电磁场的数学与物理基础知识1-1.ppt

2018/1/11,工程电磁场与电磁波基础,绪论第一章：电磁场的数学与物理基础知识第二章：静电场第三章：恒定电场第四章：恒定磁场第五章：时变电磁场第六章：正弦平面电磁波的传播,2018/1/11,第一章 电磁场的数学与物理基础知识,1-1 电磁场与矢量代数 1-2 正交曲面坐标系 1-3 标量场及其梯度 1-4 矢量场的通量、散度与高斯散度定理 1-5 矢量场的环量、旋度与斯托克斯定理 1-6 亥姆赫兹定理 1-7 电磁场麦克斯韦方程组 与电磁场的分类1-8 矢量场惟一性定理,2018/1/11,1-1 电磁场与矢量代数,场的概念:,场是一个以空间位置(x,y,z)和时间(t)为自变量的函数。,标量场矢量场稳恒场均匀场,描绘场的函数为标量函数= (x,y,z,t)描绘场的函数为矢量函数A=A(x,y,z,t )不随时间变化的场 (x,y,z), A(x,y,z )不随空间变化的场 (t) , A(t ),只有大小而没有方向的量。如电压、电荷量、电流、面积等,在指定的时刻，空间每一点可以用一个标量唯一地描述，则该标量函数定出标量场。例如物理系统中的温度、压力、密度等。,具有大小和方向特征的量。如电场强度矢量。磁场强度矢量、作用力矢量、速度矢量等。,在指定的时刻，空间每一点可以用一个矢量唯一地描述，则该矢量函数定出矢量场。例如流体空间中的流速分布等。,2018/1/11,1-1 电磁场与矢量代数,1.1.1矢量及其表示方法1.1.2矢量相加(叠加) 1.1.3矢量的乘积运算,2018/1/11,1.1.1 矢量及其表示方法,矢量的定义与表示：几何表示：有向线段代数表示：基于坐标系的参数表示 矢量的代数运算(四则运算)：几何方法及其意义代数方法及其运算规则(与坐标系相关),2018/1/11,1.1.1 矢量及其表示方法,矢量：表示既有大小也有方向的量，如 或 标量：只有大小的量，如 矢量几何图示如右：,矢量代数：矢量间的四则运算，即加减法、乘法。,2018/1/11,1.1.1 矢量及其表示方法,一个由大小和方向共同确定的物理量叫做矢量。,，,单位矢量模等于1的矢量叫做单位矢量。,矢量表示法在三维空间中，矢量可表示为一根有方向的线段。该线段的长度 代表该矢量的模，该线段的方向 代表该矢量的方向。,2018/1/11,在直角坐标系中矢量的表示,例如：,2018/1/11,一个矢量经平移后所得到的新矢量与原矢量相等。在直角坐标系下，两个相等的矢量必有相等的坐标分量。,负矢量与原矢量大小相等，方向相反的矢量。,小结,2018/1/11,1.1.2 矢量相加(几何表示 ),，,两矢量A和B相加定义为一个新矢量A+B,交换律 A+B = B+A结合律 ABC=A(BC)=(AB) C,A和B相减为新矢量A B,2018/1/11,1.1.2 矢量相加(代数表示),，,直角坐标系中的矢量及运算,若,则,2018/1/11,1.1.2 矢量相加(代数表示),矢量加法满足交换律和结合律，矢量减法不满足交换律。,矢量乘法,标量与矢量A的乘积用A表示，它是A的倍。,若,则,2018/1/11,两个矢量的标量积（点积）定义为这两个矢量的模以及这两个矢量之间夹角的余弦三者的乘积。,两个矢量的矢量积（叉积）的模等于这两个矢量的模以及这两个矢量之间夹角的正弦三者的乘积，而方向垂直于两矢量所构成的平面，其指向按“右手法则”来确定。,1.1.3矢量的乘积运算,2018/1/11,1.1.3矢量的乘积运算,AB=ABcosAB=BA(A+B)C=AC+BC(A B) =(A) B= A(B)若A B，则AB=0(5)A自身的点积，即 =0，AA=A2,1.