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DVD 在 线 租 赁 模 型 摘要 ：本文在分析数据的基础上，建立了购买DVD的量的数列模型和排队模型，利用优选法和计算机模拟的方法，解决了购买多少DVD才能达到服务要求，以及如何做到服务的及时性、公正性、广度和满足会员偏爱程度等以提高会员的满意度问题，用计算机模拟和优选法用大量的图表列出了问题要求的结果，较好地求解了各个问题。 首先建立数列模型（一）确保一定时期内满足一定数量的会员租赁至少需要DVD的张数，其次建立排队与概率模型（二）解决一定数量的DVD分配致使会员获得最大的满意度，最后建立模型（三）综合解决购买数量以及进行分配获得最大满意度。关键词：计算机拟合 租赁 满意度 数列模型 排队模型 一、问题的重述在线DVD租赁问题：根据库存量和会员的订单进行分发，会员每人每月租赁次数不超过2次，每次获得3张。观看完,免费寄回，继续租赁。试建立数学模型解决： 1）根据调查与历史的数据总结，怎样购买DVD才能保证10万个会员至少50%的人能在一个月内看到该DVD？如果要保证在三个月内至少95%的会员租赁到DVD。 2） 根据20种DVD的库存量和会员100份在线订单，怎么分配使会员满意度最大？并列出前30位获取情况。 3） 根据表2的会员订单，作为网站管理者，如何决定每种DVD的购买量，以及如何进行分配才能使一个月内95%的会员获得最佳满意？二、模型假设）60每月租赁DVD两次的会员和40每月租赁一次的会员是服从均匀分布的。）每月租赁两次的会员第一次租赁后能在较短时间内归还DVD，每月租赁一次的会员应到期满才还DVD）老会员的退出与新会员加入的总数保持不变）一个会员不重复借同一种DVD）DVD在借出的时候应不考虑丢失等人为因素造成的损失三、符号说明 第种DVD的张数 每月租赁两次DVD的人数百分比 每月租赁一次DVD的人数百分比 每月要求租赁DVD的总人数 每月实际租赁到DVD的人数 实际租赁到DVD的会员占总人数的百分比四、模型建立与求解模型一：根据问题的分析： 个第种DVD 在一个月内， 首次借出可使个会员观看，根据假设，这其中有个会员在尽可能的时间内归还DVD，从而又有个会员租赁到DVD，使租赁到DVD的人数增加到，以此类推第n次租赁（一个月内）出去后，租赁到第i种DVD的会员总数为： 借2次可使个会员观看； 借n次可使个会员观看； 借助于上述问题分析和假设我们可以得到相应方程为：N= （1） （2） 当租赁过程频繁产生即时得到以下模型： （3） 或 4.1 问题一的求解 4.1.1 保证在一个月内至少50%的会员能租赁到DVD的张数根据调查结果（表1）DVD名称DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5愿意观看的人数200100502510表1 对1000个会员调查的部分结果由此可算出10万个会员中愿意观看这些DVD的人数，如表3所示：DVD名称DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5愿意观看的人数2000010000500025001000表3推算的10万个会员观看结果根据上述模型（3）和表3数据，每种DVD要有50%会员租赁到，必有： （4） （5） （6） （7） （8） 其中、分别是五种DVD的张数，通过解（4）、（5）、（6）、（7）、（8）得： 则要保证50%会员在一个月内看到DVD，每种DVD需准备的张数依次如下表(表4)所示：DVD名称DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5准备张数400020001000500200表4 一个月内要准备的DVD张数4.1.2 保证在三个月内至少95%的会员能看到，则所需DVD的张数假设每月租赁两次的会员应尽快归还DVD，每月租赁一次的会员到月末才归还DVD，则到月未所有租赁的DVD都已归还，则有三个月有95%以上的人能租赁到DVD的模型为： （9）求解得： （10） （11） （12） （13） （14）其中、分别是五种DVD的张数，通过解（10）、（11）、（12）、（13）、（14）得： 则要保证95%会员在三个月内看到DVD，每种DVD需准备的张数依次如下表（表5）所示：DVD名称DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5准备张数25341267634317127表5 三个月内要准备的DVD的张数4.2 问题二的求解4.2.1 使会员获得最大的满意度，DVD分配的模型及求解：要使会员有较高的满意度，首先必须做到：满足偏爱DVD的程度，即表示会员偏爱程度懂得三张DVD的数值和（以下都称和值）尽可能小；服务要有公正性，即每个会员的和尽可能接近，由此建立模型二：模型二（见图（一）：无有结果根据优化原则，将已分配到等待会员的DVD根据和值最小原则进行优化调整。