第十二章 电磁感应及电磁场基本方程习题解.doc

第十二章 电磁感应及电磁场基本方程图121121 如图12-1所示，矩形线圈abcd左半边放在匀强磁场中，右半边在磁场外，当线圈以ab边为轴向纸外转过60过程中，线圈中 产生感应电流（填会与不会），原因是 。解：线圈以ab边为轴向纸外转过60过程中，尽管穿过磁感应线的线圈面积发生了变化，但线圈在垂直于磁场方向的投影的面积并未发生变化，因而穿过整个线圈的磁通量并没有发生变化，所以线圈中不会产生感应电流。因而应填“不会”；“通过线圈的磁通量没有发生变化”。122 产生动生电动势的非静电力是 力，产生感生电动势的非静电力是 力。 解：洛仑兹力；涡旋电场力（变化磁场激发的电场的电场力）。123 用绝缘导线绕一圆环，环内有一用同样材料导线折成的内接正方形线框，如图12-2所示，把它们放在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向与线框平面垂直，当匀强磁场均匀减弱时，圆环中与正方形线框中感应电流大小之比为_。图122解：设圆环的半径为a，则正方形的边长就为，圆环中的感应电动势大小为同理，正方形线框中的感应电动势大小为而同材料的圆环与正方形导线的电阻之比为。所以圆环与正方形线框中的感应电流之比为故答案填。124 如图12-3所示，半径为R的3/4圆周的弧形刚性导线在垂直于均匀磁感强度B的平面内以速度平动，则导线上的动生电动势= ，方向为 。Oxyab45dlRvc图125vxyabROqdqqvBdl图124vORab图123解：方法一：用动生电动势公式求解。选积分路径l的绕行方向为顺时针方向，建立如图12-4所示的坐标系，在导体上任意处取导体元dl，dl上的动生电动势为所以导线上的动生电动势为由于e0，所以动生电动势的方向为顺时方向，即bca方向。方法二：用法拉第电磁感应定律求解。如图12-5所示，连接ab使导线构成一个闭合回路。设绕行方向为顺时针方向。又由于磁场是均匀的，在任意时刻，穿过回路的磁通量F=BS=常数。由法拉第电磁感应定律可知，线圈中的感应电动势为=0。又因于是由于0，所以动生电动势的方向为顺时方向，即bca方向。125 长直密绕螺线管，长度及线圈匝数相同，半径分别为r1，r2，管内充满均匀介质，其磁导率分别为m1，m2。设r1:r2=1:2，m1:m2=2:1，当将两只螺线管串联在电路中通电稳定后，其自感系数之比为L1: L2= ，磁能之比为Wm1: Wm2= 。解：长直螺线管的自感系数为，因此L1: L2=1:2。由磁能公式，因此Wm1: Wm2=1:2。126 麦克斯韦关于电磁场理论提出的两个基本观点，即两个基本假设是 和 。反映电磁场基本性质和规律的积分形式的麦克斯韦方程组为 （a） （b） （c） （d）试判断下列结论是包含于或等效于哪一个麦克斯韦方程式的，将其代号填入空白处。（1）变化的磁场一定伴随有电场： ；（2）磁感应线是无头无尾的： ；（3）电荷总伴随有电场： 。解：两个基本假设是“感生电场假设（变化的磁场激发涡旋电场）”和“位移电流假设（变化的电场激发涡旋磁场）”。表示变化的磁场一定伴随有电场；故（1）处填（b）；表示磁感应线是无头无尾的，故（2）处填（c）：表示电荷总伴随有电场，故（3）处填（a）：ABABBAAB图126127 如图12-6所示，导线AB在均匀磁场中作下列四种运动：（1）垂直于磁场作平动；（2）绕固定端A作垂直于磁场转动；（3）绕其中心点O作垂直于磁场转动；（4）绕通过中心点O的水平轴作平行于磁场的转动。关于导线AB的感应电动势错误的结论是 。A（1）有感应电动势，A端为高电势 B（2）有感应电动势，B端为高电势C（3）无感应电动势 D（4）无感应电动势；解：（2）有感应电动势，A端为高电势。