度量的认知过程.doc

度量的认知过程（摘自小学数学研究，高等教育出版社，第8章）度量的认知过程生活中有六种常用的量，是可以用感官和工具来测定的，包括长度、重量、容量、角度、面积、体积。这些量的测定有两种，一种是定性分析，一种是定量分析。定性分析就是回答“谁长？谁短？”，而定量分析是回答“他们各有多长？”。儿童在测定量的时候常常会经历直接比较和间接比较这两个阶段。从思维上讲，这两个阶段既是区分的，又不是完全割裂的。长度的度量是可以用感官和工具来测定的，从思维发展来说，长度度量的几个阶段：第一个阶段，长度的初步感知；第二个阶段，长度的直接比较；第三个阶段，长度的间接比较；第四个阶段，用统一的单位来比较；第五个阶段，长度单位概念体系的形成。首先要帮助学生形成对长度的初步感知。实际上小学生在生活中很早就有了“长”与“短”的经验。小学生能够通过视觉来比较物体的长短，这也就是定性分析。例如比较图中操场上旗杆的长短和四位小朋友的身高。在左边的图中，提出的问题是，哪一面旗子最高？在右边的图中，提出的问题是谁最高？谁最矮？按身高将名次排出来。视觉是人先天就有的，它是人了解周围客观世界的一种重要的手段，视觉对促进人的多元智能的发展起着重要的作用。运用视觉判断得出物体的长短是定性比较。这里，学生已经能够通过视觉比较出对象的长短，说明他们已经初步形成了长度的概念。学生初步形成长度的概念以后，接下来我们要创造条件，让学生能够进行长度的直接比较，图中有三根长短不一的跳绳，现在的问题是哪根最长？哪根最短？教师要帮助学生注意，在比较的时候要将三根跳绳的一端都对齐。现在这三位小朋友可以说谁的跳绳最长，谁的跳绳最短了，这就是直接比较。再例如，让学生拿出所有的铅笔，比一比哪一根最长？拿出所有的书，看哪本最厚？明信片是横长还是竖长呢，学生通过折叠以后就可以比较出，是横的一边长还是竖的一边长。上述活动都是直接比较。间接比较的关键是找到量具，找量具的过程可以分成两个阶段：第一阶段就是找身边的东西，例如脚步，脚底、“”（大拇指和食指张开后的长）或小木棍来量物体的长度。用脚步可以量教室、量走廊、量体操房，量校舍，量校园的长度；用脚底可以量门宽，橱宽，走廊宽；用“”可以量课桌，图画，窗台，黑板，饭桌等。少部分学生由于生活当中已经有了用尺来量东西的经验，例如他看见过他的父母是用尺来量东西的，他会直接用尺来量，但他对尺的含义与刻度往往没有深入的理解。由于学生各人的脚步、脚底、“”或找到的小木棍长短是不一样的，所以对同一物体量得的数据是不一样的，学生就会提出疑问：为什么不一样？上面这幅图是教师让同学用“”来量讲台，最后量出的结果是不一样的，学生就产生了疑问，为什么不一样？这时候教师就可以很自然地引导学生去找统一的度量工具。找量具的第二个阶段在这里就是让学生找到或发现统一的度量单位，也就是厘米尺、卷尺，用厘米尺和卷尺来量东西。学生在这里还要认识“尺”，对尺上的刻度进行分析和理解。这里学生首次间接比较的关键是找到量具，找量具的过程可以分成两个阶段：第一阶段就是找身边的东西，例如脚步，脚底、“”（大拇指和食指张开后的长）或小木棍来量物体的长度。用脚步可以量教室、量走廊、量体操房，量校舍，量校园的长度；用脚底可以量门宽，橱宽，走廊宽；用“”可以量课桌，图画，窗台，黑板，饭桌等。少部分学生由于生活当中已经有了用尺来量东西的经验，例如他看见过他的父母是用尺来量东西的，他会直接用尺来量，但他对尺的含义与刻度往往没有深入的理解。由于学生各人的脚步、脚底、“”或找到的小木棍长短是不一样的，所以对同一物体量得的数据是不一样的，学生就会提出疑问：为什么不一样？上面这幅图是教师让同学用“”来量讲台，最后量出的结果是不一样的，学生就产生了疑问，为什么不一样？这时候教师就可以很自然地引导学生去找统一的度量工具。