判断有无存在等待分配的会员根据满意度最大原则与和值最小原则进行第三次分配根据满意度最低原则与和值最小原则进行第二次分配根据最大偏爱度进行第一次分配开始具体程序及运行结果见附录。虽然此模型注意到了会员的偏爱程度和服务台公正性，但通过计算机模拟发现此模型不能使尽可能多的会员及时租赁DVD，需要长时间的等待，即该模型没有考虑到服务的及时性和广度。因此建立模型三（见图二） 步骤如下图所示：供需系数越大，说明会员的需求的兴趣越底反之需求兴趣越高。为了服务的广度和及时性，先考虑分配会员需求兴趣低的DVD1、 已分配到DVD 和值尽可能小。2、 和值极差尽可能小。3、 和值方差尽可能小。无有无有判断有无存在等待分配的会员结果根据优化原则将等待分配到的会员DVD，调整分配给其他会员，使结果更接近于分配原则。判断是否有未分配到DVD根据三大原则进行分配选出未分配列中比值最大的那一列计算每种DVD（即每列）供需系数，即每种DVD的现有量/每种DVD总需求量开始开始计算每种DVD（即每列）供需系数，即每种DVD的现有量/每种DVD总需求量选出未分配列中比值最大的那一列根据三大原则进行分配判断是否有未分配到DVD根据优化原则将等待分配到的会员DVD，调整分配给其他会员，使结果更接近于分配原则。结果判断有无存在等待分配的会员有无有无4、 已分配到DVD 和值尽可能小。5、 和值极差尽可能小。6、 和值方差尽可能小。为了服务的广度和及时性，先考虑分配会员需求兴趣低的DVD供需系数越大，说明会员的需求的兴趣越底反之需求兴趣越高。 图（二）根据模型三，利用优选法和计算机模拟，可得到具体求解过程如下：1）、列出每种DVD的需要量、现有量、求出需求系数（前两者之比）。如下表6所示：DVD编码D1D2D3D4D5D6D7D8D9D10现有量812210840401815需求总数53374634374242484151比值0.150.0270.480.290.220.950.950.0190.20.3DVD编码D11D12D13D14D15D16D17D18D19D20现有量1920102583010838需求总数48414345524144454731比值0.40.490.230.0440.10.200.700.220.171.23表62）、按照会员需求性程度进行分配，先分配需求系数大（即比值大，此时表明会员对该DVD的平均兴趣不高）再分配需求系数及比值小的。在每列分配是，遵循以下分配原则为：1、和值越小越好 2、整组和值的极差（最大值与最小值之差）越小越好。3、整和法的分类越小越好。3）对于分配完后，等待的会员的分配量进行调节，把等待的会员所分配到的张数尽量分配给其他会员。为此得到结论（见附录）。4.2.2 列出前30位会员获得DVD的情况前30名会员（即C0001C0030）获得DVD的情况如下表：表7 会员获得DVD情况会员所获得的DVD编号C0001D0003（2）D0020（4）D0017（6）C0002D0001（1）D0006（7）D0012（2）C0003D0012（4）D0017（2）D0020（5）C0004D0007（7）D0011（3）D0012（1）C0005D0006（4）D0007（7）D0019（1）C0006D0006（8）D0012（3）D0016（2）C0007D0007（1）D0011（4）D0020（7）C0008D0013（1）D0016（6）D0018（5）C0009D0003（2）D0007（7）D0016（4）C0010D0011（4）D0012（2）D0017（5）C0011D0003（4）D0010（2）D0015（5）C0012D0007（7）D0011（2）D0019（1）C0013D0006（5）D0009（2）D0017（4）C0014D0006（3）D0012（4）D0017（2）C0015D0007（1）D0017（3）D0020（8）C0016D0007（6）D0008（1）D0009（2）C0017D0004（1）D0007（5）D0017（3）C0018D0007（1）D0011（3）D0020（6）C0019D0006（7）D0016（6）D0017（1）C0020D0006（2）D0007（7）D0020（3）C0021D0006（5）D0009（3）D0013（2）C0022D0003（2）D0007（1）D0012（5）C0023D0011（5）D0012（1）D0013（2）C0024D0007（6）D0011（1）D0013（2）C0025D0015（2）D0016（4）D0017（1）C0026D0003（1）D0006（5）D0018（4）C0027D0006（3）D0007（5）D0010（2）C0028D0005（2）D0007（3）D0010（4）C0029D0005（5）D0013（2）D0020（3）C0030D0003（1）D0011（8）D0017（2）注：括号（）内的数字表示会员对对应的DVD的满意程度，其中数字越小表示会员的偏爱程度越高。 