由可得，（1）图中感应电动势由BA，所以A端为高电势；（2）图中感应电动势由BA，所以A端为高电势；（3）将AB棒的电动势看作是OA棒和OB棒上电动势的代数和，由于=，则=+= -+=0，因此AB棒上的电动势为零。（4）由于的方向与dl垂直，所以=0，即无感应电动势。正确答案为（B）。128 如图12-7所示，均匀磁场被局限在无限长圆柱形空间内，且成轴对称分布，图为此磁场的截面，磁场按dB/dt随时间变化，圆柱体外一点P的感应电场Ei应 。BP图127A等于零B不为零，方向向上或向下C不为零，方向向左或向右D不为零，方向向内或向外E无法判定解：感应电场Ei与dB/dt遵从右手螺旋系统，所以正确答案应选择（B）。图128129 如图12-8所示，在水平地面下有一条沿东西方向铺设的水平直导线，导线中通有自东向西稳定、强度较大的直流电流。现用一闭合的检测线圈（线圈中串有灵敏电流计，图中未画出）检测此通电直导线的位置，若不考虑地磁场的影响，在检测线圈位于水平面内，从距直导线很远处由北向南沿水平地面通过导线的上方并移至距直导线很远处的过程中，俯视检测线圈，其中的感应电流的方向是： A先顺时针后逆时针B先逆时针后顺时针C先顺时针后逆时针，然后再顺时针D先逆时针后顺时针，然后再逆时针解：从距直导线很远处由北向南沿水平地面通过导线的上方并移至距直导线很远处的过程中，磁场线至下而上通过检测线圈。从距直导线很远处由北向南沿水平地面通过导线的上方的过程中，磁通量增大，由楞次定律可判断，感应电流方向为图中逆时针；当检测线圈从正上方移至距直导线很远处的过程中，磁通量减小，由楞次定律可判断，感应电流方向为图中顺时针。故答案应选（D）。图1291210 北半球海洋某处，地磁场水平分量B1=0.8104T，竖直分量B2=0.5104T，海水向北流动。海洋工作者测量海水的流速时，将两极板竖直插入此处海水中，保持两极板正对且垂线沿东西方向，两极板相距L=20m，如图12-9所示。与两极板相连的电压表（可看作理想电压表）示数为V=0.2mV，则 。A西侧极板电势高，东侧极板电势低 B西侧极板电势低，东侧极板电势高C海水的流速大小为0.125m/s D海水的流速大小为0.2m/s解：由于地球北极是地磁南极，故磁场应中斜向下穿入水面。将海水看成是水平向北（垂直于纸面向里）移动的导体，地相对磁场水平分量，水流不切割磁场线，相对于竖直分量，水流切割作切割磁场线运动，由楞次定律可以判断西侧极板电势高，东侧极板电势低。水的流速为由此可见，正确答案应选（A）和（D）。1211 关于由变化的磁场所产生的感生电场（涡旋电场），下列说法正确的是 。A感生电场的电场线起于正电荷，终止于负电荷B感生电场的电场线是一组闭合曲线C感生电场为保守场D感生电场的场强Ek沿闭合回路的线积分为零分析与解：静电场由静止电荷激发，电场线不闭合，有头有尾，起于正电荷，终止于负电荷。而感生电场是由变化的磁场激发，电场线是一组无头无尾的涡旋闭合曲线；感生电场的环量不等于零，说明它是有旋场、非保守场。因而正确答案为（B）。1212 对位移电流，下述说法正确的是 。A位移电流的物理本质是变化的电场，但也能激发磁场B位移电流是由线性变化磁场产生的C位移电流的热效应服从焦耳楞次定律D位移电流只在平板电容器中存在解：位移电流的起源于变化的电场，变化的电场激发磁场，但位移电流不涉及定向运动的电荷，也就不服从焦耳热效应、安培力等定律。因而正确答案为（A）。1213 一铁心上绕有线圈100匝，已知铁心中磁通量与时间的关系为F=8.0105sin100pt（SI），求在t=1.0102s时，线圈中的感应电动势。解：线圈的磁链为Wb线圈中的感应电动势为V当t=1.0102s时，V1214如图12-10所示，一均匀磁场与矩形导体回路面法线单位矢量en间的夹角为，已知磁感应强度B随时间线性增加，即B=kt（k0），回路的AB边长为l，以速度向右运动，设t=0时，AB边在x=0处。