第110讲 材料力学(六)(2010年新版).doc

例561 图562所示悬臂梁，承载如图。试列出剪力方程、弯矩方程并作V、M图。 解 因梁上荷载不连续故需分段列方程。用任意截面nn截开梁，取左部为脱离体，如图(b)所示。由Y=0，同理用任意截面kk截开梁，取左部为脱离体如图(c)所示。由Y=0， 根据剪力方程、弯矩方程作图。对于线性方程只需算出各段的端值然后连直线即可。 V、M图如图(d)、(e)所示。例562 写出图示梁的剪力方程和弯矩方程，井作剪力图和弯矩图。 解 1求支座反力故所求的支座反力正确。 2分段建立剪力方程和弯矩方程 3作剪力图和弯矩图 根据AC段，CB段剪力方程绘制剪力图 AC段 V为常量，故y图为水平线。 CB段 V为一次函数，因而y图为斜直线：只需确定两个截面V值。根据AC段，CB段弯矩方程绘制弯矩图AC段 M为一次函数，因而M图为一斜直线，只需确定两个截面M值。CB段 M为二次抛物线，只少要确定三个截面M值，然后用光滑曲线连起来。抛物线顶点在 V=2qa-qx=0处x=2a例563 根据弯矩、剪力和荷载集度间的关系作图566所示梁的剪力图和弯矩图。 解 首先求支座反力(悬臂梁可以不求)Rb=4kN() MB=4kNm(顺时针)根据q、V、M关系作V、M图通常步骤为1分段 根据梁上荷载不连续点(集中力，集中力偶作用处，分布荷载起讫点)为界点。2定形 根据各段荷载情况，定出V、M图形状。3定控制截面V、M值用截面法或用积分关系式本例题的分段和定V、M形状情况见下表。 有关控制截面值确定如下： V图 AC段定两个控制截面值CB段 定一个控制截面值Vc=已求出M图 AC段 只少定三个控制截面值因为A截面处V=0，M有极值，即为抛物线顶点。CB段 只要定二个控制截面值因C截面作用有集中力偶，故M图有突变第七节 弯曲应力弯曲正应力 正应力强度条件（一）纯弯曲 梁的横截面上只有弯矩而无剪力时的弯曲，称为纯弯曲。（二）中性层与中性轴中性层 杆件弯曲变形时既不伸长也不缩短的一层。中性轴 中性层与横截面的交线，即横截面上正应力为零的各点的连线。中性轴位置 当杆件发生平面弯曲，且处于线弹性范围时，中性轴通过横截面形心，且垂直于荷载作用平面。中性层的曲率 杆件发生平面弯曲时，中性层(或杆轴)的曲率与弯矩间的关系为 式中 为变形后中性层(或杆轴)的曲率半径；EI2为杆的抗弯刚度，轴z为横截面的 中性轴。（三）平面弯曲杆件横截面上的正应力 分布规律 正应力的大小与该点至中性轴的垂直距离成正比，中性轴一侧为拉应力， 另一侧为压应力，如图571(a)。 计算公式 任一点应力 最大应力式中 M为所求截面的弯矩，Iz为截面对中性轴的惯性矩，Wz为抗弯截面系数。 Wz是一个只与横截面的形状及尺寸有关的几何量。对于矩形截面：对于圆形截面：其余Wz按式WzIz/ymax计算。 讨论：1，公式适用于线弹性范围、且材料在拉伸和压缩时弹性模量相等情况。 2在纯弯曲时，横截面在弯曲变形后保持平面；横力弯曲时，由于剪应力的存在，横截面发生翘曲，但精确研究指出，工程实际中的梁，只要跨度与截面高度之比Lh5，纯弯曲时的正应力公式仍适用。（四）梁的正应力强度条件 强度条件 梁的最大工作正应力不得超过材料的许用正应力，即 注意，当梁内tmaxcmax，且材料的tc时，梁的拉伸与压缩强度均应得到满足。弯曲剪应力 剪应力强度条件（一）矩形截面梁的剪应力 两个假设：1剪应力方向与截面的侧边平行。2沿截面宽度剪应力均匀分布(见图572)。 计算公式 式中 V为横截面上的剪力，b为横截面的宽度，Iz为整个横截面对中性轴的惯性矩，Sz*为横截面上距中性轴为y处横线一侧的部分截面对中性轴的静矩。最大剪应力 发生在中性轴处（二）其他常用截面图形的最大剪应力 工字型截面式中 d为腹板厚度，工字型钢中，Iz/可查型钢表。圆形截面环形截面最大剪应力均发生在中性轴上。（三）剪应力强度条件 梁的最大工作剪应力不得超过材料的许用剪应力，即式中 Vmax为全梁的最大剪力；为中性轴一边的横截面面积对中性轴的静矩；b为横截面在中性轴处的宽度；Iz为整个横截面对中性轴的惯矩。 三、梁的合理截面 梁的强度通常是由横截面上的正应力控制的。由弯曲正应力强度条件，可知，在截面积A一定的条件下，截面图形的抗弯截面系数愈大，梁的承载能力就愈大，故截面就愈合理。因此就WzA而言，对工字形、矩形和圆形三种形状的截面，工字形最为合理，矩形次之，圆形最差。此外对于t=c的塑性材料，一般采用对称于中性轴的截面，使截面上、