换元积分法与分部积分法.doc

数学分析 教案 第八章 不定积分 石家庄经济学院数理学院 1 8 2 8 2 换元积分法与分部积分法换元积分法与分部积分法 教学目标 教学目标 掌握第一 二换元积分法与分部积分法 教学内容 教学内容 第一 二换元积分法 分部积分法 基本要求 基本要求 熟练掌握第一 二换元积分法与分部积分法 教学建议 教学建议 1 布置足量的有关换元积分法与分部积分法的计算题 2 总结分部积分法的几种形式 升幂法 降幂法和循环法 教学过程 教学过程 一 第一类换元法一 第一类换元法 凑微分法 凑微分法 有一些不定积分 将积分变量进行适当的变换后 就可利用基本积分表求出积分 例如 求不定积分 cos2xdx 如果凑上一个常数因子 2 使成为 11 cos2cos2cos22 22 xdxxxdxxdx 令2x u 则上述右端积分 111 cos22cossin 222 xdxuduuC 然后再代回原来的积分变量x 就求得原不定积分 1 cos2sin2 2 xdxxC 更一般的 若函数 F x 是函数 f x 的一个原函数 x 是可微函数 并且复合运算 Fx 有意义 根据复合函数求导法则 FxFxxfxx 及不定积分的定义 有 fxx dxFxC 由于 f u duF uC 从而 ux fxx dxf u du 1 综上所述 可得如下结论 数学分析 教案 第八章 不定积分 石家庄经济学院数理学院 2 定理定理 8 48 4 第一换元积分法第一换元积分法 设 f u 是连续函数 F u 是 f u 的一个原函数 又若 ux 连续可微 并且复合运算 fx 有意义 则 ux fxx dxf u duFxC 2 第一换元积分公式 2 说明如果一个不定积分 g x dx 的被积表达式 g x dx 能够写成 fxx dx 的形式 可通过变量代换 ux 把被积表达式等同于 f u du 若不定积分 f u duF uC 容易求得 那么再将 ux 代入 F u 便求出原不定积分 g x dxFxC 由于第一换元积分法的基本手段就是将被积表达式 g x dx 变为 fxx dxfxdx 的形式 也就是把被积函数 g x 分解成两个因子的乘积 其中一个因子与dx凑成某一函数 x 的微分 而另一因子是 x 的函数 fx 且经过这 样的微分变形后被积表达式 fxdx 变为容易积分的形式 所以人们也经常称第一换元 积分法为 凑微分法 凑微分法技巧性强 无一般规律可循 因而不易掌握 初学者只有多 做练习 不断总结经验 才能运用自如 凑微分法凑微分法 1 1 1 1 duuf a baxdbaxf a dxbaxf 例 利用 1 0dxd axba bR a a 求下列积分 1 3 3 1 1343434 3 xdxxdx 令 34ux 有 144 3 333 11 31 34 33 44 xdxu duuCuC 再将 34ux 代入 有 4 3 3 1 3434 4 xdxxC 22 22 1 2 0 1 1 dxdxx da axx ax a aa 数学分析 教案 第八章 不定积分 石家庄经济学院数理学院 3 令 x u a 有 222 arcsin 1 dxdu uC axu 再将 x x a 代入 有 22 arcsin dxx C a ax 22 222 1 3 1 1 x d dxdx a xx axa a aa 令 x u a 222 11 arctan 1 dxdu uC axaua 再将 x u a 代入 有 22 1 arctan dx xC axa 如果运算比较熟练 为了简化解题步骤 变量代换 ux 可以不写出来 只需默记在头脑中 就可以了 凑微分法凑微分法 2 2 特别地 有 duuf k xdxf k dxxfx kkkk 1 1 1 和 duufxdxfxdxxf 2 1 2 1 222 xdxfdx x xf 2 例 利用 1 1 0 1 1 x dxd axba bR a a 求下列积分 222 1 1575757 5 2 xxdxxdx 2 222 111 575757 1010 2 xdxxC 2 2 1 57 20 XC 数学分析 教案 第八章 不定积分 石家庄经济学院数理学院 4 111 2 11 21 xxx e dxedeC xx 2 3222arctan 11 1 dxdxdx xC xxx x 22 40 1 dx x xx 解 4 222 2 11111 111 1 dx dd xxx xxx x 2 2 111 2 1 1 d x x 1 22 2 111 11 2 d xx 1 22 2 111 