求任意时刻回路中感应电动势的大小和方向。ABvBqenxxO图1210解：任意时刻t，回路的面积为S=lx，回路的磁通量为则回路中的感应电动势大小为由于，则电动势的方向由A指向B。1215 一长直电流I与直导线AB（AB=l）共面，如图12-11所示。AB以速度沿垂直于长直电流I的方向向右运动，求图示位置时导线AB中的动生电动势。图1211vdAIBq图1212vdldArIBB解：在直导线AB上任取电流元dl，如图12-12所示，可得直导线AB中产生的电动势为由于，将其代入上式，得由于0，所以的方向由A指向B，B点电势高。1216如图12-13所示，长为L的铜棒AB，以距端点a处为支点O，并以角速率w顺时针绕通过支点O且垂直于铜棒的轴转动。设磁感应强度B的均匀磁场与轴平行，求棒AB两端的电势差VAB。 图1213解：方法一：如图12-14所示，以支点O为坐标原点，沿棒取Or为坐标轴，在棒上距点O为r处取导体元dr，它的线速度为，即=wr。由动生电动势公式知则长为L-a的OB棒上的电动势为同理，长为a的OA棒上的电动势为图1214将AB棒的电动势看作是OA棒和OB棒上电动势的代数和，如图12-15所示，则AB棒上的电动势为因此棒两端的电势差为ABOEOAEOB图1215当L2a时，B端的电势高于A端的电势。方法二：在棒上距点O为r处取导体元dr，如图12-14所示，则因此棒两端的电势差为1217 如图12-16所示，金属杆AB在导线架上以匀速向右滑动。已知金属杆AB的长为50cm，=4.0m/s，R=0.2W，磁感应强度B=0.5T，方向垂直回路平面。试求：（1）作用在金属杆AB上的拉力；vRlab图216（2）拉力做功的功率；（3）电阻R上所消耗的功率。解：（1）在金属杆AB运动时产生的动生电动势大小为方向由ba。感应电流为磁场作用在AB上的力水平向左，大小为N=1.25N作用在金属杆AB上的拉力F应与F大小相等，方向相反，即水平向右F=1.25N。（2）拉力做功的功率为W=5.0W（3）电阻R上所消耗的功率W=5.0W计算表明，拉力所做的功全部转化为电路中的焦耳热。图1217IvaldABCD1218 如图12-17所示，长直导线中通有电流I=5A，另有一矩形线圈共1000匝，宽a=10cm，长l=20cm，以速度=2m/s向右平动，（1）求当d=10cm时线圈中的感应电动势；（2）若线圈不动，而长导线中通有交变电流I=5sin100pt（A），则线圈内的感应电动势将为多大？解：（1）方法一：用法拉第电磁感应定律计算。线圈处于非均匀磁场中，当线圈运动到距长直导线x远处时，磁感应强度大小为方向垂直纸面向里。图1218IvalABCDdxxOx在线圈中取小面积元dS=ldx，如图12-18中阴影部分，取顺时针方向为矩形线圈回路的正方向，则面积元dS的方向也垂直纸面向里，由于dx足够小，可以近似认为该面积元内的B是均匀的，则该面积元的磁通量dF为通过线圈中的总磁通量为即F为x的函数。由法拉第电磁感应定律，线圈中的感应电动势为因为x是t的函数，所以线圈中的感应电动势为由题设，当线圈左边离开导线的距离为x =d=10cm时，=2103V由于0，所以它的方向为顺时针方向，即ABCDA方向。方法二：用动生电动势公式，对矩形线圈的每一边求感应电动势，再利用 进行计算。其等效电路如图12-19所示。EDAEBCABCD图1219取绕行回路正方向为顺时针方向。对于矩形线圈上、下两边AB、CD，由于与dl方向垂直，所以矩形线圈处于非均匀磁场中，距长直载流导线x远处的磁感应强度为其方向垂直纸面向里。