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文档简介

一 正方矩阵 1 方阵的乘幂（1）已知，求。（2）已知，求。（3）已知三阶方阵的三个特征根为1，0，-1；对应的线性无关的特征向量为；求。 2 方阵的伴随矩阵设为阶方阵，称矩阵为的伴随矩阵。 显然有。3 可逆方阵设为阶方阵，若有阶方阵，使得，则称为可逆方阵。并称为之逆，记为，即由定义及易得：为可逆方阵的充分必要条件是。4 方阵的特征值设为阶方阵，若有非零的矩阵与数使得，则称为的特征值。由克莱姆法则的推论知为的特征多项式的根，故特征值也可称为的特征根。 （1）零方阵的特征值为零。 （2）。为的个特征根。 （3）若是可逆方阵的特征根，则，且是的特征根。 （4）设是方阵的特征根，是多项式，则是的特征根。 （5）设是方阵的特征根，是多项式，且，则。 （6）相似矩阵的特征多项式相同，从而特征根相同。 （7）实对称矩阵的特征根恒为实数。5 方阵的行列式（以下设均为n阶方阵，为阶方阵，为矩阵，为矩阵，是的伴随矩阵， 是的转置矩阵；是数。）（1） （2*） （3） （4） （5） 。（6）若是可逆方阵，则 例题（1） 已知A为3阶方阵， 且，则。（2） 已知A为3阶方阵，则（3） 已知满足条件，且为三个相等的正数，则，。（4） 若4阶方阵，的特征根为。则（5） 设为3阶实对称矩阵，且满足条件， 则作 业 四1 设为3阶方阵，且=2，则。2 设为3阶方阵，满足条件，则3 设都是n阶方阵，且可逆。则（ ）。 ； ； ； 。4 设是n阶可逆方阵，则=（ ）。 1； ； ； 。5 设是n阶可逆方阵，则=（ ）。 ； ； ； 。6 设3阶方阵，的特征根为。求7 设为3阶实对称矩阵，且满足条件， 求。8 设为3阶方阵，且，求。9 求下列矩阵的幂（1）（2）。10 计算行列式 。提示：设 ，先计算乘积。11 证明奇数阶反对称矩阵必有零特征根。提示：满足条件的方阵称为反对称矩阵。先利用行列式的性质证明奇数阶反对称矩阵的行列式的值为零。12* 证明实的反对称矩阵的非零特征根必为纯虚数。提示
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