2 11 2 CC xx 例 若被积函数 x f x x 利用 xdx f x dxdx xx 有如下公式 ln xdx f x dxdxxC xx 求下列积分 ln 1ln ln lnln dxdx xC xxx sincos 2tanln cos coscos xdx xdxdxxC xx cossin 3cotln sin sinsin xdx xdxdxxC xx 以上 例都是直接利用 凑微分法 求不定积分 如果进一步把 凑微分法 与不定积分 的运算性质结合起来 就可以利用基本积分表来处理非常广泛的初等函数的积分 例 将下列被积函数先作代数恒等变形再求其不定积分 22 111 1 2 dx dx axaaxax 11 ln 22 d xad xaxa C axaxaaxa 数学分析 教案 第八章 不定积分 石家庄经济学院数理学院 5 222 1 1 2 1 111 x xx x xxx de dxeedx dx e eee 1 111 1111 x xx xxxx de ee dxdx eeee 2 1 ln 1 1 x xeC e 2 222 2 sin111 31 1 1 sin1 sinsin 1 sin x dxdxdxdx xxx x 2 cot cot1 2 cot2cot2 1 2 x d dx xx xx 1cot arctan 22 x xC 凑微分法凑微分法 3 3 sin sincos sinduufxdxfxdxxf cos cossin cosduufxdxfxdxxf sec 2 duufdtgxtgxfxdxtgxf 例 对于 sinnxdx 与 cosnxdx nN 形式的积分 当n是偶数时 可利用三角恒等式 22 11 sin1 cos2cos1cos2 22 xxxx 来降低三角函数的幂 当n是奇数时 变正 余 弦函数的积分为余 正 弦函数的积分 2 42 11 1sin1 cos212cos2cos 2 24 xdxxdxxx dx 11 2 cos21cos4 42 dxxdxx dx 11 sin2sin4 428 x xxxC 1 31 sin2sin4 4 28 xxxC 32 2cos1 sincosxdxxxdx 23 1 cossinsinsinsin 3 xdxxdxxxC 例 对于 sinsin cossincoscosxxdxxxdxxxdx 和 形式的积分 可利用三角 数学分析 教案 第八章 不定积分 石家庄经济学院数理学院 6 函数的积化和差公式 1 1cos cos2cos 12cos 12 2 xxdxxxdx sin 12sin 12 1 21212 xx C 1 2cos2 sin3sin 23sin 32 2 xxdxxx dx 111 sin5sincoscos5 255 xdxxdxxxC 例 根据 2 sin2sincos2tancos 2222 xxxx x 1 cos tancsccot 2sin xx xx x 2 11 1csctan 2 2tancostan 222 x xdxdxd xxx ln tanln csccot 2 x CxxC 2 2secln csccot 22 sin 2 d x xdxxxC x ln sectanxxC 例 2 arcsinarcsinarcsin 22 11 1 xxx dxdxdx xxx x 2 2 arcsinarcsinarcsinxdxxC 凑微分法凑微分法 4 4 duufdeefdxeef xxxx 例 9 2 t e dt 凑微分法凑微分法 5 5 ln ln lnduufxdxf x dx xf 例 10 ln21 xx dx 数学分析 教案 第八章 不定积分 石家庄经济学院数理学院 7 凑微分法凑微分法 6 6 arcsin arcsin 1 arcsin 2 duufxdxfdx x xf duufdarctgxarctgxfdx x arctgxf 1 2 例 11 dt t arctgt xd x xarctg dx xx xarctg xt 2 1 2 1 2 1 cxarctgcarctgttgtarctgtdarc 22 2 其他凑法举例其他凑法举例 例 12 cee ee eed dx ee ee xx xx xx xx xx ln 例 13 22 ln ln ln 1ln xx xxd dx xx x 例 14 dx tgxx xtgxx dx tgxx tgxxx xdx sec secsec sec secsec sec 2 ctgxx tgxx tgxxd