矢量的标量积 dot product/scalar product,2018/1/11,例如， 直角坐标系中的单位矢量有下列关系式： exey=eyez= exez=0exex=eyey=ezez=1,直角坐标系中的点积运算,由单位矢量的正交性,得,1.矢量的标量积,2018/1/11,2.矢量的矢量积 cross product,C= AB=ABsinec ec为垂直于A、B平面的单位矢量，A、B、C服从右手螺旋法则。,(a) 矢量积的图示； (b) 右手螺旋,2018/1/11,矢量积又称为叉积(Cross Product)，如果两个不为零的矢量的叉积等于零， 则这两个矢量必然相互平行，或者说，两个相互平行矢量的叉积一定等于零。 矢量的叉积不服从交换律， 但服从分配律， 即AB=-BA A(B+C)=AB+AC,A、B相平行（ = 0或180)时，AB=0，反之亦然；A自身的叉积为零，AA=0。,2.矢量的矢量积 cross product,2018/1/11,直角坐标系中的单位矢量有下列关系式： exey=ez eyez=ex, ezex=ey exex=eyey=ezez= 0 在直角坐标系中，矢量的叉积还可以表示为,=ex(AyBz-AzBy)+ey(AzBx-AxBz)+ez(AxBy-AyBx),2.矢量的矢量积 cross product,2018/1/11,ABBA AB = BA C (A+B)=C A +C B (AB) =(A)B= A(B) 若A/B，则AB=0,2.矢量的矢量积 cross product,2018/1/11,标量积满足交换律和分配律，矢量积只满足分配律。,若两个矢量垂直，即它们之间的夹角为90o，则它们的标量积等于零，而矢量积最大，等于这两个矢量的模的乘积；若两个矢量平行，即它们之间的夹角为零，则矢量积等于零，而标量积最大，等于这两个矢量的模的乘积。反过来说也是对的。若两个非零矢量的标量积等于零，则这两个矢量必相互垂直；若两个非零矢量矢量积等于零，则这两个矢量必相互平行。,2018/1/11,3.矢量的混合积,转换性 C ( AB ) = A ( BC ) = B ( CA ),C ( AB)=|C| |AB|cos,三个矢量共面的条件 C ( AB ) =0,坐标表示式,2018/1/11,（1）矢量混合积的几何意义：,关于混合积的说明：,2018/1/11,2018/1/11,2018/1/11,定理1,构成左手系时混合积为负数, 也就是有,定理2,证明:,先证明必要性 “”，即已知三个矢量,共面，求证,2018/1/11,证毕.,再证明充分性 “”，即已知,求证:,三个矢量共面.,由,及定义,得,即,而又,所以, 矢量,垂直,首先,若,即,结论显然成立.,以下设,所以,证毕.,2018/1/11,定理3,证明:,三个矢量共面时,结论显然成立. 以下设它们不共面.,棱的平行六面体的体积,即它们的绝对值相等.,又因为,具有相同的左右手系,(因为轮换不改变左右手系),即它们的符号也相同. 证毕.,只证明第一组. 第二组可以类似考虑.,2018/1/11,推论1,例1,设三向量,满足,证明:,由,两边与,所以,2018/1/11,矢量混合积在直角坐标系下的分量表示,设直角坐标系,定理4,证明:,2018/1/11,所以,推论2,三个矢量,共面的充要条件为,2018/1/11,例2.,已知四面体ABCD的顶点坐标A(0, 0, 0), B(6, 0, 6),C(4, 3, 0), D(2, -1, 3), 求它的体积.,解:,它的体积等于以,为棱的平行六面体体积的六分之一,所以,2018/1/11,解,2018/1/11,式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.,2018/1/11,解,例4,2018/1/11,例5,求矢量,对,的分解式.,(也即将,表示成,的,线性组合),解:,所以可设,上式两边同时点乘,得,则得,同理可以得到,2018/1/11,向量的数量积,向量的向量积,向量的混合积,（结果是一个数量）,（结果是一个向量）,（结果是一个数量）,（注意共线、共面的条件）,小结,2018/1/11,例6,证明:,证毕.,2018/1/11,4.