高等数学课程教案讲义（中）.doc

第五章 定积分一、教学目标与基本要求1、理解定积分的概念和基本性质，使学生牢固掌握定积分概念，理解定积分是一种和式极限，对定积分解决问题的思想有初步体会。 2、理解变上限定积分定义的函数及其求导定理，掌握牛顿-莱布尼茨公式。通过学习，使学生更深入理解定积分和不定积分，微分和积分间的联系。 3、掌握定积分的换元法与分部积分法4、了解广义积分的概念并会计算广义积分。5、了解定积分的近似计算法。6、理解定积分的来源，几何及物理意义，为以后学习其他专业课程打下基础掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力及函数的平均值等）二、教学内容及学时分配：第一节 定积分的概念与性质 2学时第二节 微积分基本公式 2学时第三节 定积分的换元法和分部积分法 3学时第四节 反常积分 2学时三、教学内容的重点及难点：1、 重点：定积分的概念和性质。微积分基本定理，积分的换元积分法。广义积分。2、难点：定积分概念的规则。定积分的换元积分法和分步积分法的运用四、教学内容的深化和拓宽：1、 无穷限反常积分的审敛法 2 、无界函数的反常积分的审敛法 3 、函数5.1定积分概念一、内容要点1、 定积分问题举例（1）曲边梯形的面积 （2）变速直线运动的路程2、 定积分定义 3、 定积分慨念的意义定积分慨念具有广泛的直观背景，在各种科技领域中有大量实际问题，都可归结为教学上的定积分问题，这些问题再应用中有详细讨论。4、定积分的存在定理 连续或在区间上只有有限个第一类间断点，则定积分存在。5、 定积分的性质（1） 线性性 （2）可加性 （3）单调性 （4）估值性 （5）定积分中值定理二、教学要求与注意点教学要求：正确理解定积分的概念极其简单性质。注意点：(1) (2) (3) (4) 定积分的几何意义 （5） 用定义计算三、作业 同步训练291 定积分的定义不考虑上述二例的几何意义，下面从数学的角度来定义定积分定义 设函数f(x)在a,b上有界，在a,b中任意插入若干个分点，把区间a,b分成n个小区间，记在上任意取一点，作和式：如果无论a,b作怎样分割，也无论在怎样选取，只要有I （I为一个确定的常数），则称极限I是f(x)在a,b上的定积分，简称积分，记做即I=其中f(x)为被积函数，f(x)dx为积分表达式，a为积分下限，b为积分上限，x称为积分变量，a,b称为积分区间。注1 定积分还可以用语言定义2由此定义，以上二例的结果可以表示为A=和S=3有定义知道表示一个具体的书，与函数f(x)以及区间a,b有关，而与积分变量x无关，即=4定义中的不能用代替5如果存在，则它就是f(x)在a,b上的定积分，那么f(x)必须在a,b上满足什么条件f(x)在a,b上才可积分呢？经典反例：在0，1上不可积。可见函数f(x)在什么情况下可积分并不是一件容易的事情。以下给出两个充分条件。定理1 设f(x)在区间a,b上连续，则f(x)在a,b上可积。定理2 设f(x)在区间a,b上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在a,b上可积。定理3 设f(x)在区间a,b上单调，则f(x)在a,b上可积。6几何意义当f(x)0时，表示曲边梯形的面积；当f(x) 0时，表示曲边梯形的面积的负值；一般地，若f(x)在a,b上有正有负，则表示曲边梯形面积的代数和。例1计算解：显然f(x)在a,b上连续，则f(x)在a,b上可积，现将0，1分成n个等分，分点为，取作和式：所以：=e-17按照定义52定积分的性质积分中值定理有定积分的定义知，是当ab时无意义，但为了计算及应用的方便，特作两个规定：1 a=b时，=02 ab时，=- 性质1：和差的定积分等于它的定积分的和差，即 性质2：常数因子可以外提（可以推广到n个）性质3：无论a,b,c的位置如何，有性质4：f(x)则性质5：若f(x)g(x)则性质6：性质7：设在，则性质8：（积分中值定理）若f(x)在a,b上连续，则a,b上至少存一点，使下式成立，例1利用定积分几何意义，求定积分值 