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数学的科普知识一、高等数学与初等数学的区别？从 研究“常量”发展到研究“变量”从 研究“有限”发展到研究“无限”对于以上两点，我们从下面这几个方面加以阐述。1什么是悖论悖论：从“正确”的前提出发，经过“正确”的逻辑推理，得出荒谬的结论。例如：“甲是乙”与“甲不是乙”这两个命题中总有一个是错的；但“本句话是七个字”与“本句话不是七个字”又均是对的，这就是悖论。再如：“万物皆数”学说认为“任何数都可表为整数的比”；但以1为边的正方形的对角线之长却不能表为整数的比，这也是悖论。2芝诺悖论 芝诺（前490？前430？）是（南意大利的）爱利亚学派创始人巴门尼德的学生。他企图证明该学派的学说：“多”和“变”是虚幻的，不可分的“一”及“静止的存在”才是唯一真实的；运动只是假象。于是他设计了四个例证，人称“芝诺悖论”。这些悖论是从哲学角度提出的。我们从数学角度看其中的一个悖论。下面的是芝诺悖论之一：阿基里斯追不上乌龟：乌龟先出发，比如乌龟走到10米处，兔子开始出发追乌龟。当兔子追到10处的时候，乌龟已经在下一个点了；当兔子追到下一个点，乌龟已经在下下个点了，以此类推，兔子永远追不上乌龟。问题的症结：无限段长度的和，可能是有限的；无限段时间的和，也可能是有限的。3. 芝诺悖论的意义：1）促进了严格、求证数学的发展2）较早的“反证法”及“无限”的思想3）尖锐地提出离散与连续的矛盾：空间和时间有没有最小的单位？ 芝诺的前两个悖论是反对“空间和时间是连续的”，后两个悖论则是反对“空间和时间是离散的”。在芝诺看来，这两种理论都有毛病；所以，“运动只是假象，不动不变才是真实”。 芝诺的哲学观点虽然不对，但是，他如此尖锐地提出了空间和时间是连续还是离散的问题，引起人们长期的讨论，促进了认识的发展，不能不说是巨大的贡献。下面我来做下面的问题：有一个旅店有无穷个房间，已经住满旅客。现在又来了一个旅客，能住下么？有一个旅店有无穷个房间，已经住满旅客。现在又来了n个旅客，能住下么？有一个旅店有无穷个房间，已经住满旅客。又来了无穷个旅客，能住下么？有一个旅店有无穷个房间，已经住满旅客。现在又来了n旅游团，每个团的旅客都是无穷个，能住下么？有一个旅店有无穷个房间，已经住满旅客。现在又来了无穷个旅游团，每个团的旅客都是无穷个，能住下么？这些问题的答案都是：能住下。可能出乎你的意料。部分应当小于总体！部分怎么能等于总体呢？！让我们接着看。4无限与有限的区别和联系区别1）在无限集中，“部分可以等于全体”（这是无限的本质），而在有限的情况下， 部分总是小于全体。2.）“有限”时成立的许多命题，对“无限”不再成立。例如：实数加法的结合律在“有限”的情况下，加法结合律成立： (a+b)+c = a+(b+c) 但在“无限”的情况下，加法结合律不再成立。如5数学中的无限在生活中的反映 1）大烟囱是圆的：每一块砖都是直的 （整体看又是圆的） 2）锉刀锉一个光滑零件：每一锉锉下去都是直的 （许多刀合在一起的效果又是光滑的，可以挫成圆形的）3）不规则图形的面积：正方形的面积，长方形的面积三角形的面积，多边形的面积，圆面积。6数学对“无限”的兴趣数学严密地研究有限与无限的关系，大大提高了人类认识无限的能力。在有限环境中生存的有限的人类，获得把握无限的能力和技巧，那是人类的智慧；在获得这些成果过程中体现出来的奋斗与热情，那是人类的情感；对无限的认识成果，则是人类智慧与热情的共同结晶。一个人，若把自己的智慧与热情融入数学学习和数学研究之中，就会产生一种特别的感受。如果这样，数学的学习不仅不是难事，而且会充满乐趣。二、黄金分割1斐波那契数列黄金分割这与“斐波那契数列”有关。若一个数列，前两项等于1，而从第三项起，每一项是其前两项之和，则称该数列为斐波那契数列。即：1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 这个数列来源于“兔子问题”：假设一对初生兔子要一个月才到成熟期，而一对成熟兔子每月会生一对兔子，那么，由一对初生兔子开始，12 个月后会有多少对兔子呢？由上图可见，兔子问题的答案即是“斐波那契数列”。而这个数列的后一项与前一项的比就是黄金分割！