sec ln sec sec 例 15 dx xx xx 5 cossin sincos 例 16 dx xx xx cossin sin5cos 例 17 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 4 2 x x x xd dx x x x dx x x 例 18 dx xx x 22 5 2 以上例子大都采用了初等数学 代数或三角函数 中的运算技巧将被积函数进行适当的变 形 然后再进行变量带换 因此在作积分运算时 应该重视有关初等数学知识的灵活运用 习题 习题 P188 189 1 1 24 二 第二类换元法二 第二类换元法 从积分 出发 从两个方向用凑微法计算 即 tdt 2 cos 数学分析 教案 第八章 不定积分 石家庄经济学院数理学院 8 tdtdxx tx sinsin11 2 sin 2 tdt 2 cos 2sin 4 1 2 1 2cos1 2 1 cttdtt 在式 中 如果 2 1xx 连续可微且定号 式中左端的不定积分 fxx dxF xC 容易求得 并且 1 xuux 是的反函数 则式 2 右端的不定积分 1 f u duFxC 利用这个过程求不定积分的方法 称为第二换元积分法 第二换元积分法可以确切的叙述如下 定理定理 8 58 5 第二换元积分法第二换元积分法 设 f x 是连续函数 x 是连续可微函数 且 x 定号 复合运算 ft 有意义 设 F t 是 ftt 的一个原函数 即 ftt dtF tC 则 1 tx f x dxftt dt 1 FxC 3 其中 1 xt 是的反函数 证明 证明 有定理假设 x 定号 故函数 t 存在反函数 1 u 又 dF t ftt dt 于是 1 1 1 tx dF tddt Fxftt dxdtdxt 1 tx 1 tx ftf x 可见 1 Fx 是式 3 左端不定积分的被积函数的一个原函数 所以式 3 成立 第二换元积分法指出 求式 3 左端不定积分 作变量代换 xt 从而 f xftdxt dt 于是 f x dxftt dt 若上式右端的不定积分 ftt dtF tC 4 容易求出 那么再代回原来的变量 1 tx 便求出原不定积分 数学分析 教案 第八章 不定积分 石家庄经济学院数理学院 9 1 f x dxFxC 由于第二换元积分法的关键在于选择满足定理 8 5 条件的变换 xt 从而使式 4 的不 定积分容易求出 那么如何选择变换 xt 呢 这往往与被积函数的形式有关 例如 若被 积函数中有根式 一般选择适当的变换 xt 来去掉根式 从而使被积函数得到简化 不定 积分容易求出 常用代换有所谓无理代换 三角代换 双曲代换 倒代换 万能代换 Euler 代换等 以下我们着重介绍三角代换和无理代换 1 1 三角代换 三角代换 1 1 正弦代换 正弦代换 正弦代换简称为 弦换 是针对型如的根式施 22 xa 0 a 行的 目的是去掉根号 方法是 令 则 0 sin atax cos 22 taxa costdtadx arcsin a x t 例 19 计算 22 0ax dxa 解 令 sin arcsin 22 x xatttaxa a 则 且 22 coscos cos axatat dxatdt 从而 22 ax dx 2 22 cos coscos1 cos2 2 a at atdtatdtt dt 222 1 sin2sin cos 2222 aaa ttCtttC 由图 2 1 知 22 sincos xax tt aa 所以 22 ax dx 2222 arcsin 22 axaxax C aaa 2 22 arcsin 22 axx axC a 数学分析 教案 第八章 不定积分 石家庄经济学院数理学院 10 2 2 正割代换 正割代换 正割代换简称为 割换 是针对型如 的根式施 22 ax 0 a 行的 目的是去掉根号 方法是 利用三角公式 令 1sec 22 ttgt sectax 有 变量还愿时 常用辅助三角形法 22 atgtax sectgtdttxdx 例 20 计算 22 0 dx a xa 解 令 sec 0sec 22 xatttxat 当或时 存在反函数 arcsin x t a 这里仅讨论 0 2 t 的情况 同法可讨论2 t 的情况 由于 0 2 t 0 t 2 22 tantan tan secxaatat dxattdt 从而 22 1 tansec tan dx attdt at ax secln sectantdtttC 由图 2 2 知 