上式表示介于, , , 之间面积例2、（估计积分值） 证明 证：在 上最大值为，最小值为2 52微积分基本公式一、内容要点、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系、积分上限函数 、积分上限函数的导数 、牛顿莱布尼兹公式 、举例 例1 例2 例3 例4 设函数f (x)在闭区间 a，b 上连续，证明：在开区间（a，b）内至少存在一点x，使 例5 设函数f（x）在0，+）内连续，并且f（x）0 ，证明：F（x）=在（0，+）内为单调增加函数。例6 求二、教学要求与注意点教学要求：正确理解定积分的概念极其简单性质，掌握定积分基本定理，会用牛顿莱布尼兹公式计算定积分注意点：牛顿莱布尼兹公式的条件三、作业 同步训练30一 变上限积分函数的导数设函数f(x)在a,b上连续，x为a,b上任一点，显然，f(x)在a,b上连续，从而可积，定积分为由于积分变量与积分上限相同，为防止混淆，修改为（）称是变上限积分的函数。定理1：设f(x)在a,b上连续，则在a,b上可导，且导数为证明省略定理2：如果函数f(x)在a,b上连续，则积分上限的函数是f(x)在a,b上的一个原函数。注意：1定理说明了连续函数的原函数一定存在2此定理指出了定积分与原函数的关系二、基本定理 牛顿莱伯尼兹公式定理如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间a,b上的一个原函数，则。 (1)证已知函数F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，又根据前面的定理知道，积分上限的函数也是f(x)的一个原函数。于是这两个原函数之差为某个常数，即 。 (2)在上式中令x = a，得。又由F (x)的定义式及上节定积分的补充规定知F (a) = 0，因此，C = F(a)。以F(a)代入(2)式中的C，以代入(2)式中的F (x)，可得，在上式中令x = b，就得到所要证明的公式(1) 。由积分性质知，(1)式对ab的情形同样成立。为方便起见，以后把F(b) F(a)记成。公式(1)叫做牛顿(Newton)-莱步尼兹(Leibniz)公式，它给定积分提供了一种有效而简便的计算方法，也称为微积分基本公式。例1计算定积分。解。例2计算。解。例3计算。解。例4计算正弦曲线y = sinx在0,p 上与x轴所围成的平面图形的面积。解。例5求解易知这是一个型的未定式，我们利用洛必达法则来计算。因此。 例6、 53定积分的换元法和分部积分法一、内容要点、定积分换元法：换元公式、定积分分布积分法：分布积分公式 、举例二、教学要求与注意点教学要求 能正确和熟练的运用定积分的换元积分法和分部积分法注意点 定积分的换元积分法三、作业 同步训练31、32定理：设（1）f(x)在a,b上连续，（2）函数在上严格单调，且有连续导数，（3）时， 且则有换元公式：.(1)注1 用换元法时，当用将积分变量x换成t求出原函数后，t不用回代，只要积分上下限作相应的变化即可。2 必须严格单调3 可以大于4 从左往右看，是不定积分的第二换元法；从右往左看，可以认为是第一换元法。 例1、法一 设法二设原式例2设在上连续，且,证明：若f(x)为偶函数，则F(x)也是偶函数。证： 例3 奇偶函数在对称区间积分性质，周期函数积分性质(1) 在-a,a连续，当为偶数，则当为奇函数，则(2) ，以T为周期说明在任何长度为T的区间上的积分值是相等的。例4、原式 例5、例6、设为连续函数，且 求解： 设则两边积分 定积分的分部积分法定理：若u(x),v(x)在a,b上有连续导数，则证明：因为，则有，两边取定积分。有也可以写成：例1解：例2解：=例3、设，求解： 例4 设在连续，可导，且，证明在内，有证： 在单调减，故54反常积分一、内容要点无穷限的反常积分（1）（2）（3）无界函数的反常积分（1） (a,b,点a为f(x)的瑕点 ta（2） a,b）,点为f(x)的瑕点 ta，若极限存在，则称此极限为函数f(x)在无穷区间a , + )上的广义积分，记作，即。 (1)这时也称广义积分收敛；若上述极限不存在，称为广义积分发散。类似地，若极限存在，则称广义积分收敛。设函数f(x)在区间(- ,+ )上连续，如果广义积分和都收敛，则称上述两广义积分之和为函数f(x)在无穷区间(- , + )上的广义积分，记作，也称广义积分收敛；否则就称广义积分发散。上述广义积分统称为无穷限的广义积分。例1：计算广义积分解：=例2计算广义积分以及解： 显然发散同理也发散例3：证明广义积分(a0)当p1时收敛，当p 1时发散。证当p = 1时，,当p 1时，因此，当p 1时，这广义积分收敛，其值为；当p 1时，这广义积分发散。二无界函数的广义积分现在我们把定积分推广到被积函数为无界函数的情形。定义2设函数f(x)在(a,b上连续，而在点a的右领域内无界，取，如果极限 存在，则称此极限为函数f(x)在(a,b上的广义积分，仍然记作，这时也称广义积分收敛。类似地，设函数f(x)在a,b上除点c(acb)外连续，而在点c的领域内无界，如果两个广义积分与都收敛，则定义；(2)否则，就称广义积分发散。例1证明广义积分当q 1时收敛，当q 1时发散。证当q = 1时，当q 1时，因此，当q 0)的一拱与x轴所为的面积解：二极坐标的情形定理3：设曲线且 在上连续，非负则有曲线与射线所围区域（称为曲边扇形）的面积为：证明：又微小元素法上的面积微元是：，所以 例1、 求双纽线所围的平面图形的面积。解：又由图形的对称性以及公式有：例2、求由曲线所围图形公共部分的面积解：两曲线的交点+ 体积一 平行截面面积为已知的立体体积定理一：设V是位于a,b间的一空间立体，A(x)（）是截面积的函数，且在a,b上连续，则立体V的体积为证明：在x,x+dx上的体积微元是dV=A(x)dx,则体积为：例1：求由圆柱面所围立体的体积解：由于对称性，我们只要求第一卦限立体体积，过x点（）且垂直于x轴的平面与该立体的截面为边长为的正方形，则二 旋转体的体积旋转体是一种特殊的空间立体，它是一条平面图形饶平面一直线l旋转一周所得，特别地，直线为x轴，一般地，设旋转体由曲线y=f(x),x=a,x=b,以及x轴所围的曲边梯形饶x轴旋转一周所得的一个立体，用垂直于x轴的平面去截立体得到截面面积为A(x)=,则旋转体的体积为：例1例3、过点作抛物线的切线，求该切线与抛物线及轴所围平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积解：设切点为切线方程Q 切点在切线上，（3,1）0 1 2 3 ， 切线方程：平面曲线的弧长一直角坐标系定理1：设y=f(x)在a,b上连续，且有一阶连续导数，则 y=f(x) 在a,b上的弧长为这由弧微分很容易推导出来。例1曲线相应于的一段解：1. 二参数方程的情形 当曲线以参数方程 给出时要求t由时的曲线弧长。由弧微分容易知道：例1摆线 的一拱 3. 三极坐标的情形定理3：若曲线的极坐标方程为,那么相应于的一段弧长为：例1：心形线的全长 ，=8a=8a(3) 6.3定积分在物理中的应用一、内容要点1、变力沿直线运动所做的功如左图，设dx很小，物体在变力 的作用下从点x移动到点x+dx所做的功元素为，从点a移动到点b, 在变力所做的功 例1一物体按规律直线运动，所受的阻力与速度的平方成正比，计算物体从 运动到时，克服力所做的功。 解 位于处时物体运动的速度，所受的阻力。如图从点x运动到点x+dx所做的功元素。物体从运动到时，克服力所做的功。 例2一个圆拄形水池，底面半径5米，水深10米，要把池中的水全部抽出来，所做的功等于多少？（水的密度=1）解如图，将位于处、厚度为的薄层水抽出来，其质量密度体积，当薄层水的厚度很小时，所做的功元素。要把池中的水全部抽出来，所做的功例3一条均匀的链条长，质量，悬挂于某建筑物顶部，需做多少功才能把它全部拉上建筑物顶部解如图，将位于处、长度为的一小段拉到顶部，其质量为，所做的功元素。