线性代数課件

线性代数,课程的性质,线性代数是数学的一个分支，是数学的基础理论课之一。它既是学习数学的必修课，也是学习其他专业课的必修课。,内容与任务,线性代数是研究有限维线性空间及其线性变换的基本理论，包括行列式、矩阵及矩阵的初等变换、线性方程组、向量组的线性相关性、相似矩阵及二次型等内容。 既有一定的理论推导、又有大量的繁杂运算。有利于培养学生逻辑思维能力、分析问题和动手解决问题的能力。,用途与特点,线性代数理论不仅为学习后续课程奠定必要的数学基础，而且在工农业生产如国防技术中有着广泛的应用，是理工科大学生的一门重要的数学基础课。该课程的特点是：公式多，式子大，符号繁，但规律性强，课程内容比较抽象，需要学生具备一定的抽象思维能力，逻辑推理能力，分析问题能力和动手解决实际问题的能力。,第一章行列式,本章主要介绍n阶行列式的定义，性质及其计算方法。此外还要介绍用n阶行列式求解n元线性方程组的克拉默（Cramer）法则。,1 阶行列式的定义,1、二元线性方程组,一、n阶行列式的引出,用消元法求解，得：,当 时，求得方程组有唯一解：,引入二阶行列式,方程组的解可以写成：,二阶行列式的计算,例如,例 解二元线性方程组,求解方程,2. 三元线性方程组,用消元法可求得，当,时，,三元线性方程组有唯一解：,其中：,三阶行列式的定义,例如 三阶行列式的计算,-357-249-168,例 解 三元线性方程组,3. n元线性方程组,构造：,提出三个问题,（1）D=？（怎么算）？,（2）当D0时，方程组是否有唯一解？,（3）若D0 时，方程组有唯一解，解的形式是否是,二、全排列及其逆序数,1、全排列用1，2，3三个数字可以排6个不重复三位数即： 123，231，312，132，213，321,一般地，把n个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？这是一个全排列问题。从n个元素中任取一个放在第一个位置上，有n种取法；在从剩下的n-1个元素中任取一个元素，放在的第二个位置上有n-1种取法;依此类推，直到最后剩下一个元素放在最后位置上，只有一种取法；于是：,2. 逆序数,对于n个不同的元素，可规定各元素之间有一个标准次序（例如，n个不同的自然数，规定由小到大为标准次序）。于是，在这n个元素的任意排列中，当某两个元素的前后次序与标准次序不同时，就说产生了一个逆序，一个排列中所有逆序的和叫做这个排列的逆序数。逆序数是奇数的排列叫做奇排列，逆序数是偶数的排列叫做偶排列。,3. 逆序数的计算方法,例如，设排列3 2 5 1 4,其逆序数为： t=1+3+0+1+0=5 当我们把上面排列改为 3 1 5 2 4，相当于把3 2 5 1 4 这个排列的第2、4两个数码对换（将一个排列中任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换）。通过计算可知 3 1 5 2 4 的逆序数为 t=1+2+0+1+0=4可见排列 3 2 5 1 4 为奇排列，而 3 1 5 2 4 为偶排列，可见一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。,定义1 设有n2个数，排成n行n列的数表,三、n阶行列式的定义,作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积，并冠以符号(-1)t，得到形如的项，其中 为自然数1，2，n，的一个排列，t 为这个排列的逆序数。,这样的排列共有n!个，所有这些项的代数 和称为n阶行列式。记为:,也可记为:,行列式的其他定义,另一种定义形式为:,同理，也可以定义为:,四、几种特殊的行列式,（1） 对角行列式,（2） 下（上）三角行列式,（3）,其中 ，,第二讲,2.行列式的性质 有了n阶行列式的定义，我们就可以计算n阶行列式，在计算几种特殊行列式的过程中，发现直接用定义计算是非常麻烦。 当行列式的阶数较高时，计算是十分困难的，为了简化n阶行列式的计算，我们这一节主要研究行列式的性质。,一. 