找量具的第二个阶段在这里就是让学生找到或发现统一的度量单位，也就是厘米尺、卷尺，用厘米尺和卷尺来量东西。学生在这里还要认识“尺”，对尺上的刻度进行分析和理解。这里学生首次形成了长度单位的概念，随着学生学习的发展，逐步建立长度单位的概念体系。我们可以发现，原来对课桌椅，不同的学生用“”去量，得到的结果是不同的，现在不同的学生用厘米尺或卷尺去量，量出来是一样的，都是60厘米，这个例子就生动地让孩子们知道，要用统一的度量单位去量物体的长短。形成了长度单位的概念，随着学生学习的发展，逐步建立长度单位的概念体系。我们可以发现，原来对课桌椅，不同的学生用“”去量，得到的结果是不同的，现在不同的学生用厘米尺或卷尺去量，量出来是一样的，都是60厘米，这个例子就生动地让孩子们知道，要用统一的度量单位去量物体的长短。面积面积的概念很早就形成了。在古代埃及，尼罗河每年泛滥一次，洪水给两岸带来了肥沃的淤泥，但也抹掉了田地之间的界限标志。水退了，人们需要重新划出田地的界限，这就必须丈量和计算田地。于是，逐渐有了面积的概念。一、面积的含义物体的表面是有大小的，面积是对一个物体的表面多少的测量。物体的表面或围成的图形表面的大小通常叫做它们的面积。在这里，“面”是“有长有宽而没有厚度”的一种“形迹”，而这种形迹并不一定必须是“平面”的。对立体物体表面多少的测量，一般称表面积；面积一般是指对一个平面图形的表面多少的测量。例如，下面的图形所围成的区域所覆盖的表面的大小分别是矩形、圆、梯形、三角形的面积。而图2中的阴影部分就是圆环所围成的区域，其所占区域的大小度量就是它的面积。 图3人们规定，将边长为1米的正方形的面积设定为1平方米。于是，对于边长为a米、b米的矩形，总可以将其剖分为若干个边长为1米的正方形，进而，这个矩形就由ab个单位正方形组成，从而，这个矩形的面积为ab平方米。如果利用米作为单位，不能度量尽矩形的边，那么，还可以用更小的单位作为面积单位，即用米（即1分米）、米（即厘米）替代米作为单位，继续度量矩形的边，进而，用平方分米、平方厘米作为面积单位，将矩形分割为若干个面积单位。这个过程实际上论证了“边长相等的两个矩形的面积的比，等于它们不相等边的长度的比”。于是，由此可以得出：边长为a、b的矩形的面积为ab。hhh a a a 图4对于长为a、高为h的平行四边形，利用割补的方法（如图4所示），可以将其化成边长依次为a、h的一个矩形，进而，平行四边形的面积为ah。同样地，利用两个全等的三角形可以拼接成一个平行四边形，两个梯形可以拼接成一个平行四边形，我们同样可以推导出三角形的面积公式以及梯形的面积公式。如图5所示。 图5 在现实生活中，面积的测量单位主要包括：平方米、公亩、公顷、平方公里等等，其中的换算关系如下：平方米国际标准单位公亩100平方米公顷10,000平方米平方公里1,000,000平方米此外，有时也使用面积的市制单位平方市里、平方市尺，其中，一平方市里等于0.25平方公里，1平方市尺等于1/9平方米。当然，目前，在台湾还是用台湾甲、坪，即一个台湾甲等于9,699.173平方公尺，一个坪等于3.3058平方公尺。而在香港，也使用平方呎（即平方英尺）作为面积单位。二、面积的历史沿革最原始的面积（areas）公理就是用长乘以宽来计算矩形面积，而其它多边形的面积，则是从矩形面积寻找出来的。如古埃及人用来计算四边顺次为a、b、c、d的四边形的面积，可能他们把任意四边形看成四边不等的矩形了，从而想到用两组对边的平均值来代替矩形的长与宽。他们还用推理来得到三角形面积为，即让边长为a、b、c、d的四边形的一边d为0。但这些都是近似的计算公式。我国古代数学家（如刘徽）运用图形“割补”术计算出如三角形、梯形面积的准确计算公式。而古希腊数学家在求面积上则运用“原子论”学说及“穷竭法”。