矢量的三重积,A (BC） A(BC） （AB）C 不满足结合律 A(BC）=（ AC) B ( AB) C,1.1.3 矢量的乘积运算,2018/1/11,矢量代数运算式,均为矢量,垂直于,所在平面并与 成右手螺旋关系。,2018/1/11,矢量代数运算式,2018/1/11,位置矢量与距离矢量,位置矢量由坐标原点出发引向空间某一点的有方向线段，称为该点的位置矢量或矢径。,设P点的坐标为 ，则 其模,设P点的坐标为 ，则 其模,图 位置矢量与相对位置矢量,2018/1/11,相对位置矢量及模,其中，P 点的位置矢量为,习题1-7,2018/1/11,标量体元,矢量面元,矢量线元,矢量积分运算,矢量线积分,矢量面积分,标量体积分,1-2 正交曲面坐标系,2018/1/11,1-2 正交曲面坐标系,矢量线元,把长度元与坐标元之比定义为拉梅(Lame)系数,2018/1/11,直角坐标系,2018/1/11,直角坐标系,2018/1/11,直角坐标系微分元,2018/1/11,圆柱坐标系,空间任一点P的位置可以用圆柱坐标系中的三个变量(, , z)来表示， 如下图示。 其中，是位置矢量OP在xy面上的投影， 是从+x轴到位置矢量OP在xy面上的投影之间的夹角，z是OP在z轴上的投影。由图可以看出，圆柱坐标与直角坐标之间的关系为,x=cos y=sinz=z,如同直角坐标系一样， 圆柱坐标系也具有三个相互垂直的坐标面，,2018/1/11,圆柱坐标系一点的投影,圆柱坐标系三个互相垂直的坐标,2018/1/11,圆柱坐标系,2018/1/11,圆柱坐标系,2018/1/11,圆柱坐标系,2018/1/11,2018/1/11,圆柱坐标系微分元,2018/1/11,球坐标系,在球坐标系中， 空间一点P 唯一地用三个坐标变量(r,)来表示，如图示.位置矢量r又称为矢径(Radius Vector)， r是其大小，是位置矢量r与z轴的夹角，是从+x轴到位置矢量r在xy面上的投影OM之间的夹角。,球坐标与直角坐标之间的关系为 x=rsincos y=rsinsin z=rcos 同样， 球坐标也有三个坐标面,表示一个半径为r的球面， r的变化范围为0 r 。,2018/1/11,坐标面=常数 表示一个以原点为顶点、z轴为轴线的圆锥面，的变化范围0。坐标面,表示一个以z轴为界的半平面，的变化范围为 0 0；若处处相反，则 0 。可见，环量可以用来描述矢量场的旋涡特性。,2018/1/11,闭合曲线方向与面元的方向示意图,由物理得知，真空中磁感应强度 B沿任一闭合曲线L的环量等于该闭合曲线包围的传导电流 I与真空磁导率 u0 的乘积，即，,由此可见，环量可以表示产生具有涡旋特性的源的强度。与通量相似，环量代表的是闭合曲线包围的总的源强度，它并不能描述源的分布特性。,2018/1/11,矢量场的旋度(curl),为反映给定点附近的环量情况, 我们把封闭曲线收小, 使它包围的面积S趋近于零, 取极限,这个极限的意义就是环量的面密度, 或称环量强度。 由于面元是有方向的, 它与封闭曲线l的绕行方向成右手螺旋关系, 因此在给定点处, 上述极限值对于不同的面元是不同的。 为此, 引入旋度(curl或rotation):,1、定义：,2018/1/11,旋度：旋度是一个矢量。