每匝矩形线圈中的感应电势为=2106V矩形线圈中总的动生电动势为V=2103V因为0，所以它的方向沿顺时针方向，即ABCDA方向。（2）若线圈不动，导线中电流变化，则穿过线圈的磁通量变化，产生感应电动势。通过线圈的磁链为线圈中总的感应电动势为V1219 一单匝圆形线圈位于xoy平面内，其中心位于原点O，半径为a，电阻为R，平行与z轴有一匀强磁场，假设R极大，求：当磁场依照B=B0e-at的关系降为零时，通过该线圈的电流和电量。解：根据法拉第电磁感应定律xyzBOa图1220电动势为正，说明它的方向与B构成右手螺旋关系。线圈中的感应电流感应电流的方向亦与B构成右手螺旋关系。在0t 时间内，通过线圈某一截面的电量为当B降为零时，通过线圈截面的总电量为可见，q仅与磁通量的变化值有关，而与变化过程无关，即与B(t)无关。ablqBv图12211220 如图12-21所示，一长为l，质量为m的导体棒ab，其电阻为R，并沿两条平行的导电轨道无摩擦地下滑。轨道的电阻可忽略不计，轨道与导体构成一闭合回路。轨道所在平面与水平面成q角，整个装置放在均匀磁场中，磁感应强度B的方向与水平垂直，且竖直向上。求证：导体棒下滑时，达到稳定速度的值是。解：导体棒ab在重力作用下沿轨道下滑，这时通过闭合回路abcda的磁通量要随时间发生变化，于是在棒上就会产生动生电动势和感应电流，因此棒ab在磁场中又会受到安培力的作用。当安培力与重力在斜面上的分力大小相等，方向相反时，棒以匀速下滑。这时可得棒的速度，即为所证的值。设导体棒ab速度为。由于导体在磁场中运动产生的动生电动势为qvBF图1222回路abcda中感应电流为流向由ba。通过导体棒ab的电流在磁场中受到安培力由图12-22可判断出该力的方向水平向左。如图12-23所示，F沿斜面的分量为abqBFIqqF/G/Gcd图1223导体棒ab所受重力为G=mg，其沿斜面的分量为当此两力平衡时，即F/=G/时，速度达稳定值，由得1221 如图12-24所示，在半径为R的圆柱形空间有垂直于纸面向内的变化的均匀磁场B（），金属棒ab=bc=R，求金属棒ac上的感应电动势。OabcR图1224解：（1）方法一：由感生电动势公式求解。由磁场分布的轴对称性可知，磁场变化时在圆柱体所产生的感应电场Ek的电场线是以圆柱轴线上的某点为圆心的同心圆，且同一圆环上各点Ek的大小相等，方向逆时针，如图12-25所示。以圆柱轴线为中心，在垂直于圆柱轴线的平面内，作一半径为r的圆形闭合路径，回路的绕行方向为逆时针，由感生电动势定义式可知，EkEkabcOrrR图1225当rR时，由于金属棒ac所在区域与bc所在区域的Ek表达式不同，所以要分段积分，故如图12-26所示，对ab段，Ek的方向为逆时针，取线元dl，dl与Ek夹角为q，dl到管轴的距离为r，将几何关系h=rcosq=Rcos30代入积分，可得abcldlEkOq1qq2hrq图1226对bc段，有利用关系l=htanq，dl=hsec2qdq和，将上述积分统一变量，并注意到，代入上式有因此，整个金属棒ac上的感生电动势为方向由ac，即c端电势高。方法二：由法拉第电磁感应定律求解。由磁场分布的轴对称性可知，磁场变化时在圆柱体所产生的感应电场的电场线是以圆柱轴线上的某点为圆心的同心圆，且同一圆上各点Ek的大小相等，方向逆时针，沿某点的切向方向。如图12-27所示，连接Oa，Ob，按电动势的定义，在闭合回路OabcdO中的电动势为OabcRR3060d图1227其中Oa，Oc均沿半径方向，与感生电场Ek的方向始终垂直，所以则该回路的感应电动势等于金属棒ac上的感应电动势，即由法拉第电磁感应定律回路的感应电动势大小为方向由ac，即c端电势高。IOOabd图12281222 一无限长直导线，通有电流I，在它旁边放有一共平面的矩形金属框，边长分别为a和b，电阻为R，如图12-28所示。