43 问题三的模型与求解当会员按偏爱程度同时租赁三张DVD时，模型（一）已不能满足需要，因此，我们首先试图将原问题中的表2转化为表1的形式。步骤如下： 第一步：统计出每种DVD的有意向租赁的会员人数称之为统计人数第二步：由于 每个会员的偏爱不同，统计人数相同的两张DVD，它们的需求系数也不同，将导致实际租赁完全发生很大的变化，因为根据偏爱程度，我们引入了权系数：权系数=统计人数*偏爱度均值/统计人数的偏爱和值其中偏爱度均值取偏爱数值（1-9）的均值5。由此得加权人数：加权人数=权系数*统计人数第三步：由于要考虑服务的公正性和会员的满意度，因此从偏爱程度看，偏爱度为7至9的DVD租赁出的概率较低，因此我们引入租赁系数。租赁系数=满意度小于等于6的人数/统计人数得出可能服务人数：可能服务人数=加权人数*租赁系数 由此得下表DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5DVD6DVD7DVD8DVD9DVD10统计人数53374634374241484151加权人数55364940384942514752可能服务人数36243432283829393533 DVD11DVD12DVD13DVD14DVD15DVD16DVD17DVD18DVD19DVD20统计人数48414345524144454431加权人数49454643504144454731可能服务人数33313428312829303123表8利用模型一： （15） 由 当时，即： （16）求解得DVD1DVD20的购买张数如下表（表9）：DVDDVD1DVD2DVD3 DVD4 DVD5DVD6DVD7DVD8DVD9DVD10张数1491412111511151313DVDDVD11DVD12DVD13DVD14DVD15DVD16DVD17DVD18DVD19DVD20张数1312131112111112129表9在考虑问题3）时，由于在一个月内，有部分会员要租赁2次，而部分会员只租赁1次，和问题2）中的问题相比，多了一个循环过程，此时问题2）中的分配模型已不适用，因此作如下改进：增加判断语句，在第1次租赁工作结束后，判断在网站管理员处（系统中）是否存在DVD，如果存在，转入到开始，重新开始分配工作，使原来的等待会员和新来的会员开始租赁DVD，此时注意，等待会员应优先考虑租赁工作，然后才是新来的会员，以缩短等待会员的等待服务时间，如果没有DVD存在，则等待会员和新到会员继续等待。因此将模型三（图二）改进为如下模型：模型四：开始成为等待会员 是有管理员处是否存在DVD无有无有判断有无存在等待分配的会员租赁工作结束根据优化原则将等待分配到的会员DVD，调整分配给其他会员，使结果更接近于分配原则。判断是否有未分配到DVD根据三大原则进行分配选出未分配列中比值最大的那一列计算每种DVD（即每列）供需系数，即每种DVD的现有量/每种DVD总需求量判断是否为等待会员。五、模型评价该模型充分利用了表中所给的数据，分析和研究了数据规律，结合了第1题、第2题的优点，能够且实际地解决会员的满意度情况，并且遵循和值最小原则、公平原则、和值极差越小原则、和值方差越小原则、尽可能快的服务和尽可能扩大服务面等优点。而且该模型有一定的推广价值，可以广泛应用于银行服务系统、医院排队系统等。然而，此模型也存在一些不足之处：由于编程能力的局限，后几个模型的未能全面实际计算机模拟，另外模型的实际检测不够，而且在公平性方面还存在一些漏洞。六、参考文献1 王树禾编著，数学模型基础，中国科学技术大学出版社出版，1996年。2 梁国业等编著，数学建模，北京：冶金工业出版社，2004年七、附录DVD编号D1D2D3D4D5D6D7D8D9D10D11D12D13D14D15D16D17D18D19D20和值DVD现有数量8122108404018151920102583010838会员在线订单C10 0 2 0 0 0 9 1 0 5 7 0 0 8 0 3 6 0 0 4 12 C21 0 9 0 0 7 0 0 4 0 0 2 0 6 3 0 0 8 5 0 10 C30 6 0 0 0 7 0 0 0 0 0 4 1 3 8 0 2 0 9 5 11 C40 0 0 0 4 0 7 6 0 0 3 1 0 5 9 0 8 0 2 0 11 C55 0 0 0 0 4 7 0 0 9 0 0 3 0 2 8 6 0 1 0 12 C64 0 6 0 0 8 0 5 9 0 0 3 0 0 1 2 0 0 7 0 13 C70 0 6 3 0 0 1 2 8 0 4 0 0 0 0 5 0 0 9 7 12 C83 0 0 0 0 0 0 8 0 0 7 9 1 2 0 6 0 