在数学史上，曾有一些著名的面积计算，如1. 海伦-秦九韶公式海伦公式（约1世纪）用已知三角形三边而求其面积及与之等价的中国秦九韶的（13世纪）。海伦公式又译作海龙公式、希伦公式、希罗公式，传说是古代的叙拉古国王希伦（Heron）二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的著作考证，这个公式其实是阿基米得发现的，以托希伦二世的名发表。海伦公式意指：边长分别为a、b、c的三角形，其面积S满足：.其中，为半周长：=。由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以，海伦公式可以用来求多边形的面积。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测三个顶点之间的两点间的距离，就可以方便地导出答案。我国南宋时期的数学家秦九韶（约公元1202-1261年）独立发现了计算三角形面积的公式。他在数书九章一书中写道：以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之.自乘于上,以小斜幂乘大斜幂,减上,余四约之,为实:一为多隅,开平方得积。这就是说：对于边长依次为a、b、c的三角形，小边平方加上大边平方的和，减去中边平方，将所得的差除于2，然后将所得商平方，再用小边平方乘大边平方去减，所得差除于4，开平方后就可得到三角形面积为。秦九韶把这个公式称为三斜求积公式，实质上与海伦公式是一样的。由于这两个公式形式不同而实质相同，而且两人又是独立发现的，所以人们称它们为“海伦-秦九韶公式”。此外，秦九韶还给出一些经验常数，如筑土问题中的“坚三穿四壤五，粟率五十，墙法半之”等，即使对现在仍有使用价值。2. 圆内接四边形的求积公式在古印度数学家婆罗摩笈多（Brahmagupta，598-665）的著作中，出现了有圆内接四边形的求积公式.其中a、b、c、d为四边形的四条边，s为四边形的半周长。但是，当时的他并未注明圆内接四边形，也未给出证明。实际上，这一公式仅适合于圆内接四边形，婆罗摩笈多并未认识到这一点，12世纪的婆什迦罗曾经对婆罗摩笈多的四边形公式提出过质疑。后来,马哈维拉由这一公式出发，将三角形视为有一边为0的四边形，从而获得海伦公式。3. 月形定理古希腊数学家希波克拉底（Hippo crates，公元前460年左右）将两个月牙形的面积之和转化成一个直角三角形的面积，称这为月形定理。 4. 阿基米得穷竭法阿基米得用穷竭法求得了抛物弓形、螺线等曲边图形的面积。阿基米得的求积术导致二千多年后积分术的发现。 5. 割圆术我国刘徽（约3世纪）用割圆术求圆的面积方法，成为我国第一位应用极限方法解决数学问题的人。 6. 印度圆印度人常用直观的方法去研究几何图形（12世纪前）他们用“印度圆”的方法求圆面积： 取两个相等的圆，把它们等分成相同的分数的全等扇形，然后把它们沿半径剖开（但扇形的圆弧仍然连着）、展平成锯齿条形，然后把它们互相嵌入（如图）即成一个近似的矩形。份数分得愈多，其结果愈接近矩形，这个矩形的高为圆半径r，底为圆周长c，面积为rc，从而得圆面积为。 在中学数学教材中，至今还常用这模型作为讲圆面积计算公式的直观教具。著名的德国天文学家、数学家开普勒（1571-1630）为了得圆面积公式而进一步把圆看作无数个顶点在圆心、底在圆周上的三角形之和。他把圆看成了无数个“微小”三角形面积之和，这已经具有了积分学的萌芽。7. 曲面面积除了平面图形的面积外，阿基米得还证明了有关曲面面积的一个结论：球的外切正圆柱的全面积与该球面面积之比3:2。 自17世纪微积分学创立以来，由于有了明确的面积定义，图形面积逐渐得到一套求积的科学方法。在数学上,人类研究面