当线圈绕OO轴转过180时，试求流过线框截面的感应电量。解：由法拉第电磁感应定律，感应电动势为回路中感应电流为通过回路的感应电量为当线圈绕OO轴转过180，因此，有1223 半径为2.0cm的螺线管，长30.0cm，上面均匀密绕1200匝线圈，线圈内为空气。（1）求此螺线管的自感系数。（2）当螺线管中电流以3.0102A/s的速率增加时，在线圈中产生的自感电动势多大？解：（1）当通以电流I时，线圈内磁感强度为通过螺线管的磁链为该螺线管的自感系数为=7.6103H（2）由自感电动势定义得= -2.3V负号表示自感电动势的方向与电流的方向相反。1224 如图12-29所示，两条平行的输电线半径为a，二者中心相距为D，电流一去一回。若忽略导线内的磁场，求证这两条输电线单位长度的自感。图1230xdxxlIIdS=ldxD图1229DIIa证明：在两输电线之间取一面元dS=ldx，如图12-30所示，则面元上任一点的磁感应强度为通过长为l的两输电线间的面积的磁通量为故单位长度的输电线的自感为由此得证。1225 如图12-31所示，螺线管的管心是两个套在一起的同轴圆柱体，其截面积分别为S1和S2，磁导率分别为m1和m2，管长为l，匝数为N，求螺线管的自感（设管的截面很小）。解：设有电流I通过螺线管，则管中两介质中磁感强度分别为lNm1, S1m2, S2图1231通过线圈横截面的总磁通量是截面积分别为S1和S2的两部分磁通量之和通过螺线管的N匝回路的磁链为则自感为1226 如图12-32所示，真空中一矩形截面螺绕环由细导线均匀密绕而成，内半径为R1，外半径为R2，高为h，共N匝，如图所示。求此螺绕环的自感系数。R1R2hOO图1232R1R2hrdrOO图1233解：（1）当螺绕环通有电流I时，由于螺绕环具有轴对称性，在环内取以环中心为圆心，半径为r的圆形回路，圆周上各点B相等，由安培环路定理有则圆上各点的磁感应强度为在螺绕环的纵截面上距轴线r处取一宽为dr，长为h，与轴平行的面积元ds=hdr，如图12-33所示，则穿过面积元的磁通量为整个截面上磁通量为螺绕环的磁链因此螺绕环的自感系数为1227 一矩形线圈长l=20cm，宽b=10cm，由100匝表面绝缘的导线绕成，放置在一根长直导线的旁边，并和直导线在同一平面内，该直导线是一个闭合回路的一部分，其余部离线圈很远，其影响可忽略不计。求图12-34中（a）（b）两种情况下，线圈与长直导线间的互感。bbIl（a）b/2lI（b）图1234解：（1）图12-34（a）情况。图1235bbIldxxdS设长直导线上有电流I，在矩形线圈面积上距直导线x处，取一宽为dx，长为l且与直导线平行的长条形面积元dS=ldx，如图12-35所示。该面积元上磁感应强度为，在导线右边平面内其方向垂直纸面向里，通过面积元的磁通量为则整个线圈上的磁通量为线圈与长直导线间的互感为图1236b/2Idxdxl=2.8106H（2）图12-34（b）情况。设长直导线上有电流I，将矩形线圈视为许多宽为dx，长为l的长条形面积元dS组成，在两个关于长直导线对称的面积元上，磁感应强度大小相等，方向相反，因而这两个面积元的磁通量大小相等，符号相反，代数和为零，进而整个矩形面积的磁通量为零，如图12-26所示，因此线圈与长直导线间的互感也为零。1228 一螺绕环，横截面的半径为a，中心线的半径为R，Ra，其上由表面绝缘的导线密绕两个线圈，一个N1匝，另一个N2匝，试求：（1）两个线圈的自感L1和L2；（2）两个线圈的互感M；（3）M与L1和L2的关系。解：设在匝数为N1的螺绕环1中通以电流I1，在匝数为N2的螺绕环2中通以电流I2，（1）由于Ra，环中B可视为均匀，线圈1中，电流I1产生的磁场为每匝的磁通量为线圈1的