22 sectan xxa tt aa 所以 22 22 ln dxxxa C aa ax 22 ln xxaC 这里 lnCCa 3 3 正切代换 正切代换 正切代换简称为 切换 是针对型如的根式施行 22 xa 0 a 的 目的是去掉根号 方法是 利用三角公式即 1sec 22 ttgt sec1 22 tttg 令 此时有 变量还原时 常用所 atgtx tdtadx 2 sec sec 22 taxa a x arctgt 谓辅助三角形法 例 21 计算 22 dx ax 0a 22 secsec xaatat 解 令 tan 22 xatt 则 tanxat 存在反函数 且 22 secsec xaatat 2 secdxatdt 从而 数学分析 教案 第八章 不定积分 石家庄经济学院数理学院 11 22 dx ax 2 1 secsecln sectan sec at dttdtttC at 由图 2 3 知 sect 22 xa a tan x t a 所以 22 dx ax 22 22 lnln xax CxxaC aa 这里 lnCCa 总结例 2 19 2 21 有如下规律 1 若被积函数含有 22 ax 一般令 sinxat 或 cosxat 2 若被积函数含有 22 xa 一般令 seccscxatxat 或 3 若被积函数含有 22 xa 一般令 tancotxatxat 或 2 2 无理代换 无理代换 若被积函数是的有理式时 设为的最小公倍数 k nnn xxx 21 n 1 kini 作代换 有 可化被积函数为 的有理函数 n xt dtntdxtx nn1 t 例 22 计算 12xxdx 解 为了去掉被积函数的根式 令 12tx 即作变量代换 2 1 1 0 2 xtt 则dx tdt 从而 12xxdx 242 11 1 22 tt tdtt dtt dt 53 1 253 tt C 53 22 11 1212 106 xxC 例 23 t dt dtt t dtt xx dx xt 1 6 1 6 1 6 2 32 6 数学分析 教案 第八章 不定积分 石家庄经济学院数理学院 12 cxxx 636 1ln 2 1 6 若被积函数中只有一种根式或可试作代换或 n bax n ecx bax n baxt 从中解出来 n ecx bax t x 例 24 tdtttxdxxdxxx xt 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 22223 2 cxxc tt dttt 2 3 2 2 5 2 35 24 1 3 1 1 5 1 35 本题还可用割换计算 但较繁 3 3 双曲代换 双曲代换 利用双曲函数恒等式 令 可去掉1 22 xshxchashtx 型如 的根式 化简时常用到双曲函数的一些恒等式 如 22 xa achtdtdx 22 12 2 1 12 2 1 22 shtchttshtchtshtchtch 1ln 21 xxxsh 参阅复旦大学 陈传璋等 编 数学分析 上册 P24 例 25 tdtchaachtdtachtdxxa ashtx 2222 ct a tsh a dttch a 2 2 4 12 2 222 cxax a xa x ln 22 22 2 22 本题可用切换计算 但归结为积分 该积分计算较繁 参阅后面习题课例 3 tdt 3 sec 例 26 可用切换计算过该题 现用曲换计算 2 2 x dx 解 1 22 ln 2 2 2 2 xx ctdtdt cht cht I shtx c 2ln 2ln 2 cccxx 数学分析 教案 第八章 不定积分 石家庄经济学院数理学院 13 例 27 曾用割换计算过该题 现用曲换计算 22 ax dx 解 c a x a x ctdtdt asht asht I achtx 1 ln 2 2 ln ln 22 acccaxx 4 4 倒代换 倒代换 当分母次数高于分子次数 且分子分母均为 因式 时 可试用 倒代换 1 1 2 dt t dx t x 例 28 0 1 2242 2 24 2 1 2 1 2 t u xu uuu du xxx xd xxx dx c x x c x ct t dt ttt dt t 11 1 1 12 1 111 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 5 5 万能代换 万能代换 万能代换常用于三角函数有理式的积分 参 1 P261 令 2 x tgt 就有 2 