2黄金分割斐波那契数列是从兔子问题中抽象出来的，如果它在其它方面没有应用，它就不会有强大的生命力。发人深省的是，斐波那契数列确实在许多问题中出现。黄金分割之所以称为“黄金”分割，是比喻这一“分割”如黄金一样珍贵。黄金比，是工艺美术、建筑、摄影等许多艺术门类中审美的因素之一。认为它表现了恰到好处的“和谐”。下面举例说明：1） 人体各部分的比 肚 脐 ：（头脚） 印堂穴： （口头顶） 肘关节： （肩中指尖） 膝 盖：（髋关节足尖）2） 著名建筑物中各部分的比如埃及的金字塔，高（137米）与底边长（227米）之比为0.629古希腊的巴特农神殿，塔高与工作厅高之比为3405530.615；3） 美观矩形如国旗和其它用到矩形的地方（建筑、家具），这个矩形的长宽比即是黄金分割；4） 风景照片中，地平线位置的安排应当占整个照片的61.8%；5） 正五角星中的比，正五角星的线段比为黄金分割。6） 舞台报幕者的最佳站位：在整个舞台宽度的0.618处站立，效果较美；7） 小说、戏剧的高潮出现在整个作品的0.618处较好；7）华罗庚将黄金分割理论用于“优选法”中，为我国社会主义事业的建设作出了杰出的贡献。三、“对称”的观点可以把“平面图形的对称”看成是以下三种运动 轴对称、 n次中心对称、平移对称中用到的运动分为三类：反射，旋转，平移这些运动都是变换；这些变换共同的特点是，都保持平面上任意两点间的距离不变。所以，把反射、旋转、平移，以及它们的相继实施，统称为 “保距变换”。由这一观点自然的延伸,就可以想到描述平面图形对称性强弱的一种量化的方法.这就是把所有使某平面图形 K 不变的“保距变换”放在一起,构成一个集合,记为S(K) 并称其为K的对称集.从 “对称”的现象，到发现 “变中有不变” 的本质，再提出“保距变换”；把保持图形K不变的“保距变换”放到一起，构成一个集合，称之为“K 的对称集”，用它来描述K的对称性；最后，我们把其中元素的个数，作为衡量平面图形的对称性强弱的一个量化指标。然后，再对照例子，验证我们的理论。由对称这个现象，数学家抽象出了“群”的概念，并通过“群”对“数”重新分类，给出了数学上大量的重要定理。在数学历史中，有一个重要的定理一直没有得以证明：“在复数域内，五次以上方程是否有求根公式”。对于这个问题，年仅18岁的法国数学家伽罗瓦，探寻了“方程可用根式解”的总思路：不再去寻找求根公式，而是从“根集的置换”的角度去考虑问题。伽罗瓦引入”群”、“域”，创立“伽罗瓦理论”，彻底证明了五次以上方程没有求根公式！四、分形与混沌1967年法国数学家Mandelbrot在科学杂志上发表文章谈到：“英国的海岸线有多长？” 。这个问题看似极其简单，但Mandelbrot发现：当测量单位变小时，所得的长度是无限增大的！这个发现可以用下面的图形加以说明：当计量单位越来越精确的时候，这些小的边长就会被计量，从而导致图形的总边长趋于无限。 Mandelbrot谈到：“1975年，我由描述碎石的拉丁文fractus，创造出分形（fractal）一词。分形是几何外形，它与欧几里得外形相反，是没有规则的。首先，它们处处无规则可言。其次 ，它们在各种尺度上都有同样程度的不规则性。不论从远处观察，还是从近处观察，分形看起来一个模样它是自相似的。整体中的小块，从远处看是不成形的小点，近处看则发现它变得轮廓分明，其外形大致和以前观察的整体形状相似。自然界提供了许多分形实例。例如，羊齿植物、菜花和硬花甘兰，以及许多其他植物，它们的每一分支和嫩枝都与其整体非常相似。其生成规则保证了小尺度上的特征成长后就变成大尺度上的特征。” 通过迭代等简单的数学运算，我们可以给出非常精美的分形图形，如下所示：下面我们谈谈“混沌” 美国气象学家Lorenz在天气预报中的发现是混沌认识过程中的一个里程碑。1963年，他在麻省理工学院操作着一台当时比较的先进工具计算机进行天气模拟，试图进行长期天气预报。Lorenz发现，计算机一个微小的舍入运算，结果导致结果产生了巨大的偏差。后来Lorenz将这种方程对初值的极端敏感定义为“混沌”。Lorenz发现混沌运动的两个重要特点：(1)对初值极端敏感；(2)解并不是完全随机的。Lorenz之后，混沌学的研究开始蓬勃发展。下面给出“混沌”的定义：非线性确定性系统中, 由于系统内部非线性相互作用而产生的一种非周期的行为。例如,大气由热对流