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第十二章 无穷级数练习1.判别下列级数的敛散性：2.判别下列级数是绝对收敛，条件收敛，还是发散？ ； ； 。3.求幂级数的收敛区间。4.证明级数当时绝对收敛，当时发散。注：数列单调增加，且。5.在区间内求幂级数 的和函数。6.求级数的和。7.设 （）证明1）存在； 2）级数收敛。8.设，1） 求的值； 2） 试证：对任意的常数，级数收敛。9.设正项数列单调减少，且发散，试问是否收敛？并说明理由。 10.已知参见教材246页，计算。无穷级数例题选解1.判别下列级数的敛散性：解：1），而收敛，由比较审敛法知 收敛。2），而发散，由比较审敛法的极限形式知 发散。3） ，由比值审敛法知 收敛。4） ，由根值审敛法知 收敛。2.判别下列级数是绝对收敛，条件收敛，还是发散？ ； ； 。解：1）对于级数，由，知级数绝对收敛，易知条件收敛，故 条件收敛。2），由，知级数收敛，故绝对收敛。3）记，而发散，故发散，令，当时，故在区间内单调增加，由此可知 ，又，故收敛，但非绝对收敛，即为条件收敛。3.求幂级数的收敛区间。解：收敛半径为 ，当时，得级数，发散；当时，得交错级数，收敛。所求收敛区间为。4.证明级数当时绝对收敛，当时发散。注：数列单调增加，且。证：收敛半径 ，当时幂级数绝对收敛，当时幂级数发散，当时，得级数，因单调增加，且，故，于是得，由此，故级数发散。5.在区间内求幂级数 的和函数。解：设 （）， ， ， （）。6.求级数的和。解：设 （），则 ，其中 ， （）。 设，则，于是 ，从而 （）。因此 。7.设 （）证明1）存在； 2）级数收敛。证：1）因 ，故是单调减少有下界的数列，所以存在。2）由（1）知 ，记，因存在，故存在，所以收敛，由比较审敛法知收敛。8.设，3） 求的值； 4） 试证：对任意的常数，级数收敛。证：1） 因为 ， ，所以 。2） 因为 ，所以 ，由知收敛，从而收敛。9.设正项数列单调减少，且发散，试问是否收敛？并说明理由。解：级数收敛。理由：由于正项数列单调减少有下界，故存在，记，则。若，则由莱布尼兹定理知 收敛，与题设矛盾，故。 因为 ，由根值审敛法知级数收敛。 10已知参见教材246页，计算。解：由 （），得 。（选作部分）11*计算。解：由 ，得 ，于是 ，从而 。12*.把展
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