转置行列式,把行列式的行换成同序数的列而得到的行列式称为原行列式的转置行列式。即,称DT为D的转置行列式,二行列式的性质,性质1 行列式与它的转置行列式相等. 证 设,由此性质可知，行列式的行与列具有相同的地位，行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立，反之亦然。,性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号。,证设行列式,于是,推论 如果行列式有两行（列）完全相同,则此行列式等于零. 证 把这两行互换，有 D=D，故 D=0.,证 设 D=,性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式。,故,推论 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式的外面.例如,性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零.例如,性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则D 等于下列两个行列式之和：即,例如 计算,例如,性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个数然后加另一列（行）对应的元素上去，行列式不变.,三、用行列式的性质计算行列式,例1 计算,例2.计算,解：,例3 计算,解： 从倒数的二行开始，把前一行的（-1）倍加到后一行上去。,同理，可得：,例4 计算,解：把所有列都加到第一列上去，然后，从第一列提取公因子，再把第二、三、四行都减去第一行。,3 行列式按行（列）展开,余子式和代数余子式 在n阶行列式中，把元素 所在第i行和第j列划去后，留下来的n1阶行列式叫做元素 的余子式.记作 .即 的余子式记作 . 的代数余子式,第三讲,中元素 的余子式和代数余子式分别为,二.行列式按行（列）展开定理,引理 设D为n阶行列式，如果D的第i行所有元素除 外，其余元素均为零，那么行列式D等于 与其代数余子式的乘积，即,证：设,定理1 行列式等于它的任一 行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即,证：,类似地.若按列证明，可得,例1.计算,例2 计算,解: 按第一行展开,以此作递推公式，即可得,例3 证明范蒙得（Vandermonde）行列式,其中记号“”表示全体同类因子的乘积.,所以当n=2时（1）成立. 现在假设（1）对于n1阶Vandermonde行列式，即,证: 用数学归纳法.因为,我们来证明对n阶Vandermonde行列式也成立.,例4.计算,三、行列式展开定理的推论,推论 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.即,或,证: 设,把D按第j行展开,有,在上式两端用 代替,得,同理可证,显然,等式左端行列式有两行相同,故行列式等于零,即.,综合定理1和推论有,其中,例5已知行列式 求 , 其中 是D的第4行元素的代数余子式.解：,第一章 第四节,4.克拉默法则 一.非齐次线性方程组的克拉默法则,(1),设非齐次线性方程组,(3),则线性方程组(1)有唯一解,若(1)的系数行列式,(2),即证明：,等式成立,证明： 先证 是（1）的解，,要证 是（1）的解，只须证明（3）满足（1）即可，为此把（1）改写成：,做n+1阶行列式,显然 . 把 按第一行展开.需要求出第一行每个元素的代数余子式.第一行元素 的代数余子式为:,所以,即,再证唯一性.假设 也是(1)的解.在(2)两端同时乘以,由于 , 所以,故线性方程组(1)有唯一解(3).,例1.解方程组,解:,定理2.如果线性方程组（1）的系数行列式D不等于0,则(1)有唯一的解.,定理 .如果线性方程组(1)无解或有多个解，则它的系数行列式必为0.,于是得原方程组的解为,二.齐次线性方程组的克拉默法则,设齐次线性方程组,(4),若(4)的系数行列式,(5),则(4)没有非零解.,. 