为力学量完全集，有共同本征函数组 ，它当然是完备的。因此，可按它展开 如取方向在方向（即为轴），则 （即与无关） =。对求导得 由递推关系,于是有 比较系数有 。而当时 ， ，但 。于是 当在任意方向，则 （之间夹角）。由 所以， ,即得 。这即平面波按分波展开（固定）（3）球方势阱考虑位势为令 其径向方程为A. 令 ， 则有 在区域，并不要求处有界，所以, 应为两个解的线性组合。但要求波函数在无穷远处为，即当有, 则，即, 于是有 其中 要求两区域的波函数及其导数在处连续，即 ，从而确定的可能值，即本征值。下面讨论的解。当，则有 令 ，则由连续条件得 ， 以及 。显然，在二，四象限。讨论：1） 由图可知，则无解；2） 当，则仅有一个解。这时。所以，在区间无节点。3） 当，有二个解一个解，无零点；另一个解。所以，。有一个零点。归一化系数，可经由方程给出 当，这时 区域的波函数为。由连续条件，即有根。 l nr 1 2 3 0 23 15.769.10 26.9910.42 B当令 ， 无妨设 ，则由 事实上，对于自由粒子。 所以，力场的性质反映在 上）由的连续条件 如令 （微商对宗量）则有 当给定（即给定），则由方程给出一系列。所以，当时，有一连续谱。这时 ，有渐近解 与自由粒子比较 可以看出，力场对粒子作用，主要反映在上，即上，改变出射波的位相（至于和仅反映粒子在不同位势时的波数不同）。（4）氢原子氢原子是最简单的原子，但它反映出典型的两体问题 A. 两体问题的质心运动的分离质量为和的两个物体，若相互作用仅与它们的位置差有关。 ， 这时， 引入相对运动和质心运动 于是有 （）， （）， ， （为）于是有， 这样一个体系可看作二部分运动合成，一是质心运动，它是自由运动；另一个是相对运动。是一个质量为的粒子在势场中运动。令 为一特解，得 。直接得 而相对运动部分为 所以，处于位势为的体系，最普遍的波函数为 。以后表达式都是内部运动，质量是约化质量。 B. 氢原子：相互作用只与质子和电子的距离有关 于是有根据分离变数 （要求，当，）代入得 要求为束缚态，则E0。令 ， 于是当，方程近似为，所以；当，方程近似为 ，所以， 。前已讨论，取令 (并要求)，代入方程得 。这是一合流超比方程 ，它有解 和，称为合流超比函数 。当大时，其相近两项系数之比：/ 所以，相邻系数比与幂级数系数之比相同. 这样，合流超比函数在P大时的渐近行为与行为一致。这就使得 。要使在大时，其行为不为，则级数必须被截断成多项式。而任何多项式，当都比慢。而由 ，当为负整数时，则项的系数都为，即项的系数都为。这样，是一最高幂次为的多项式。这时，当时，其行为不会快于趋于无穷。从而保证，。取，这样它就被截断为一多项式，最高幂次为（，它代表的波节数。于是 。显然，当 给定，。这时 。而 ，即 。 根据合流超比函数性质 从而得 , 。 ， ， 。下面对波函数和能级进行讨论1） 原子能谱和简并度 ，时，。对于一定（）值的能级有所以，一条能级对应的独立波函数为 。一条能级有重简并，且宇称可不同。事实上，如考虑电子有自旋，则实际简并度为（计及自旋一轨道耦合及相对修正）。2）径向位置几率分布由波函数可得的几率为 ，无节点；，无节点； ，有一个节点由波函数可知，当，即时，。所以，。由 ，得处，为几率密度极大处。这与波尔轨道相同。而极大值位置随迅速增大。3) 几率密度随角度的变化：电子处于立体角中的几率为 所以，几率密度在方向的单位立体角中，发现粒子的几率为 即几率密度对是对称的（即绕z轴对称）（另外，）。而，即球对称。4） 电流分布和磁矩（电流的几率分布）由可求出电子和电流的几率分布。根据几率流密度矢。电流密度为（几率电流密度矢）。其分量（由于是实函数）（由于是实函数） 。所以，几率电流密度矢仅在方向上有，且大小对对称。因此，通过截面的环电流元为 根据电磁学，环电流产生的磁矩 （为环体积）所以，总磁矩为 ， 焦耳/忒斯拉，称为玻尔磁子。由此可见，由于电子空间运动（处于态），氢原子的磁矩是量子化的，它是玻尔磁子的整数倍，其方向与轨道角动量的分量相反（由于电子带负电）。 ，称为轨道回磁比。如取为单位，。这是电子轨道运动产生的磁矩特征。 5） 的平均值（如氢原子处于态）可由方程求得，其中 ，而， ， （5）类氢离子类氢离子是核中有个质子，外面仅有一个电子：如。由于是类氢离子，其解完全可借用氢原子的解来求，只要，并以代替，而，为原子核的质量，则 氢原子的解决，给量子力学的建立增加了支持，特别是著名的氢原子中的红谱线（）。而同位素氘（）有相应的红谱线（），但与不同。