全部拉上建筑物顶部所做的功2、液体的压力例4 一块矩形木板长10米，宽5米。木板垂直于水平面，沉没于水中，其一宽与水面一样高，求木板一侧受到的压力。（水的密度=1）解如图，木板在处所受的压强为。位于处、长为5米、宽为米的小矩形受到的压力元素（吨）。整块木板一侧受到的压力（吨）。3、引力例5 如图一质量为的质点位于原点，一根密度为、长为的均匀细棒区间上，求细棒对质点的引力解位于处、长为的小段，其质量为，对质点的引力元素。细棒对质点的引力 例6 设星形线，上每一点处的线密度的大小等于该点到原点的距离的立方，求星形线在第一象限的弧段对位于原点处的单位质点的引力。 解 如图，位于处、长为的小段，到原点的距离，线密度为，其质量为，其中。该小段对质点的引力元素，其水平分量，铅直分量。因此,二、教学要求与注意点不仅会建立这些几何、物理的公式，而且更重要的还在于会运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法三、作业 同步训练38第七章 空间解析几何与向量代数在中学中，我们曾学过平面解析几何。先建立一个平面直角坐标系，将平面上的点与一个有序数组对应起来；将平面上的一条直线或曲线，与一个代数方程对立起来，这样就可以用代数方法来研究几何问题。而空间解析几何是平面解析几何的进一步，它是在三维空间里进行研究。第一节 空间直角坐标系一、 空间点的直角坐标。在研究空间解析几何的开始，我们首先建立一个空间直角坐标系。方法：在空间，任意固定一点O，做三条等长经过以O为原点且相互垂直的直线，对于这三条直线，分别选取他们的正向，使他们成为坐标轴OX，OY，OZ。坐标轴OX，OY，OZ是均为原点在O点，长度均选择单位长的数轴。OX轴又称为x轴或横轴，OY轴又称为y轴或纵轴，OZ称为z轴或竖轴，他们统称为坐标轴。习惯上，总把x轴，y轴放在水平面上，z轴放在垂直位置上。那么如何决定x轴，y轴，z轴顺序的相对位置呢？下面介绍两种方法：其一、课本P.287所叙。他们的正方向符合右手法则，即以右手握住z轴，大拇指方向为z轴的正方向，其余四指从x轴正向旋转900时，所指方向便为y轴正向，这样相对位置便决定好了。其二、令右手大拇指、食指和中指相互垂直时，可能形成的位置。大拇指指向为x轴正方向，食指指向为y轴正向，中指指向则为z轴正向，这样也可以决定三轴间的相位置。由上述二方法，我们就可以由这三条坐标轴组成一个空间直角坐标系，用Oxyz来表示，如图1：图中，点O成为坐标原点。在某些书中，这种坐标轴又称为空间直角右手坐标系。因为相应的还有一个左手坐标系，但不常用，在我们这本教材中，里面使用的全部都是右手坐标系。从上图中，我们可以确定三个坐标平面，即三个坐标面，他们相互垂直，其中，垂直于OX轴的叫做YOZ平面或Oyz平面，其他类似。三个坐标平面把整个空间分成了八个部分，每个部分叫做卦限，有关八个卦限的排列顺序我们等一下再介绍。空间直角坐标系建立以后，我们就可以建立空间的点与有序数组之间的对应关系，为此先介绍空间点的坐标。对于空间任意一点M，过M做三个平面，分别垂直于x轴，y轴和z轴，他们与之的交点分别记做P、Q、R（如图2）。此三个点分别在x轴，y轴和z轴上的坐标依次为x，y，z。这样点M就唯一的确定了一个有序数组（x，y，z），这组数（x，y，z）就叫做M点的坐标，并依次称x，y和z为M点的横坐标，纵坐标和竖坐标，通常记为M（x，y，z）。倒过来，对任意一个有序数组（x，y，z），空间总有唯一的点M，其坐标就是（x，y，z）。事实上，在x轴上，取坐标为x的点P，在y轴上，取坐标为y的点Q，在z轴上，取坐标为z的点R。经过P、Q、R分别作平行于坐标面YOZ，ZOX，XOY的平面，这三个平面相互垂直，且交于一点M。显然，M点且仅有M点是以有序组（x，y，z）为坐标的点。从上面两个方面，我们知道，在建立空间直角坐标系后，空间的点M和有序数组（x，y，z）之间建立一个一一对应的关系，这样，说明了（x，y，z）可以叫做M点的直角坐标，根据坐标画点时，可按图2的路线进行。