若以符号 rot A 表示矢量 A 的旋度，则其方向是使矢量 A 具有最大环量强度的方向，其大小等于对该矢量方向的最大环量强度，即,式中 rot 是英文字母 rotation 的缩写，en 为最大环量强度的方向上的单位矢量，S 为闭合曲线 l 包围的面积。上式表明，矢量场的旋度大小可以认为是包围单位面积的闭合曲线上的最大环量。,矢量场的旋度(curl),2018/1/11,2、旋度的物理意义,矢量A的旋度是一个矢量, 其大小是矢量A在给定点处的最大环量面密度, 其方向就是当面元的取向使环量面密度最大时, 该面元矢量的方向 。 它描述A在该点处的旋涡源强度。 若某区域中各点curl A=0, 称A为无旋场或保守场。,2018/1/11,旋度的展开式 P14,广义正交曲面坐标系中旋度的展开式为,直角坐标系中拉梅系数均为1，故,2018/1/11,矢量函数A在圆柱坐标系和球坐标系中的旋度表达式分别为,2018/1/11,一个标量函数的梯度是一个矢量函数，它描述了空间各点标量位的最大变化率及其方向；一个矢量函数的散度是一个标量函数，它描述了空间各点场矢量与通量源之间的关系；一个矢量函数的旋度是一个矢量函数，它描述了空间各点场矢量与旋涡源之间的关系。只有当场函数具有连续的一阶偏导数时，梯度、散度、旋度的定义才是有意义的。在某些场量不连续的交界面上，就不可能定义梯度、散度和旋度。,3、 梯度、散度、旋度的比较 ：,2018/1/11,如果矢量场所在的全部空间中，场的旋度处处为零，则这种场中不可能存在旋涡源，因而称之为无旋场（或保守场）；如果矢量场所在的全部空间中，场的散度处处为零，则这种场中不可能存在通量源，因而称之为无源场（或管形场）；在旋度公式中，矢量场的场分量Ax、Ay、Az分别只对与其垂直方向的坐标变量求偏导数，所以矢量场的旋度描述的是场分量在与其垂直的方向上的变化规律；在散度公式中，矢量场的场分量Ax、Ay、Az分别只对x、y、z求偏导数，所以矢量场的散度描述的是场分量沿着各自方向上的变化规律。,3、 梯度、散度、旋度的比较 ：,例1-6,2018/1/11,因为旋度代表单位面积的环量, 因此矢量场在闭曲线l上的环量就等于l所包围的曲面S上的旋度之总和, 即,此式称为斯托克斯(Stokes)定理或斯托克斯公式。,1 .5 .3 斯托克斯定理 The Stokess theorem,同高斯定理类似，从数学角度可以认为斯托克斯定理建立了面积分和线积分的关系。从物理角度可以理解为斯托克斯定理建立了区域 S 中的场和包围区域 S 的闭合曲线 l 上的场之间的关系。因此，如果已知区域 S 中的场，根据斯托克斯定理即可求出边界 l 上的场，反之亦然。,2018/1/11,1-6 矢量场中的常用定理,矢量场的分类梯度场、散度场和旋度场的关系定理矢量场的积分定理亥姆霍兹定理,2018/1/11,1.6.1 矢量场的分类,根据矢量场的散度和旋度值是否为零进行分类：,1) 调和场,若矢量场F在某区域V内，处处有：F=0和F=0 则在该区域V内，场F为调和场。,注意：工程实际中不存在在整个空间内旋度和散度处处均为零的矢量场。,调和场，有源无旋场，无源有旋场，有源有旋场,2018/1/11,如果 ，则称矢量场F为无旋场。无旋场F可以表示为另一个标量场的梯度，即,函数u称为无旋场F的标量位函数，简称标量位。,无旋场F沿闭合路径C的环量等于零，即,这一结论等价于无旋场的曲线积分 与路径无关，只与起点P和终点Q有关。标量位u的积分表达式：,2) 有源无旋场,2018/1/11,由 ，有,2018/1/11,函数A称为无源场F的矢量位函数，简称矢量位。无源场F通过任何闭合曲面S的通量等于零，即,4) 有源有旋场,一般的情况下，如果在矢量场F的散度和旋度都不为零，即,如果 ，则称矢量场F为无源场。