这可从理论上直接被解释。，所以，进一步证实量子力学中假设的正确性。5.2 HellmannFeynman定理若(中含有的某一参量)，其本征态为(已归一)，本征值为，则有 于是有 .证： , 所以， 于是证明了 例1：对类氢离子:，其能级能量为.试求 .解： 若将看作参量, 则 ，而 于是 例2：对球坐标 这时可将l看作参量, 于是有于是证明了 例1：对类氢离子:，其能级能量为.试求 .解： 若将看作参量, 则 ，而 于是 例2：对球坐标 这时可将l看作参量, 于是有 5.3 三维各向同性谐振子 位势是一种常用的位势模式，它也是有心力场，所以仍取力学量完全集来分类能级及相应的本征函数。 .由于和的性质，因此,能变量可分离。所以其特解 ，并令 ， ，则有 。 当 ，则有所以而 ， 令 代人方程得 . 并代 , 则有 。这即为合流超比方程，要在y0处有正常解，则 。若不截断, 当 。为使 在无穷远处，。因此要求截断成多项式，即，也就是， 所以 ，其中 。当给定 。讨论：A. 三维各向同性谐振子的能级是等间距的，最低能级为；B每条能级是简并的。简并度 ；C 当 为偶，；当 为奇，所以，宇称为 ；D. 可以求得归一化的波函数 ， 。三维各向同性谐振子也可用作为力学量完全集来分类。5.4 带电粒子在外电磁场中的薛定谔方程，恒定均匀场中带电粒子运动（1）带电粒子在外电磁场中的在经典力学中，当质量为的带有电荷为q的粒子，在电磁场中的经典哈氏量为 其中为正则动量因此，在量子力学中，带电粒子在外电磁场及外场中的薛定谔方程为 （ 对于有自旋的带电粒子，则有附加项, ,和） 当我们处理静标势时，取库仓规范于是 ，即 。该方程有性质A. 几率守恒于是有 从而有 B规范不变性在经典电动力学中，知道电磁场具有规范不变性 则 不变即 而在量子力学中 经变换后 原方程为 若取 则 这即为量子力学规范不变性。虽然波函数变了，但所有物理可观测量保持不变，结构形式表示不变。（2）正常塞曼效应（Normal Zeeman Effect）当氢原子，类氢离子或碱金属等原子置于较强的外磁场中，将会发现他们的每一条标志光谱分裂为三条，这就是通常称的简单塞曼效应或正常塞曼效应。（而原来能级分裂成单数能级（）条）（条件：当外磁场是强场（忒斯勒），使可忽略。但又不太强，使项也能忽略。另外，自旋与磁场作用在偶极跃迁中是不影响结果的，所以可不计及）。 由于原子很小，在实验室中，产生的磁场在原子范围内可看作一均匀场（）相应矢量势，取 这即意味着 如取 方向为方向，则 ，代入方程得 为原子中库仑场或屏蔽库仓场 当 ，可忽第三项。于是，不含时间的薛定谔方程可表为 特解：如考虑碱金属和类氢离子，是有心力场（但不一定是库仓场）。于是选完全集，。无磁场时，若为 （不一定是库仑场，E可能与有关），则 所以，原来是 重简并的能级，在外磁场下分裂为 条，各条能级的能量差为 ， 称为拉摩（Lammor）频率，它与外场成正比，例：有和两条能级。在无外场下发生跃迁的光波频率为。由偶极矩跃迁选择定则 。（当加上，不影响结论。因偶极跃迁）所以，在外场下，有9种跃迁，但频率仅有三个 这即为正常塞曼效应。(3) 带电粒子在均匀强磁场中的运动（）当磁场足够强时，项不能忽。这时薛定谔方程为 若为均匀磁场，在方向，我们可取。(取, 即得) 。 可选为完全集，因 从而得 令 ， ，即，得方程 所以有解 其中 。 其中 。于是有 由于振子能量为，故该体系具有磁矩，也就是说，无论电荷是正还是负，这磁矩是与外场方向相反（即反磁性）。这磁矩是量子化的，但它不是的整数倍，而是倍。这正就是自由电子气体反磁性的特征。由上面结果可以看到：A在这样强的磁场下，电子在方向平移（如B在z方向），而在y方向振动，其振动平衡位置由于受到恒定的外力作用而改变了平衡位置（）；B. 能量与无关，即每一条能级对是简并的，即无穷大简并，所以 仍是本征方程之解。（4）磁通量的量子化我们现在来讨论绪言中提到的磁通量量子化，即量子效应不仅在微观尺度中显示出来，而且在宏观尺度中也有显示。 在外电磁场中的薛定谔为 。我们也已指出时，薛定谔方程的结构形式不变，只要 即可。现来看一下，一个具体问题: 在的区域, 即 . 因此，电磁场自由区域，即无电磁场区域 , .当然，也可取 ，并保持 。而满足薛定谔方程的电子的波函数应为，即不同处位置，波函数有一固定的位相改变。若从，附加的位相改变为 而 ，所以，两条路径位相差为 当电子的波函数在无电磁场路径上绕复连通区域一周，则其位相变化为，；若不等于0，则 ，也就是 ，即这两条路