坐标面和坐标轴上的点，起坐标各有一些特征，很简单，这里就不详写了。下面我们讲卦限划分：各卦限内的点（除去坐标面上的点外）的坐标符号如下：（+，+，+），（-，+，+），（-，-，+），（+，-，+，）（+，+，-），（-，+，-），（-，-，-），（+，-，-）【注】：我们很少用到卦限的概念。补充画图注意的地方：假定画图用的是方格纸，上面画有一族纵的和一族横的平行线，且行距相等，取任意横线和纵线的交点作为原点O，从O点起向右的平线作为正的y轴，向上的作为正z轴，向左下方的对角线作为正x轴，在纸上令y轴和z轴的单位长相等，但x轴上的单位长度等于那个单位长度的，由于立体感，直观上会觉得三条轴上的单位长大致相等，画点时可按图1或者图2所示去画。二、 空间上两点间的距离在数轴上，M1（x1），M2（x2）两点之间的距离为D=。在平面上，M1（x1，y1），M2（x2，y2）两点之间的距离为： D=。那么，在空间上任意两点M1（x1，y1，z1），M2（x2，y2，z2）之间的距离是多少呢？我们可以证明：D=。事实上，过M1，M2，各作分别垂直于三条坐标轴的平面，这六个平面围成一个以M1，M2，为对角线的长方体（P288，图6-4）。 D2= = = D=这就是空间两点的距离公式。【特别的】：（1）点M（x，y，z）于坐标原点O（0，0，0）的距离为 d= （2）M1，M2两点之间的距离等于0M1=M2，两点重合，也即x1=x2，y1=y2，z1=z2。 （3）= 【例1】：已知三角形的顶点为A（1，2，3），B（7，10，3）和C（-1，3，1）。试证明A角为钝角。证：= = =可见，+由余弦定理，就可知A角为钝角。【例2】：在z轴上，求与A(-4,1,7)和B(3,5,-2)两点等距离的点。解：设M为所求的点，因为M在z轴上，故可设M的坐标为：（0，0，z）根据题意，及=去根号，整理得：z=14/9 M（0，0，14/9）。【例3】：试在xoy平面上求一点，使它到A(1,-1,5)、B(3,4,4)和C(4,6,1)各点的距离相等。解：设M为所求。故依题意可设M的坐标为（x，y，0），又由题意知： |MA| = |MB| = MC| ，即：=化简可得 所求的点为M（16，-5，0）。第二节 向量及其加减法、向量与数量的乘法一、 向量概念Def：向量是既有大小（由一个大于等于零的数表示）又有方向的量。在物理学中，有许多量不仅有大学而且有方向特征。故称之为向量（矢量）。在数学中，往往用一条有方向的线段，又称有向线段来表示向量。有向线段的长度表示该向量的大小，有向线段的方向表示该向量的方向。以M1为起点，M2为终点的有向线段表示的向量。记为，有时用一个粗体字母或者上面带有尖头的字母来表示，比如：，或者a，j，k，v等等。向量大小叫做向量的模。即所有有向线段的长称为其模。向量，a的模依次记做，|a|。【注】：（1）|不是绝对值。（2）模为1的向量称为单位向量。（3）模为0的向量称为零向量，记做0，。零向量的方向可以是任意，但规定一切零向量都相等。在直角坐标系中，坐标原点O为始点，M为终点的向量，称为点M对点O的向径，由粗体字r表示。在实际问题中，有的向量与始点无关（比如指南针），而有的与始点有关（比如点的运动速度）。而我们现在只考虑前一种，即与始点无关的向量，并称为自由向量，简称向量。由于我们不考虑始点的所在位置，因而规定，两个方向相同，长度一样的向量a或b称为相等向量，或a和b相等，记为a=b。又说：如果两个向量经过平行移动后能够完全重合，就称为两个向量相等。若向量a，b，长度相等，方向相反，就称为它们互为负向量，用a= -b或者b= -a表示；若a，b方向相同或者相反，则称a，b为平行向量，记为a / b。二、 向量的加减法在研究物体受力时，作用于一个质点的两个力可以看作两个向量。而它的合力就是以这个力作为边的平行四边形的对角线上的向量。我们现在讨论向量的加法就是对合力这个概念在数学上的抽象和概括。