数学物理问题中的泛函极值.doc

孙 海 滨(泰山学院 物理与电子科学系 ,山东 泰安 271021) 摘 要 变分法在数学物理问题中有着广泛的应用 . 把一个数学物理定解问题和一个变分问题联系起来 ,使之成为泛函的极值问题 ,使原来需要求解的方程是某一泛函的欧拉 拉格朗日方程 . 很多物理规律都可 以利用泛函极值的方法进行求解. 关键词 泛函 ;变分 ;泛函极值 ;数学物理问题 中图分类号 O411. 1 文献标识码 A 文章编号 1672 - 2590 (2005) 03 - 0058 - 04变分法研究的主要对象是泛函 ,它是在数学物理问题中有着广泛应用的数学物理方法1 . 变分法在物理学中的应用 ,主要有以下几个方面. 第一 ,变分原理作为基本物理规律的描述语言. 物理学中支配物 质运动的各种形式的基本规律 ,都可以表述为各自的泛函极值问题 ,由此可以实现物质世界运动的统 一 . 第二 ,数学物理定解问题都可以转化为变分问题 ,从而实现数学的统一化. 第三 ,变分法是解决数学 物理定解问题常用的近似解法.1泛函极值与欧拉 拉格朗日方程泛函的形式有多种多样 ,我们常常采取用积分2I y ( x) =b F ( x , y , y ) dx(1)a定义的泛函. 积分是在所讨论区域内通过两点 ( x1 , y1 ) 和 ( x2 , y2 ) 的任意曲线进行的 ,其中 x1 = a ,x2 = b , a 、b 为常数 ,y ( a) = 0 ,y ( b) = 0 ; y ( x) 是 x 的具有连续二阶导数的变量函数 , F 是 x 、y 、y 的已 知函数 ,在定义域内具有二阶连续偏导数 .如果变量函数是二元函数 u ( x , y) ,则泛函为 3 I u ( x , y) = F ( x , y , ux , uy ) dxdy(2)s泛函 (1) 的一级变分b 5 F y + 5 F (y)I y ( x) =(3) dxa5 y 5 y二级变分222b 5 F 2 5 F 5 F22 I y ( x) =a 5 y2 (y) + 2 5 y5 y y(y)+ 5 y 2 (y ) dx(4)泛函 I y 取极值的必要条件是泛函的一级变分为零 ,即I y ( x) =b 5 F y + 5 F (y) dx = 0(5)a5 y 5 y对 (5) 式右边积分的第二部分进行分部积分 ,得到 收稿日期 2004 08 26 作者简介 孙海滨 (1974 - ) ,男 ,山东泰安人 ,泰山学院物理系讲师 ,硕士.I y ( x) = b 5 Fy + 5 F (y) dx = 5 Fy| b + b y 5 F - yd 5 F dxa5 y5 y5 ya a5 ydx 5 y= b 5 F -5 F ydx = 0d(6)a5 ydx 5 y因为变分 y 是任意的 ,所以由方程 (6) 得到5 F d 5 F5 y - dx 5 y= 0(7)这个方程称为欧拉 拉格朗日方程 ,是泛函 I y 取极值的必要条件的微分形式.泛函的极值一般比较复杂 ,因为它与泛函包括的自变量个数 ,未知函数的个数以及其函数的导数的 阶数 ,约束条件等有关. 如果要讨论泛函取极值的充分条件 ,则要考虑二级变分的正负 . 在数学物理定解 问题中 ,泛函往往具有明确的物理意义 ,极值是肯定存在的 ,所以不用考虑二级变分 ,只要解出欧拉 拉格朗日方程 ,就可以求得泛函的极值. 通常在数学物理问题中求泛函极值时 ,多为固定边界条件或固定端点 ,即有 y ( a) = 0 ,y ( b) = 0 ;对于自由边界条件 ,则有 ,5 F|= 0 ,5 F|= 0.5 yx = a5 yx = b2数学物理问题中的泛函极值数学物理问题中运用泛函往往采用如下的思路 :把一个数学物理定解问题或者微分方程的本征值问题与一个变分问题联系起来 ,使之成为泛函的极值问题 ,使原来需要求解的方程是某一泛函的欧拉 拉格朗日方程.2. 1有心力场中的泛函极值与机械能守恒现有一力学体系在有心力场中沿路径 q = q ( t) 由点 q = q ( t1 ) 运动到点 q = q ( t2 ) ,讨论力学体系可能的运动路径.我们取 F ( x , x , t) = L ( q , q , t) ,其中 q 和 q 是描写系统运动的广义坐标和广义速度 , L 称为拉格朗日函数. L = T - V , T 是体系的动能 , T = T ( q , q , t ) ; V 是体系的势能 , V = V ( q) ,仅仅是广义坐标 q的函数. 则由 (1) 式可以得到泛函 S = t2 L ( q , q , t) dt , S 称为哈密顿作用函数.t1由 (3) 式可知 ,当 S = t2 L ( q , q , t) dt = 0 时 ,体系的可能运动路径取极值 : 在一切可能运动中 ,t1真实运动的哈密顿函数具有稳定值 ,即由力学规律所决定的路径作用量 S 取极值. 所以有S = t2 5L q - 5L (q) dt = 0(8)t15 q5 q和5 L d 5 L(9)5 q - dt 5 q= 0分别为哈密顿作用函数 S 取极值的积分形式和微分形式.若 L 不显含时间 t , L = L ( q , q ) ,则5L = 0. 