21 2 2 sec 2 2 2 cos 2 sin2sin t t x x tg xx x 1 1 cos 2 2 t t x 2 1 2 t t tgx 1 2 2 t dt dx 2arctgtx 例 29 x dx cos1 解法一 用万能代换 c x tgctdtdt t t t I x tgt 2 1 1 1 1 2 2 2 22 解法二 用初等化简 c x tg x d x x dx I 2 2 2 sec 2 cos 2 1 2 2 数学分析 教案 第八章 不定积分 石家庄经济学院数理学院 14 解法三 用初等化简 并凑微 x xd xdxdx x x I 2 2 2 sin sin csc cos1 cos1 2 csc sin 1 c x tgcctgxxc x ctgx 例 30 cossin1 d 解 ct t dt dt t t t t t I x tgt 1 ln 11 2 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 c x tg 1 2 ln 代换法是一种很灵活的方法 习题 习题 1 P189 1 25 27 28 30 三 分部积分法三 分部积分法 设 u x 与 v x 均为x的连续可微函数 于是 由函数乘积的求导公式 有 u x v xu x v xu x v x 或 u x v xu x v xu x v x 再由不定积分的定义及线性性质 有 u x v x dxu x v xu x v x dx u x v xdxu x v x dx u x v xu x v x dx 即 u x v x dxu x v xu x v x dx 5 或 u x dv xu x v xv x du x 6 公式 5 或公式 6 称为不定积分的分部积分公式 一般地说 利用分部积分公式求不 定积分就是追求被积函数形式的转变 把比较难求甚至无法求出的不定积分 u x v x dx 转变 成容易求的不定积分 u x v x dx 起到化繁为简的作用 对于给定的不定积分 f x dx 作分部积分运算 通常要把被积函数 f x 分解为两个因子的 乘积 这会有多种选择 对两个因子中哪一个选作 u x 也会有多种选择 选择不同 效果不一 数学分析 教案 第八章 不定积分 石家庄经济学院数理学院 15 样的 例如 在积分 sinxxdx 中 若选择 sinu xx v xx 则 222 sinsinsincos 222 xxx xxdxxdxxdx 并没有达到简化积分计算的目的 若选择 u xx sinv xx 则 sincoscoscosxxdxxdxxxx dx coscoscossinxxxdxxxxC 由此可见 u x 与 v x 的选择对于初学者来讲 只有认真总结规律 才能熟练地运用分 部积分技巧 一般来说 在使用分部积分法求不定积分时 若被积函数是幂函数 n x 与指数函数或三角 函数的乘积时 应选择 n u xx 若被积函数是幂函数 n x 与对数函数或反三角函数的乘积时 应选择 n v xx 1 1 幂幂 X X 型函数的积分型函数的积分 分部积分追求的目标之一是 对被积函数两因子之一争取求导 以使该因子有较大简化 特别是能降幂或变成代数函数 代价是另一 因子用其原函数代替 一般会变繁 但总体上应使积分简化或能直接积出 对 幂 X 型的积分 使用分部积分法可使 幂 降次 或对 求导以使其成为代数函数 X 例 31 计算下列不定积分 1 222 2 xxxx x e dxx dex eexdx 22 22 xxxx x exdxx exee dx 2 22 x exxC 2 2 111 sin1 cos2cos2 222 xxdxxx dxxdxxxdx 22 1111111 sin2sin2sin2 4224422 xxdxxxxxdx 2 11 sin2cos2 448 x xxxC 3 2 ln111 lnlnln x dxxdxdx xxxx 数学分析 教案 第八章 不定积分 石家庄经济学院数理学院 16 2 11 ln ln1 dx xxC xxx 4 arcsinarcsinarcsinxdxxxxdx 2 22 1 11 arcsinarcsin 2 11 dx xxxdxxx xx 1 22 2 1 arcsin2 1 arcsin1 2 xxxCxxxC 5 23 16 arctanarctan 2 xxdxxd xx 3 3 2 2 2arctan 1 xx xxxdx x 3 2 2arctan2 1 x xxxxdx x 322 1 