无源场F可以表示为另一个矢量场的旋度，即,3)无源有旋场,2018/1/11,可将矢量场F表示为一个无源场Fs和无旋场Fi 的叠加，即,其中Fs和Fi分别满足,于是,因而，可定义一个标量位函数u和矢量位函数A，使得,2018/1/11, 标量场的梯度为无旋场; 矢量场的旋度为无源(散)场; 无旋场必可表示为标量场的梯度； 如 ，则必存在某一标量场，使 得 。 无源场必可表示为另一矢量场的旋度； 如 ，则必存在某一矢量场 ，使 得 。,1.6.2 梯度场、散度场和旋度场的关系定理,2018/1/11, 如果一个矢量场B为另一个矢量场 的旋度，即 ，则任意选择 的值，矢量场 的值不受影响。 这说明不论 是有源场，还是无源场，或 取任何值，对 的涡旋性皆无影响。即矢量场的散度和旋度是彼此独立的，不能相互代替。因此，对于一个矢量场只有同时研究它的散度和旋度才能准确的把握场的变化规律。,2018/1/11,(1)高斯(散度)定理,1.6.3 矢量场的积分定理,此定理揭示了矢量场的“表里”关系。,(2) 斯托克斯定理,此定理揭示了矢量场的“边面”关系。,2018/1/11,1.6.4 亥姆霍兹定理,1) 场与源，源与散度、旋度 矢量场是由场源激发出来的,应把源看作是产生场的起因；矢量场的散度对应于一个激发通量的源；矢量场的旋度对应于一个激发涡旋量(环流量)的源。,进一步说,用场的散度 可唯一确场中任一点的通量源密度，用场的旋度 可唯一确定场 中任一点的环量源密度。,2018/1/11,假如在有限空间内,一个场矢量的散度和旋度处处已给定,边界条件也已确定,那么,这个矢量场就是给定的了.进而这个矢量场还可用无旋场,一个标量函数的梯度 ;无散场,一个矢量函数的旋度 之和来表示,即,2) 定理,2018/1/11,说明: 无旋场 应存在如下关系: 无散场 应存在如下关系:,2018/1/11,研究一个矢量场时一定要从散度和旋度两个方面进行。 既要导出矢量场散度应满足的关系，又要导出矢量场旋度应满足的关系，这种关系决定了场的基本性质,故又称为微分形式的基本方程。 也可用矢量沿闭合面的通量和矢量沿闭合路径的环流去研究，从而得到积分形式的基本方程。,3) 定理的意义,2018/1/11,1-7 麦克斯韦方程组,电荷守恒定律,法拉弟电磁感应定律,修正的安培环路定律,电场高斯定律,磁场高斯定律,2018/1/11,微分形式的Maxwell方程,应用斯托克斯定理、高斯散度定理于麦克斯韦积分形式的方程，可得相应的微分形式的方程为,2018/1/11,1-7 麦克斯韦方程组,电荷守恒定律,法拉弟电磁感应定律,修正的安培环路定律,电场高斯定律,磁场高斯定律,积分形式微分形式,2018/1/11,1-7 麦克斯韦方程组,电荷守恒定律,法拉弟电磁感应定律,修正的安培环路定律,电场高斯定律,磁场高斯定律,积分形式微分形式,法拉弟电磁感应定律，表明对应电场的环量源是变化的磁场，若电磁场是静态的，场源不随时间变化， 则电场为守恒场，不构成涡旋状。,2018/1/11,1-7 麦克斯韦方程组,电荷守恒定律,法拉弟电磁感应定律,修正的安培环路定律,电场高斯定律,磁场高斯定律,积分形式微分形式,修正的安培环路定律，表明对应磁场的环量源是传导电流和位移电流，其中位移电流是由变化的电场产生的。,2018/1/11,1-7 麦克斯韦方程组,电荷守恒定律,法拉弟电磁感应定律,修正的安培环路定律,电场高斯定律,磁场高斯定律,积分形式微分形式,电场高斯定律，表明电场的通量源是电荷。,2018/1/11,1-7 麦克斯韦方程组,电荷守恒定律,法拉弟电磁感应定律,修正的安培环路定律,电场高斯定律,磁场高斯定律,积分形式微分形式,磁场高斯定律，表明磁场的通量总为零，即产生磁场的通量源不存在，这与自然界没有孤立的磁荷是一致的。,2018/1/11,积分方程与微分方程的对应关系,积分形式的麦克