向量的加法：设已知向量，以任意点O为始点一般讲，任意二向量未必同始点，但是利用自由向量的特点可以做到同一始点，且分别以A，B为终点，=，=，再以OA，OB为边作平行四边形OACB，对角线的向量=，这就是，之和，记做+=（如图3）由，求+的过程叫做向量的加法，上述利用平行四边形的对角线上向量来规定两向量之和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。若两个向量，在同一直线上（或者平行），则他们的和规定为：（1）若，同向，其和向量的方向就是，的共同方向，其模为的模和的模之和。（2）若，反向，其和向量的方向为，中较长的向量的方向，其模为，中较大的模与较小的模之差。除了向量加法的平行四边形法则外，还有一种向量加法的三角形法则：设已知向量，现在以任意点O为始点，做=，再以的终点A为始点，做=，连接OC，且令=，即得+=。对于任意向量，我们有：+（-）=；+=+=向量的加法满足：（1）交换律：+=+ （图4） （2）结合律：（+）+=+（+）（图5） 由于向量的加法满足结合律，三个向量，之和就可以简单地记为：+，其次序可以任意颠倒。一般地，对于n个向量,它们的和可记做+。它们之间不须加括号，各向量次序可以任意颠倒。N个向量,相加的作图法，可由三角形法则推广如下：由空间任一点O到=，由A1到A2做=，最后由的终点An-1到An作=得到一系列折线O A1AA2An-1 An ，连接O An ，得：=+ 向量的减法：我们规定-=+（-）。由此立即推得：-=+（-）。现在我们给出-的作图法（如图6），由图可见，-是平行四边形另一对角线上的向量。三、 向量与数量的乘法设是一个数量，向量与的乘积规定为：（1）当0时，表示一向量，其方向与方向相同，其模为的 倍，即。（2）当=0时，为零向量，即（3）当0；现在我们决定这个，在的两边同时取模，=，即得：现在规定，当时， =；即一非零向量除以以其模便得到一个与其同向的单位向量。【例1】 已知平行四边形两邻边向量，其对角线交点为M，求 解： 如图7所示， 显然，又 又即 又【例2】：设已知立方体三边上的向量a，b，c（大写表示向量），A、B、C、D、E、F为各边的中点，求证：，组成一个三角形。证明。如图8第五节 平面方程一、 点法式方程法向量及点法式方程。设平面的法向量为=A，B，C，而平面经过点P0(x0，y0，z0)。则称A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0为平面的点法式方程。【例1】：已知平面上一点P1(a，0，0)，P2(0，b，0)，P3(0，0，c)。若：，求平面的方程：解：=-a，b，0，=-a，0，c则=*=则：bc（x-a）+ac（y-0）+ab（z-0）=0同除以abc则其中a，b，c称为平面方程在x轴，y轴，z轴上的截距。二、 平面的一般方程 Ax+By+Cz+D=0讨论：（1）D=0 平面经过原点（2）A=O 平面/ y轴（3）A=D=0 平面过x轴 A=B=0 平面/ XOY平面三、 两平面的夹角，为两平面法向量的夹角。【例2】设平面过P(1，0，1)，且垂直于直线，求平面的方程。解：设平面的法向量为，而其余两平面的法向量依次记做：， 则：平面的方程：（x-1）-2（y-0）+z-1=0。【1996-2-】：设平面过原点以及点（6，-3，2），且与平面4x-y+2z=8垂直，求平面的方程。解：法一：由于平面过原点，所以可设平面的方程为：Ax+By+Cz=0。则 ，上面两式相减得A=B，C=，任取B=2，A=B=2，C=-3 平面的方程的为：2x+2y-3z=0法二设平面的法向量为，而其余两平面的法向量依次记做：，。且=6，-3，2，=4，-1，2 平面的方程的为2(x-0)+2(y-0)+3(z-0)=0.【例3】：设点P1(x1，y1，z1)为平面：Ax+By+Cz+D=0外的一点。求点P1到平面的距离d。解 设P0(x0，y0，z0)为平面上的任意一点。