所以 , d L - q5L =5L dL -d q5 t5 qdt 5 qdtdt= 5L + q 5L + q- q- q d ( 5 L ) = q 5 L -5 L5Ld ( 5L ) (10)5 t5 q5 q5 qdt 5 q5 qdt 5 q5L =5L将 (9) 式代入 (10) 式 ,得到 d L - q(11)0 ,所以 q- L = 常数 C15 q5 qdt5LL = q 5 ( T - V ) -L = q 5 T - L = 常数 C(12)即 q-15 q5 q5 q因为动能 T 是广义速度 q 的二次齐函数 ,由欧拉齐次函数定理 4 ,得到S 5 T(13) q = 1= 2 T5 q 由 (9) 式得到5 L d 5 L5 ( T - V ) d 5 ( T - V )5 V d 5 T5 V d( mx ) = 0dt5 x - dt 5 x=-= -5 x - dt 5 x= -5 x -5 x5 xdt所以 , - 5 V = d ( mx ) ,又 F = - 5 V ,所以 , F = d ( mx ) = mx ,即为牛顿第二运动定律.5 xdt5 xdt2. 2麦克斯韦电磁场方程组对于电场强度为 ,磁场强度为 的电磁场 ,在存在电荷密度 与电流密度 的情况下 ,引进拉格EBj朗日密度函数 5 L = 1 ( 1 2 - 2 ) + -(14)jA2 BE5 其中 ,通过 = A , = - A -A 引进电磁场的矢势 和电磁场的标势 ,并有BAEA5 t 5 L 1 5 L H = 5 = B , D = - 5 = E . 则由 (2) 式得到BE L dxdt = 1 ( 1 2 - 2 ) + - dxdtj A BE2= 1 - - + dxdt B BE E j A= - - + dxdtH B D E j A5 = ( A ) - ( - A -A ) - + dxdtHA Dj A5 t5 ( )A= ( A ) + A () + + dxdt(15)-HADjA5 t又H ( A A ) = A ( A H ) = A ( A H )D ( A ) = A () D -() ( A D )5 5 5DD 5 t ( ) = 5 t ( ) - ADAA5 t将以上三式代入 (15) 式 ,并考虑泛函极值的必要条件 L dxdt = 0 ,得到5 - ( A ) () + dxdt + 5 ( ) dxdt + L dxdt = ( A -D ) -HAjADDA5 t5 t A () dxdt = 0(16)D在电磁场固定边界的条件下 , | 边界 = 0 , | 边界 = 0 ,可知 ( 16) 式左边的第二项积分和第三项积A分为零. 由此 ,得到5 D =A -(17)Hj5 tA =(18)D利用矢量运算的恒等式 A A = 0 和 A A = 0 ,并考虑电磁场的矢势 和电磁场的标势AA5 ( A )5 AB的引入 ,得到 - A A = A += A += 0 和 A = A A= 0 即EEBA5 t5 t5 BA += 0(19)E5 tA = 0(20)B方程 (17) 、(18) 、(19) 、(20) 即为电磁场的麦克斯韦方程组 .2. 3光学问题中的最短光程费马原理告诉我们 :光线在 A 、B 两点间传播的实际路径 ,与其他可能的临近路程相比 ,其光程为极值 ,即光线的实际路径上光程的变分为零 (如图所示) .b ndl = 0(21)a其中 n 为介质的光折射率 , dl 为沿光线进行方向的几何路程 .上述光学问题可以表示为如下泛函的极值问题.( dx) 2 + ( dy) 2 = b n ( y)1 + y 2 dxI y ( x) =b n ( y)(22)aa1 + y 2 ,不显含 x ,利用公式 (11) ,可以得到因为 L ( x , y , y ) = n ( y)2y 5 L n ( y) 2- L = n ( y)- n ( y)1 + y= -= 常数 (23)y 5 y1 + y 21 + y 2由图可知 , y = dy = ctg,则 ,1= sin,所以 ( 23) 式变为n ( y ) sin= 常数 ,也就是说 , n ( y )dx1 + y 2sin沿着光传播的路径是一个常数. 当光线从一种介质传播到另一种介质中时 ,就得到光的折射定律 :n1 sin1 = n2 sin2 . 公式 (23) 就是光线传播的微分方程 ,经过积分就可以得到介质中光传播的轨迹方程.以上仅仅就几种物理问题进行了讨论 ,实际上 ,差不多一切自然定律都能用求泛函极值的方法予以表达 ,即对于不同的物理现象 ,我们选择适当的函数 F ( x , x , t) ,则变分 I = b Fdt = 0 给出该物理现a象的表述 ,相应的欧拉 拉格朗日方程给出相应自然定律的表述. 参考文献 12345邵惠民. 数学物理方法M. 北京 :科学出版社 ,2004 . 426 .胡嗣柱 ,倪光炯. 数学物理方法 ( 第二版) M. 北京 :高等教育出版社 ,2002 . 336 - 337 .吴崇试. 数学物理方法M. 北京 :北京大学出版社 ,1999 . 552 .周衍柏. 理论力学M. 北京 :高等教育出版社 ,1986 . 289 .金尚年 ,马永利. 理论力学M. 北京 :高等教育出版社 ,2002 . 277 - 278 .The extremum of f unction in mathematical physicsSUN Hai - bin(Department of Physics and Electronics Science ,Taishan University ,Taian 271021 ,China)Abstract :Variation calculus has been w