2arctanln 1 2 xxxxxC 2 2 建立所求积分的方程求积分 建立所求积分的方程求积分 分部积分追求的另一个目标是 对被积函数两因子之一求导 进行分部积分若干次后 使 原积分重新出现 且积分前的符号不为 1 于是得到关于原积分的一个方程 从该方程中解出 原积分来 例 32 sin xdxe x 例 33 求 和 bxdxeI ax cos 1 0 sin 2 abxdxeI ax 解 解得 sin 1 cos 1 12 21 I a b bxe a I I a b bxe a I ax ax cossin cossin 22 2 22 1 ce ba bxbbxa I ce ba bxabxb I ax ax 例 34 0 22 adxxa 解 dx xa x xxaxI 22 22 dx xa a dx xa xa xax 22 2 22 22 22 数学分析 教案 第八章 不定积分 石家庄经济学院数理学院 17 参阅例 41 ln 1 22222 cxaxaIxax 解得 ln 22 22 2 22 cxax a xa x I 例 35 xdxxxxxdxdx 22 sinsincossincoscos xdxxxx 2 cossincos 解得 cx x xdx2sin 4 1 2 cos2 例 36 xtgxdxtgxxtgxxdtgxxdxxxdxsecsecsecsecsecsec 23 xdxxdxxtgxxdxxxtgxsecsecsecsec 1 secsec 32 xdxtgxxxtgx 3 sec sec lnsec 解得 xdx 3 secctgxxxtgx sec ln 2 1 sec 2 1 分部积分法也常用来产生循环现象 然后经过代数运算求出不定积分 例 37 计算下列不定积分 1 22 xa dx 设 22 Ixa dx 则 222222 Ixa dxx xaxdxa 22 22 x x xaxdx xa 2 2222 22 a x xaxadx xa 222 22 dx x xaIa xa 再由例 21 有 22 xa dx 22 ln xxa C 故原积分 2 2222 ln 22 xa IxaxxaC 这里 2 C C 2 计算 sin x exdx 和 cos x exdx 数学分析 教案 第八章 不定积分 石家庄经济学院数理学院 18 解 sin x exdx 1 sin x xde 1 sincos xx exexdx 11 sincos xx exxde 2 1 sincossin xxx exexex dx 1 sin x ex 2 22 cossin xx exexdx 移项 整理 有 sin x exdx 22 sincos x e xxC 同理可得 cos x exdx 22 sincos x e xxC 在含有自然数n的不定积分中 常用分部积分法来建立求不定积分的递推公式 例 38 1ln n n Ix dxn N N 解 lnlnln nn n n Ix dxxxxdx 11 1 lnlnlnln nn nn xxx nxdxxxnxdx x 1 ln n n xxnI 即 1 ln n nn IxxnI 这就是递推公式 例如 3n 时有 3 332 21 lnln3ln3ln2x dxxxIxxxxI 321 ln3ln6lnxxxxxxxdx x 32 ln3ln6 ln6xxxxxxxC 2 22 n dx xa n N N 0a 解 设 n I 22 n dx xa 则 数学分析 教案 第八章 不定积分 石家庄经济学院数理学院 19 2222 1 nnn x Ixd xaxa 1 2222 2 nn xx xndx xaxa 2 1 222222 1 2 nnn xa ndx xaxaxa 2 1 22 22 nnn x nIna I xa 从而 1 2 22 1 21 2 nnn x InI na xa 7 特别当 1n 时 有 1 22 1 arctan dxx IC xaaa 于是利用递推公式 2 7 有 21 222222 111 arctan 22 xxx IIC axaaxaaa 2 1 2a 22 x xa 3 1 2a arctan x a C 这里 C 3 2 C a 分部积分法与换元积分法有时在同一题中配合使用效果更佳 例 39 计算 2 2 2 arcsin1 1 xx dx x x 解 2 2 2 arcsin1 1 xx dx x x 2 22 arcsinarcsin 1 xx dxdx x xx 2 arcsinarcsin