又设设平面的法向量为，而直线P0P1的方向向量为： d= 又 Ax0+By0+Cz0=-D d= 如：P1(-1，1，2)到平面：3x-2y+z-1=0的距离为d=第六节 直线方程一、 空间直线的对称式方程和点向式方程设空间直线的方向向量为点向式（参数式）：（=t）【注】当m=0时，则方程的点向式记为：，其他类似。二、 一般方程。已知任意两个不平行，不重合的平面必定相交于一条直线。 直线的一般方程为化一般式方程为点向式方程。【例1】 求直线l: 的点向式方程。解：令x=1，得到，则y=-1，z=2。所以：P0(1，-1，2)在所求直线l上。又 直线l要经过两个平面， 假设两平面的法向量依次记做：、，而直线l的方向向量为：则： 直线l的点向式方程为：。三、 两直线的夹角定义：两直线的夹角为直线方向向量的夹角。【1993-1】设直线l1: ,直线l2 : 求两直线的夹角。解：两直线的方向向量分别为：， 其中，分别为l2所对应的两平面的法向量。 两直线的夹角：， 。四、 直线与平面的夹角定义：称直线与其在平面上的投影直线的夹角为直线与平面的夹角。【注】。如图所示：由图可知直线方向向量与平面法向量的夹角（）=又 其中A，B，C为平面的法向量，m，n，p为直线的方向向量。【注】 当直线/ 平面,则=0; 当直线平面，则有.【1995-1】设有直线 ：，且有平面：。则直线（ ）（A） 平行平面 （C）在平面上 （B） 垂直平面 （D） 与平面斜交解：直线的方向向量是： =4,-2,1 又 平面的法向量：4，-2，1 直线与平面垂直，故选（B）。五、 本节综合习题【例】：求过点P（2，-1，3）且与直线1：垂直相交的直线的方程。解：不妨设两直线交点为M（x0，y0，z0）,由于M在1上，故：，其中t为参变量。由于直线与直线1垂直：其中直线1的方向向量为，而直线的方向向量为： t=1从而M点坐标为（3，-2，4），则则直线的方程：。【例】：设平面过直线1：，且平行直线2：，求平面的方程。解：两直线的方向向量分别为：， 则平面的法向量。 故可假设平面的方程为：代入（1，2，3），得D=2 所以：平面的方程为：【例】：求过点P0（1，2，1）和直线：的平面方程。 解：由于P0不在平面上，故平面不是所求平面。 通过直线的全体平面可表示为： 由于直线在所求平面上，故代入上式可得t= -1从而得所求平面为：。第七节 曲面与曲线方程一、 曲面方程1、 曲面的概念定义1：如果曲面上所有的点都满足方程，且不在曲面上的任何点都不满足方程。则称方程为曲面的方程，而称为的图象。【例】求球心在M0（a，b，c），半径为r的球的方程。解：由球的定义和点之间距离公式可知，球的方程为：2、 柱面方程 定义2：空间给定一条动直线与定曲线，移动直线沿曲线做平行于某定直线的移动，形成的曲面称为柱面，称为曲线柱面的准线，动直线称为柱面的母线。如图：上图中，L为z轴【例】：设：，求以作为准线，母线平行于z轴的柱面方程。解：在柱面上任意取一点M(x0，y0，z0)，则M必在某条母线上，它与的交点为M1(x0，y0，0)（如下图），从而有，故曲面上任一点都满足；另一方面：若M(x0，y0，z0)满足，则M必在经过C(x0，y0，0)的母线上，且z=0。故所求柱面方程为。【注】此表达式中，缺z。同理：以，为准线，母线分别平行于y，z轴的柱面方程分别为，。其中，代表母线平行于x轴的圆柱面； 代表母线平行于z轴的抛物柱面。图形分别如下：3、 旋转曲面【例】求曲线：绕z邂逅旋转一周所得的曲面方程。解：在曲面上任取一点P（x，y，z），过P点作平行于XOY面的平面，与曲线交点M（0，y1，z），则，由于平面与曲面交线是以O1（0，0，z）为圆心的圆周，故：，即：，从而：。如图：若：绕y轴旋转一周，所得曲面方程为：。如：绕x轴旋转一周所得曲面方程为：。绕z轴旋转一周所得曲面方程为。【例】求对称轴为z轴，半顶角为的锥面方程。解：如图 设锥面由绕z轴旋转而成 故锥面方程为：即： 当等于时，。二、曲线方程1、 曲线的一般方程空间中的任何曲线可以看成是两个曲面的交线。设曲线是曲面1：与曲面2：的交线，则曲线方程为，称该方程为曲线的一般方程。【例】：求球心在（1，2，3），半径为3的球面与平面z=5的交线方程。 