定理 .如果齐次线性方程组(4)有非零解,则它的系数行列式必为0。,定理3.如果齐次线性方程组(4)的系数行列式D不等于0,则齐次线性方程组(4)没有非零解.,例2. 问 在什么条件下,方程组,有非零解？,解：由定理 知，若方程组有非零解，则其系数行列式必为零。,所以，当 或 时，上面方程组有非零解。,例3 设非齐次线性方程组,问 为何值时，该方程组有唯一解，并求其解。,解：方程组的系数行列式为,（ +2）,显然当 2， 1时，方程组有唯一解。,D=,行列式主要知识点网络图,概念,排列,行列式,逆序，奇排列，偶排列,一般项是不同行不同列元素乘积的代数和.,互换行列式的两行(列)，行列式变号。某行有公因子可以提到行列式的外面。若行列式中某一行(列)的所有元素均为两元素之和，则 该行列式可拆成两个行列式.某行(列)的k倍加到另一行(列)，行列式不变。,行列式知识点,性质,展开,计算,行展开,列展开,定义法递推法加边法数学归纳法公式法拆项法乘积法析因子法,齐次线性方程组有非零解的充要条件,克拉默法则,应用,第二章 矩阵及其运算,1 矩阵,一、矩阵概念,定义1.,为表示它是一个整体 , 在这数表的两边用大圆括 弧把它范围起来，并用大写黑体字母表示:,例1.某厂向三个商店发送四种产品，其发送的数量和单价及单件的重量都可用矩阵来刻划.,若用 表示为工厂向第 i 店发 送第 j 种产品数量，则矩阵,表示了工厂向三个商店发送四种产品的数量.,表示了这四种产品的单价及单件重量.,4,2,1,3,例2. 四个城市间的单向航线如下图所示.,若令 从i市到j市有一条单向航线 从 i 市到 j 市没有单向航线 则图中的航线用矩阵表示为,例3.,二、矩阵的表示方法,三.几种特殊的矩阵,1.方阵,2.上三角矩阵,3.下三角矩阵,4.对角矩阵,5.单位矩阵,6.行矩阵,7.列矩阵,8.零矩阵,9.负矩阵,10.同型矩阵,两个矩阵的行数和列数分别相同的矩阵称为同型矩阵.,11.对称矩阵,12.反对称矩阵,2.矩阵的运算,一、矩阵的加法,1、定义,定义2 设有两个mn矩阵 A B 那末矩阵 A 与 B 的和记作 A + B , 规定为,A + B =,矩阵的 减法：A B = A + (B ),2、运算律,矩阵的加法满足下列运算规律设 A、B、C 都是 mn 矩阵:,1） A + B = B + A,2）（A + B）+ C = A +（ B + C ）,3） A +（A）= A A = 0,二、数与矩阵相乘,1、定义,定义3 数 与矩阵的乘积,记作 A 或A,规定为,A = A =,2、运算律,数乘矩阵满足下列运算规律设 A、B 为 mn 矩阵，、为数：,2） （ ) A = A + A；,1） （）A = ( A ),3） ( A + B ) = A + B,这样定义矩阵加法和数乘矩阵的运算，统称为矩阵的线性运算.,三、矩阵与矩阵相乘,1、定义,定义4 设 A =（aij)ms , B = ( bij )sn 矩阵，那末规定矩阵 A与矩 B 的乘积是一个mn矩阵C = ( c ij )mn 。其中,即 A B = C.,注意：,例1.求矩阵,A =,B =,与,的乘积AB,C AB,解：,例2. 设矩阵,A =,B =,求AB与BA。,AB =,解：,BA=,2. 运算律,1) 矩阵的乘法一般不满足交换律,2) （AB）C = A（BC）,3) (AB) = (A) B = A( B),( 其中为数 );,4) A ( B + C ) = AB + AC ( B + C ) A = BA + CA,3. 设E为单位矩阵,EA = AE = A,或简写成,4、方阵的幂运算,设 A为 n 阶方阵. k , l 为正整数,如,AB,其中 是向第 i 店所发产品的总值 , 是向第 i店所发产品的总重量。C 表示为向三个商店所发产品的总值及总重量所构成的矩阵。,则 A2 表示从 i 市经一次中转到 j 市的单向航线的条数构成的矩阵。,又如,1,2,4,3,四、矩阵的转置,1、定义,定义5 把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的矩阵,叫做 A 的转置矩阵,记作 AT。