湖南省高中数学竞赛试题及答案

精品文档2016年湖南省高中数学竞赛试题及答案一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，满分30分每小题所提供的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1.设集合，在上定义运算“”为：，其中为被除的余数，则满足关系的的个数为（ ）A1 B2 C3 D4答案：B提示：因为，设，所以即，故或答案：A2.一个骰子由1-6六个数字组成，根据如图所示的三种状态显示的数字，可推得“？”的数字是 （ ）A6 B3 C1 D23.设函数是公差为的等差数列，则 （ ）A B C D答案：D提示：因为是公差为的等差数列，且即，所以即记，则，即在为增函数，有唯一零点，所以所以4.设为非零实数，为虚数单位，则方程与方程在同一复平面内的图形（其中是焦点）是（ ）答案：B提示：表示以为焦点的椭圆且表示以为焦点的双曲线的一支由，知故双曲线的一支靠近点5.给定平面向量，那么，平面向量是将向量经过 变换得到的，答案是 （ ）A顺时针旋转所得 B顺时针旋转所得C逆时针旋转所得 D逆时针旋转所得答案：C提示：设两向量所成的角为，则又，所以又，所以正确6.在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手各比赛一场，但有3名选手各比赛了两场之后就退出了，这样全部比赛只进行了50场，那么上述3名选手之间比赛场数是（ ）A0 B1 C2 D3答案：B提示：设这3名选手之间比赛的场数是，共名选手参赛，依题意有，即因为，所以分4种情况讨论：当时，有，即，但它没有正整数解，故；当时，有，解得，故符合题意；当时，有，即但它没有正整数解，故；当时，有，即，但它没有正整数解，故二、填空题（本大题共6个小题，每小题8分，满分48分，解题时只需将正确答案直接填在横线上）7.规定：对于，当且仅当时，则不等式的解集是 答案：提示：所求不等式为关于的一元二次不等式由，得，故，即8.在三棱锥-中，则三棱锥的体积的最大值为 答案：提示：设，根据余弦定理有，故由于棱锥的高不超过它的侧棱，所以事实上，取，且面时，可以满足已知条件，此时9一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数字，两个面上标以数字，一个面上标以数字。将这个正方体的抛掷两次，则向上的数之积的数学期望是 答案；提示：由题意知，抛掷小正方体向上的数为的概率为，向上的数为的概率为，向上为的概率为，如下表所示：第一次抛掷第二次抛掷012012于是所得向上的数之积的分布列为：012410观察下列等式： ； ； ；。 。由以上等式推测出一般的结论：对于 答案：11方程的解的集合是 答案：提示：当时，当且仅当时取“”而，当且仅当时取“”号于是，当时，方程只有一个解由奇函数的性质可知，是方程的另一个解故方程的解集合为12当一个非空数集满足条件“如果，则，且当时，”时，我们称就是一个数域。以下四个关于数域的命题：是任何数域的元素；若数域有非零元素，则；集合是一个数域；有理数集是一个数域。其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号） 答案：提示：根据数域的定义判断，均正确取，则，但，即错误 三、简答题（本大题共4个小题，满分72分）13（本小题满分16分）已知椭圆经过点，离心率为，经过椭圆的右焦点交椭圆于两点，点在直线的射影依次是。（1）求椭圆的的方程；（2）连接，试探求当直线的倾斜角变化时，直线与是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标并给予证明；否则，说明理由。解：（1）由经过点，得由离心率为，得，得故椭圆的方程为（2）当直线的斜率不存在时，直线轴，则为矩形，由对称性知，直线与相交于的中点，由此猜想直线与相交于定点证明：设直线的方程为，联立椭圆的方程消去得，即又因为，当时，即点在直线上同理可证，点在直线上，所以，当直线的倾斜角变化时，直线与相交于定点14（本小题满分16分）已知四边形是正方形，是边上一点（点不与顶点重合），延长与的延长线交于点。设，的内切圆半径分别是。（1）证明：，并指出点在什么位置时等号成立；（2）若试求证：。证明：（1）如图所示，因为，所以而，故，即当且仅当，即为的中点时，等号成立（2）由（1）得，所以有记，则令，则，且故它是关于的单调递增函数，所以即15已知函数（1）当时，求函数的所有零点；（2）若有两个极值点，且，求证：。解：（1）当时，设则，于是在上为增函数又，所以，当时，函数有唯一零点（2）若有两个极值点，则导函数有两个零点由，可知要证，可转化为证明：由可得由可得两式联立，得进一步，得设，则，下面证只须证明：，即证当时恒成立设函数，则故函数在上为增函数，所以，当时恒成立，即16已知互异的正实数满足不等式。求证：从可任取3个数作为边长，共可构成4个不同的三角形。证明：由于，故从中任取3个数作为边长，共可构成4个不同的三角形，即是任取3个数作为边