递推法解排列、组合及概率问题.doc

递推法解排列、组合及概率问题刘东林（广东省普宁市第二中学数学组 515300）排列组合在高中数学旧教材中是相对独立的内容，而在高中数学新教材中排列组合是概率及统计的基础，因此，排列组合内容在高中数学新教材中的位置也变得相对重要起来了。而概率是新教材中新增加的内容，也是初等概率论中最基本的内容。在历年的高考中，排列组合知识多是选择题或填空题，概率一般是一个解答题，这些题的题型繁多，解法独特，因此得分率普遍较低。本文试图用递推法来解决几类常见的排列组合及概率问题。1走楼梯问题例1：欲登上第10级楼梯，如果规定每步只能跨上一级或两级，则不同的走法共有( )（A）34种（B）55种（C）89种（D）144种解法1：分类法：第一类：没有一步两级，则只有一种走法；第二类：恰有一步是一步两级，则走完10级要走9步，9步中选一步是一步两级的，有种可能走法；第三类：恰有两步是一步两级，则走完10级要走8步，8步中选两步是一步两级的，有种可能走法；依此类推，共有=89，故选(C)。解法2：递推法：设走级有种走法，这些走法可按第一步来分类，第一类：第一步是一步一级，则余下的级有种走法；第二类：第一步是一步两级，则余下的级有种走法，所以，又易得，由递推可得，故选(C)。显然，递推法的关键是按照某种标准找出递推关系式，并求出取第一个值(或前几个值)时的各项，然后代入递推关系式，求出题中要求的值。当然，我们也可以由找出的递推关系，求出通项，但对于选择填空题，我们不必大动干戈的去求通项，因为这样太浪费时间与精力。2更列问题把个元素排成一列，所有元素各有一个不能占据的指定位置，且不同元素不能占据的指定位置也不同，我们把满足这种条件的一个排列叫做这些元素的一个更列。例2：五个人排成一列，重新站队时，各人都不站在原来的位置上，那么不同的站队方式共有( ) （A）60种（B）44种（C）36种（D）24种解：首先我们把人数推广到个人，即个人排成一列，重新站队时，各人都不站在原来的位置上。设满足这样的站队方式有种，现在我们来通过合理分步，恰当分类找出递推关系：第一步：第一个人不站在原来的第一个位置，有种站法。第二步：假设第一个人站在第2个位置，则第二个人的站法又可以分为两类：第一类，第二个人恰好站在第一个位置，则余下的个人有种站队方式；第二类，第二个人不站在第一个位置，则就是第二个人不站在第一个位置，第三个人不站在第三个位置，第四个人不站在第四个位置，第个人不站在第个位置，所以有种站队方式。由分步计数原理和分类计数原理，我们便得到了数列的递推关系式：，显然，再由递推关系有，故应选(B)我们再来看一道全国高考题：例3：同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式共有( ) (1993年全国高考试题)（A）6种（B）9种（C）11种（D）23种此题就是更列问题，即为例2中的，故选（B）3染色问题例4：用4种不同颜色涂四边形的4个顶点，要求每点染一种颜色，相邻的顶点染不同的颜色，则不同的染色方法有( ) （A）84种（B）72种（C）48种（D）24种解：我们先把这个题目推广：用种不同颜色给边形的个顶点染色(其中，且为常数)，每点染一种颜色，相邻的顶点染不同的颜色，不同的染色方法有多少种？设不同的染色方法有种，现在我们来通过合理分布，恰当分类找出递推关系：第一步：染，有种染法；第二步：染，有种染法；同理，染均有种染法，最后染，如果仅考虑与不同色，则仍有种染法，相乘得种染法，但要去掉与同色的染法数，此时可将与合并看成一个点，得出需要排除的染法数为，所以有，显然，。又本题中，颜色数，所以递推关系为：，又，所以（种），故选（A）。用这种方法，不难求出下面两道2003年的高考题：例5：如图1，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种。（以数字作答）(2003年全国高考试题)例6：某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分成6个部分(如图2)，现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法共有 种。（以数字作答）(2003年天津理科高考试题)1345图12123456图2我们来看例5，其中2、3、4、5四个区域围成一个四边形，因此可以把它们看成是一个四边形的4个顶点，而区域1就是这个四边形对角线的交点。第一步，先涂区域1，有4种涂法，由于区域1跟其余四个区域都相邻，因此涂1的颜色不能用来涂其余的四个区域，因此第二步相当于用3种颜色来涂一个四边形的四个顶点，由例4不难得出，所以，由分步计数原理，得出共有种涂法。同理，不难得出例6的答案为120种。4传球问题例7：甲、乙、丙、丁四人相互传球，第一次甲传给乙、丙、丁中的任一人，第二次由拿球者再传给其他人中任一人，这样共传了四次，则第四次球仍传回到甲的方法共有( )（A）21种（B）42（C）24（D）27解：先把这个题目进行推广：个人相互进行次传球，由甲先传，第一次甲传给其他个人中的任一人，第二次由拿球者再传给其他人中任一人，这样经过次传球，最后球仍回到甲手中的传球方法有多少种？(这里为常数)设不同的传球方法共有种，现在我们来通过合理分步，恰当分类找出递推关系：第一步进行第一次传球：甲传给其他人，有种传球方法；第二步进行第二次传球：拿球者把球传给其他人，仍有种传球方法；同理，第三次、第四次、第次传球都有种传球方法，最后进行第次传球，由于只能传给甲，故只有一次传球方法，相乘得种传球方法，但要注意第次传球不能传给甲，否则就不存在第次传球，因此要去掉第次传球，球恰好传给甲的传球方法数，这就是由甲先传，经过次传球后球又回到甲手中的传球方法，显然，这里有种传球方法，所以有递推关系：，又易得，。而在本题中，所以，所以由递推可得，故本题应选（A）最后，我们来用递推法求解一个概率问题。5概率问题例8：A、B二人拿两颗骰子做抛掷游戏，规则如下：若掷出的点数之和为3的倍数时，原掷骰子的人再继续掷；若掷出的点数不是3的倍数时就由对方接着掷，第一次由A开始掷，求第次仍由A掷的概率。解：连续掷两次骰子，点数之和为3的倍数的概率为，不是3的倍数的概率为，又第次由A掷这一事件，包括第次由A掷，第次继续由A掷这一事件以及第次由B掷，第次由A掷这一事件，并且这两个事件是互斥的，而第次由A掷的概率为，由B掷的概率为，所以，又显然，由有，所以，即。现在我们再来看看下面这组练习：（1）袋子里有10个相同的小球，现在把这些球全部摸出来，一次可以摸一个球，也可以摸两个球，则不同的摸法共有多少种？恰好7次摸完的概率为多少？（2）五本不同的书分给五个同学，而每个同学都看过其中的一本书，但没有两个同学看过同一本书，则每个同学分到恰好是他没有看过的书概率为多少？恰有一个同学分到他看过的书的概论为多少？（3）有一堆大小相同的小球，里面有红色、黄色、白色，并且每种颜色的球至少都有3个，现从中任取6个球排成一圈，要求任意相邻的两个小球不得同色，则不同的排法有多少种？（4）从集合1，2，3，4中任取5个数（可