解：球面方程为： 即：的方程为：2、 曲面的参数方程如果曲线上的点的直角坐标系可表示为： ，。则称，为曲线的参数方程。【例】：求螺旋曲线（动点M在圆柱面上以均匀角速度运动，同时以线速度沿平行于z轴正向的方向上升，M点的运动轨迹就是螺旋曲线）方程，图形如下： 解：设时间t刻，M点的坐标为（x，y，z）。显然， 而M点又落在曲面上，且做均匀角速度的旋转，转动的角度为，过M点做直线平行于z轴，交XOY平面于（x，y，0）。 从而可以得到，所以M点的坐标为： 所以由曲线的定义可知，曲线的方程：三、空间曲线在坐标面上的投影 已知：曲线： ，求曲线在XOY面上的投影曲线。 方法：就曲线的方程，消去z，得到方程，称方程：为曲线在XOY面上的投影曲线方程。 【注】：同理：消去x，得到在YOZ上曲线的投影方程。 消去y，得到在XOZ上曲线的投影方程。【例子】：求在三个坐标面上的投影曲线。 解：1、消去z得：在XOY上的曲线方程；2、消去x得：，在YOZ上的曲线方程； 3、 消去y得：，在XOZ上的曲线方程。第八节 二次曲面一、 椭球面方程：；二、 抛物面：，（p，q同号）。三、 双曲面： ，单叶双曲面； ，双叶双曲面。第八章 多元函数微分法及其应用（讲授法 18学时）上册研究了一元函数微分法，利用这些知识，我们可以求直线上质点运动的速度和加速度，也可以求曲线的切线的斜率，可以判断函数的单调性和极值、最值等，但这远远不够，因为一元函数只是研究了由一个因素确定的事物。一般地说，研究自然现象总离不开时间和空间，确定空间的点需要三个坐标，所以一般的物理量常常依赖于四个变量，在有些问题中还需要考虑更多的变量，这样就有必要研究多元函数的微分学。多元函数微分学是一元函数的微分学的推广，所以多元函数微分学与一元函数微分学有许多相似的地方，但也有许多不同的地方，学生在学习这部分内容时，应特别注意它们的不同之处。一、教学目标与基本要求(1) 理解多元函数的概念。(2) 了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。(3) 理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件，以及全微分在近似计算中的应用。(4) 理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法。(5) 掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法。(6) 会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。(7) 了解曲线的切线与法平面及曲面的切平面与法线，并掌握它们的方程的求法。(8) 理解多元函数极值的概念，会求函数的极值。了解条件极值的概念，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。二、教学内容及学时分配：第一节 多元函数的基本概念 2课时 第二节 偏导数 1学时第三节 全微分 1学时第四节 多元复合函数的求导法则 2学时习题课 2学时第五节 隐函数的求导公式 2学时第六节 多元函数微分学的几何应用 2学时第七节 方向导数与梯度 2学时第八节 多元函数的极值及其求法 2学时 习题课 2学时三、教学内容的重点及难点：重点：1 多元函数的极限与连续；2 偏导数的定义；全微分的定义3 多元复合函数的求导法则；隐函数的求导法则4 方向导数与梯度的定义5 多元函数的极值与最值的求法难点：1 多元函数微分学的几个概念，即多元函数极限的存在性、多元函数的连续性、偏导数的存在性、全微分的存在性、偏导数的连续性之间的关系；2 多元复合函数的求导法则中，抽象函数的高阶导数；3 由方程组确定的隐函数的求导法则；4 梯度的模及方向的意义；5 条件极值的求法四、教学内容的深化和拓宽：1 多元函数微分学的几个概念的深刻背景；2 多元复合函数的求导法则的应用；3 由一个方