,例如,2.运算律,这里仅证明4）,设 A = ( aij )ms , B = ( bij )sn 。,AB = C = ( cij )mn ， BTAT = D = ( dij )nm。,显然，要证明（ AB )T = BTAT, 只须证明 cji = dij 即可。,因为,例3.已知,求 ( AB )T。,解法1：因为,AB =,解法2：,有了转置矩阵的定义后，显然有,A为对称矩阵，A为反对称矩阵，,例4 试证任意n阶方阵都可分解为一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和。,证 由于,A = (A + A + ATAT ),= (A + AT + AAT ),故A等于对称矩阵 与反对称矩阵 之和。,例5：设列矩阵,X =,满足XTX = 1，E为 n 阶的单位矩阵，H = E 2XXT,证明 H 是对称矩阵，且 HHT = E 。,证明:,所以H是对称矩阵.,五、方阵的 行列式,1、定义,定义6 由n阶方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵A的行列式，记作 |A| 或 detA 。,2、运算律,我们仅证明3），设A = (aij), B = (bij)。记 2n 阶行列式,D =,显然，D = |A|B| ,而在 D 中以 b1j 乘第 1 列，b2j 乘第 2 列 ， ， bnj 乘第 n 列 , 都加到第 n + j 列上 （ j = 1 , 2 , , n ) , 有,D=,其中 C = ( cil ) , cij = ai1b1j+ai2b2j+ainbnj ,故 C = AB。,再对 D 的行作 rj rn+j （j = 1, 2, , n ），有,从而有,D = ( 1 )n|E|C| = ( 1 )n( 1 )n| C | = | C | = | AB |。,于是 | AB | = | A | | B |,例6：设A , B 均为 n 阶方阵,且,证,例7 设 A 是 n 阶反对称矩阵，B 是 n 阶对称矩阵，则 AB + BA 是 n 阶反对称矩阵。,证 ( AB + BA )T = (AB)T + (BA)T,= BTAT + ATBT,= BAAB,= （ AB + BA ）,所以， AB + BA 为 n 阶反对称矩阵。,例 8 设,令 A = T, 求 An 及| An|。,解,An = ( T )n = TTT T,= 3n-1A,| An | = | 3n-1A | = (3n-1)n| A |,= 0,六、共轭矩阵,1、定义,定义7 设A= 为复矩阵， 表示 的共轭复数，记,则 称为A的共轭矩阵。,2.运算律,设 A 、B 为复矩阵， 为复数.,七、 可换矩阵及方阵多项式,1、可换矩阵,设 A、B 均为n阶方阵，若 AB = BA ，则称是可换的。,例 9 设,若矩阵 A与 B 可交换，求 a ,b 的值 。,解 由于 AB = BA ，即,故 a = 8 , b = 6 。,例10 设,求与 A 可交换的所有矩阵。,解 设,于是,从而 x2 = 2x2 , x3 = 3x3 , 2y1 = y1 , 2y3 = 3y3 , 3z1 = z1 , 3z2 = 2z2 ,即 x2 = x3 = y1 = y3 = z1 = z2= 0 ,所以，与可交换的任一矩阵是,其中 a ，b，c 为任意实数。,2、方阵多项式,设有 n 阶矩阵 A 和多项式 f ( ) = amm + am-1m-1 + + a1 + a0规定 f ( A ) = am Am + am-1 Am-1 + + a1A + a0称 f ( A ) 为方阵 A 的矩阵多项式。,例11 设有多项式 f () = 2 3 + 2和矩阵,求矩阵多项式 f (A) 。,解 因为,则,f (A) = A2 3A + 2E,练习：,1.计算下列矩阵的乘积.,2.,第七讲,3.逆矩阵,一.逆矩阵,定义8. 