5 4 0 12 C90 3 2 9 0 0 7 5 0 6 0 0 0 0 1 4 0 8 0 0 13 C107 0 0 0 0 0 0 6 0 1 4 2 0 0 0 0 5 3 0 0 11 C110 0 4 0 0 0 0 1 0 2 8 0 3 0 5 0 0 6 7 0 11 C120 8 0 0 4 0 7 0 0 6 2 0 5 3 9 0 0 0 1 0 10 C138 0 0 0 0 5 0 0 2 0 0 9 3 0 6 0 4 0 1 7 11 C147 0 9 0 0 3 0 0 0 0 0 4 6 0 0 1 2 5 8 0 9 C154 0 0 0 0 0 1 0 2 7 6 5 0 0 9 0 3 0 0 8 12 C163 0 9 0 0 0 6 1 2 0 4 0 0 0 0 0 7 8 5 0 9 C172 7 0 1 0 0 5 4 0 0 0 0 0 8 0 0 3 6 0 0 9 C187 5 0 0 0 0 1 0 0 0 3 0 9 0 0 4 8 2 0 6 10 C190 5 0 0 0 7 0 3 0 0 8 0 0 0 2 6 1 0 4 0 14 C200 0 9 0 4 2 7 0 1 8 0 6 0 0 0 0 0 0 5 3 12 C210 0 7 4 0 5 0 0 3 8 0 0 2 0 1 6 0 0 0 0 10 C220 4 2 0 6 0 1 0 0 0 3 5 0 7 0 8 0 0 0 0 8 C234 3 0 0 0 0 0 0 7 9 5 1 2 0 8 0 0 6 0 0 8 C245 0 9 0 0 0 6 3 0 0 1 0 2 0 7 0 8 0 4 0 9 C256 5 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 7 0 2 4 1 9 3 0 7 C266 8 1 0 0 5 0 3 0 7 0 0 9 0 0 2 0 4 0 0 10 C277 1 0 0 8 3 5 0 0 2 0 4 0 9 6 0 0 0 0 0 10 C280 0 0 7 2 0 3 6 1 4 0 0 5 0 8 9 0 0 0 0 9 C290 7 0 4 5 0 0 1 0 8 0 6 2 0 0 0 0 0 0 3 10 C300 0 1 0 0 0 0 4 3 7 8 0 0 6 0 5 2 0 0 0 11 C310 0 0 0 0 5 3 6 2 4 0 0 8 7 0 1 0 0 0 9 10 C327 0 2 3 6 0 0 0 5 8 0 0 4 0 0 1 0 0 0 0 11 C330 1 0 0 0 0 0 0 8 0 5 7 4 0 0 0 0 6 3 2 10 C343 0 0 0 0 0 8 0 4 5 6 0 1 7 0 0 9 0 0 2 11 C350 5 4 0 8 0 6 0 0 0 0 0 7 0 2 0 3 0 0 1 10 C360 0 4 0 0 0 8 5 1 0 2 0 0 0 0 6 7 0 3 0 11 C373 0 4 8 0 5 0 0 0 0 2 1 6 0 0 7 0 0 0 0 10 C380 4 2 0 0 0 0 5 9 7 1 0 0 3 0 0 0 0 8 6 9 C390 0 0 0 0 0 6 0 1 4 0 5 0 7 2 0 8 3 0 0 10 C406 5 2 4 9 0 0 1 0 0 0 0 0 0 7 0 8 3 0 0 等待C416 4 5 0 0 0 0 8 0 2 0 7 0 0 9 0 0 1 3 0 8 C424 0 0 3 0 0 5 0 0 0 0 0 0 2 1 8 7 0 0 6 12 C439 0 0 0 0 0 0 3 4 8 0 6 0 7 1 0 0 5 2 0 8 C443 0 0 2 8 5 0 0 0 0 0 9 0 4 0 0 6 7 1 0 13 C454 0 0 0 3 2 8 0 9 0 7 0 0 0 5 0 6 0 1 0 11 C464 0 9 6 0 7 0 3 5 0 0 2 0 1 0 0 8 0 0 0 10 C470 0 0 0 2 1 0 0 0 0 3 0 0 8 7 0 6 4 0 5 12 C480 0 5 0 0 6 1 0 3 0 0 0 0 2 0 0 8 7 0 4 11 C497 4 6 0 3 0 8 0 0 5 0 0 0 2 0 0 0 0 1 0 12 C501 0 0 5 2 3 0 0 0 0 0 0 6 0 0 4 0 7 0 0 6 C519 0 2 0 0 6 7 0 0 0 5 0 0 4 0 8 1 3 0 0 9 C521 0 0 2 4 0 0 8 0 0 7 0 0 0 3 0 5 0 0 6 12 C537 0 0 0 0 0 4 6 0 2 0 5 0 8 3 0 0 0 1 0 7 