设 A 为 n 阶方阵，如果有一个 n 阶方阵 B，使 AB = BA = E,则称矩阵 A 是可逆的，并把矩阵 B 称为 A 的逆矩阵.A的逆记之为A-1.,二. 逆矩阵是唯一的.,证明：设 B 和 C 都是 A 的逆矩阵，则 B = BE = B (AC ) = ( BA ) C = EC = C,所以A的逆矩阵是唯一的.,三. 逆矩阵的有关定理,定理1. 方阵 A 可逆的充分必要条件是 |A| 0 ,且,其中,称为 A 的伴随矩阵. A*中元素是A 的所有元素的代数余子式.,证明：,必要性: 因为A可逆，则有 ,使,充分性: 由于,同理,所以,因为,所以,由定义，知,推论：若 AB = E (或 BA = E），,证明：,故,因而,存在，于是,运算律,1）若A可逆，则 亦可逆，且,2）若A可逆，数 ，则A可逆，且,3）若 A,B 为同阶的可逆矩阵，则 AB 也可逆，且,证明：,由推论，即有,( AB )( B-1A-1 ) = A( BB-1 ) A-1,4) 若A可逆，则 也可逆，,证明：,所以,注1：当 |A| 0 时，k为正整数，为整数，有,A为可逆矩阵，也称为非奇异矩阵，,A为不可逆矩阵，也称为奇异矩阵.,4 ) ( A ) = A,四. 逆矩阵的应用,例1. 解矩阵方程,解：设,则上式变成:,AXB = C,例2. 设,求（ E + B ）1,解: 由,即 ( E + A )( E + B ) = 2E,例3. 设 A，B 均为 n 阶方矩阵， 若 EAB 可逆，则 EBA 也可 逆，并求:,证明：AABA = AABA ( EAB ) A= A( EBA )所以,又因为,E = E BA + BA,所以 EBA 可逆,且,= E B ( E AB )-1A ( E BA ),五、几个常用的公式,1) AA* = A*A = |A|E2) A* = |A|A-13) |A-1| = |A|-1 |A| = n|A|5) (A)-1 = -1A-1,例4 若 |A| 0, 试证（1） |A*| =|A|n-1;（2）(A*)-1= (A-1)*(3) (A*)T = (AT )*;（4）(A*)* = |A|n-2A;（5）(kA)* = kn-1A*。,证 （1） |A*| =,(2) (A*)-1=,(3) (A*)T =,|A|A-1| =,|A|n|A-1| =,|A|n-1;,(|A|A-1)-1 =,|A-1|(A-1)-1 =,(A-1)*;,( |A|A-1)T =,|AT|(A-1)T =,|AT|(AT)-1 =,(AT )*,(A*)* =,|A*|(A*)-1,= |A|n-1(|A|A-1)-1,= |A|n-2A,(5) (kA)* = |kA|(kA)-1,= kn|A|k-1A-1,= kn-1|A|A-1,= kn-1A*,例5 设矩阵 A、B 满足,A*BA = 2BA 8E, 其中,求B。,解 由于|A|0，所以A可逆，在,A*BA = 2BA 8E,的两边分别左乘A，右乘A-1得,|A|B = 2AB 8E,即 2AB + 2B 8E,从而有,AB + B 4E,故,B = 4 ( A + E )-1,作业:,1.解矩阵方程,2.设方阵A满足,证明 A 及 A + 2E 都可逆,并求 A-1 及 ( A +2E )-1,3.设,AB = A + 2B ,求 B.,4.分块矩阵,第 八 讲,一、分块矩阵的定义,把一个阶数较高的矩阵,用若干条横线和竖线分成若干小块 , 每一小块都叫做矩阵的子块 ,以子块为元素的矩阵称为分块矩阵.,例如：将34矩阵,分块形式如下：,二、分块矩阵的运算 1、分块矩阵的加法： 同型矩阵,分法相同,对应子块相加. 设 A 和 B 均为 mn矩阵,分法下:,其运算律与矩阵的加法相同.,2.分块矩阵的数乘,设分块矩阵,为数，那末,其运算律与数乘矩阵相同.,3.分块矩阵的乘法.,设A为 ml 矩阵，B为ln矩阵，分块成,其中,例1.设,求AB.,解：把A,B分块成,所以,AB,其中,于是,4.分块矩阵的转置,设分块矩阵,则,5.分块对角矩阵（准对角矩阵）.,设,其中,显然,若,则, 所以,例2. 设,解：,所以,例3