C540 3 0 0 4 0 2 0 0 7 6 1 8 0 0 9 5 0 0 0 8 C551 0 0 2 6 0 0 3 0 0 0 0 0 0 5 4 0 7 9 8 7C560 8 1 6 0 0 0 5 0 2 0 0 0 0 7 0 0 3 4 0 6 C570 5 0 0 2 0 1 3 0 4 6 9 0 0 0 0 0 8 7 0 11 C589 8 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 2 3 0 4 1 7 0 5 8 C590 0 0 0 7 2 3 0 0 0 8 0 0 5 0 6 9 1 4 0 14 C602 7 0 0 0 0 3 0 5 1 9 0 4 0 8 0 0 6 0 0 6 C610 0 9 2 0 0 6 5 0 0 0 3 0 7 4 8 1 0 0 0 10 C626 2 0 1 9 0 0 0 0 0 7 3 0 8 5 0 0 4 0 0 6 C636 0 2 0 0 0 0 0 8 0 3 0 4 7 5 0 0 1 0 0 6 C647 0 8 2 0 1 0 3 0 0 0 0 5 0 6 0 0 9 0 4 13C650 0 0 0 0 0 0 0 1 0 3 4 5 0 7 0 0 6 0 2 9 C664 5 0 2 0 0 6 8 3 1 7 0 0 0 9 0 0 0 0 0 9 C670 0 6 0 1 7 0 0 0 3 0 0 0 0 5 0 0 2 8 4 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0 11 C900 6 5 8 0 3 0 7 0 0 4 2 9 0 1 0 0 0 0 0 10 C910 0 2 8 5 0 6 0 1 0 3 0 0 7 0 9 4 0 0 0 12 C928 7 0 0 0 6 0 5 0 0 0 2 0 0 1 4 3 0 0 0 11 C933 8 6 0 4 1 0 0 2 0 0 7 0 9 0 0 5 0 0 0 10 C943 0 6 2 0 4 7 8 0 1 0 0 9 5 0 0 0 0 0 0 12 C950 0 0 6 5 0 1 7 2 0 3 0 8 0 0 0 0 4 9 0 10 C960 9 6 0 0 4 0 7 1 0 0 0 0 0 5 0 3 0 2 8 15 C977 1 0 0 8 9 0 0 6 0 4 2 0 3 0 0 0 0 0 5 11 C981 0 0 0 0 2 7 0 0 4 0 0 0 6 0 8 0 3 5 0 10 C990 1 4 0 6 0 5 0 9 0 8 0 2 3 0 0 0 7 0 0 11C1000 0 0 5 4 0 0 7 1 6 0 0 0 0 0 3 8 2 0 0 11 公平服务系统程序：程序1 （Customer）：#ifndef CUSTOMER_H#define CUSTOMER_Hstruct Assignmentint DVD;int demandIndex;struct Customer/客户最想要的1-9张DVDint demand10;/客户当前的满意指数int satisfyIndex;/当前得到了几张DVDint DVDAssigned;/客户当前的被分配状况Assignment state4;#endif程序2（DVD）：#ifndef DVD_H#define DVD_Hstruct DVDint totalDVD;int leftDVD;int *host;#endif程序3.（DVDAssign）：#include Customer.h#include MyList.h#include DVD.h#include #include #include using namespace std;DVD dvdOnline21;Customer perOrder101;MyList lFirst;MyList lSecond;void readDVD(string FilePath)fstream dvdIn(FilePath.c_str(),ios:in);for(int i = 1 ; i dvdOnlinei.totalDVD;dvdOnlinei.leftDVD = dvdOnlinei.totalDVD;dvdOnlinei.host = new intdvdOnlinei.totalDVD + 1;void readCustomer(string FilePath)fstream cusIn(FilePath.c_str(),ios:in);int expIndex;for(int i = 1 ; i 101 ; i+)for(int j = 1 ; j expIndex;/以expIndex指数想要第j张DVDif(expIndex != 0