三角函数知识点总结及同步练习.doc

沿途教育 必修四第一章三角函数 1.1任意角与弧度制一、任意角和弧度制1、角的概念的推广定义：一条射线OA由原来的位置，绕着它的端点O按一定的方向旋转到另一位置OB，就形成了角，记作：角或 可以简记成。注意：（1）“旋转”形成角，突出“旋转” （2）“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于轴正半轴 （3）“正角”与“负角”这是由旋转的方向所决定的。2、角的分类： 由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。可以将角分为正角、零角和负角。正角：按照逆时针方向转定的角。零角：没有发生任何旋转的角。负角：按照顺时针方向旋转的角。3、“象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于轴的正半轴。角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。4、常用的角的集合表示方法、终边相同的角：（1）终边相同的角都可以表示成一个0到360的角与个周角的和。（2）所有与a终边相同的角连同a在内可以构成一个集合 即：任何一个与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整数个周角的和注意：1、 2、是任意角 3、终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同。终边相同的角有无数个，它们相差360的整数倍。4、一般的，终边相同的角的表达形式不唯一。、终边在坐标轴上的点：终边在x轴上的角的集合： 终边在y轴上的角的集合：终边在坐标轴上的角的集合： 、终边共线且反向的角：终边在y=x轴上的角的集合： 终边在轴上的角的集合：、终边互相对称的角：若角与角的终边关于x轴对称，则角与角的关系：若角与角的终边关于y轴对称，则角与角的关系：若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：二、弧度与弧度制、弧度与弧度制：弧度制另一种度量角的单位制， 它的单位是rad 读作弧度定义：长度等于 的弧所对的圆心角称为1弧度的角。orC2rad1radrl=2roAAB 如图：AOB=1rad ，AOC=2rad ， 周角=2prad 注意：1、正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是02、角a的弧度数的绝对值 （为弧长，为半径）3、用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0） 用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。4、在同一个式子中角度、弧度不可以混用。、角度制与弧度制的换算弧度定义：对应弧长等于半径所对应的圆心角大小叫一弧度 角度与弧度的互换关系： 360= rad 180= rad 1= 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.三、弧长公式和扇形面积公式 ； 1.2 任意角的三角函数一、三角函数定义如图,设锐角的顶点与原点重合,始边与轴的正半轴重合,那么它的终边在第一象限.在的终边上任取一点,它与原点的距离)。（1）比值叫做的正弦，记作，即；（2）比值叫做的余弦，记作，即；（3）比值叫做的正切，记作，即；（4）比值叫做的余切，记作，即；（5）比值叫做的正割，记作，即；（6）比值叫做的余割，记作，即二、三角函数的定义域、值域的始边与轴的非负半轴重合，的终边没有表明一定是正角或负角，以及的大小，只表明与的终边相同的角所在的位置； 根据相似三角形的知识，对于确定的角，六个比值不以点在的终边上的位置的改变而改变大小；当时，的终边在轴上，终边上任意一点的横坐标都等于，所以与无意义；同理，当时，与无意义；除以上两种情况外，对于确定的值，比值、分别是一个确定的实数，所以正弦、余弦、正切、余切、正割、余割是以角为自变量，一比值为函数值的函数，以上六种函数统称为三角函数。三角函数的定义域、值域函 数定 义 域值 域三三角函数的符号由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：正弦值对于第一、二象限为正（），对于第三、四象限为负（）；余弦值对于第一、四象限为正（），对于第二、三象限为负（）；正切值对于第一、三象限为正（同号），对于第二、四象限为负（异号）说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。为正 全正为正 为正四、诱导公式1、由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同。即有：，其中，这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为02间角的三角函数值问题2、三角函数诱导公式（）的本质是：奇变偶不变（对而言，指取奇数或偶数），符号看象限（看原函数，同时可把看成是锐角）.诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：（1）负角变正角，再写成2k+,；(2)转化为锐角三角函数五、三角函数线的定义：（）（）（）（）设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点，过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点.由四个图看出：当角的终边不在坐标轴上时，有向线段，于是有， ，我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段；余弦线在轴上；正切线在过单位圆与轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与的终边的交点。三条有向线段的正负：三条有向线段凡与轴或轴同向的为正值，与轴或轴反向的为负值。三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。注：（1）三角函数线的特征是：正弦线MP“站在轴上(起点在轴上)”、余弦线OM“躺在轴上(起点是原点)”、正切线AT“站在点处(起点是)”.（2）三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。六、同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系：（2）倒数关系：sincsc=1,cossec=1,tancot=1,（3）商数关系：同角三角函数的基本关系式的主要应用是，已知一个角的三角函数值，求此角的其它三角函数值。在运用平方关系解题时，要根据已知角的范围和三角函数的取值，尽可能地压缩角的范围，以便进行定号；在具体求三角函数值时，一般不需用同角三角函数的基本关系式，而是先根据角的范围确定三角函数值的符号，再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。1.3三角函数的诱导公式知识点1：诱导公式（二）sin（180+）=sin cos（180+）=costg（180+）=tg（2）结构特征：函数名不变，符号看象限（把看作锐角时）把求（180+）的三角函数值转化为求的三角函数值。知识点2：诱导公式（三）sin（）=sin cos（）=costg（）=tg结构特征：函数名不变，符号看象限（把看作锐角）把求（）的三角函数值转化为求的三角函数值知识点3：诱导公式（四）Sin()SinCos()cosTen()tan知识点4：诱导公式（五） 知识点5：诱导公式（六）1.4三角函数的图像与性质一、正弦函数余弦函数的图象（1）函数y=sinx的图象第一步：在直角坐标系的x轴上任取一点，以为圆心作单位圆，从这个圆与x轴的交点A起把圆分成n(这里n=12)等份.把x轴上从0到2这一段分成n(这里n=12)等份.（预备：取自变量x值弧度制下角与实数的对应）.第二步：在单位圆中画出对应于角，,，2的正弦线正弦线（等价于“列表” ）.把角x的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点” ）. 第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx，x0，2的图象根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2，就得到y=sinx，xR的图象.把角x的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx的图象. （2）余弦函数y=cosx的图象用几何法作余弦函数的图象，可以用“反射法”将角x的余弦线“竖立”把坐标轴向下平移，过作与x轴的正半轴成角的直线，又过余弦线A的终点A作x轴的垂线，它与前面所作的直线交于A，那么A与AA长度相等且方向同时为正，我们就把余弦线A“竖立”起来成为AA，用同样的方法，将其它的余弦线也都“竖立”起来再将它们平移，使起点与x轴上相应的点x重合，则终点就是余弦函数图象上的点 也可以用“旋转法”把角 的余弦线“竖立”（把角x 的余弦线O1M按逆时针方向旋转到O1M1位置，则O1M1与O1M长度相等，方向相同.）根据诱导公式,还可以把正弦函数x=sinx的图象向左平移单位即得余弦函数y=cosx的图象.（1） 正切函数y=tanx的图像：二、五点法作图用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx，x0，2的图象中，五个关键点是：(0,0) (,1) (p,0) (,-1) (2p,0)余弦函数y=cosx x0,2p的五个点关键是(0,1) (,0) (p,-1) (,0) (2p,1)只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了因此在精确度不太高时，常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图，要求熟练掌握三、奇偶性 请同学们观察正、余弦函数的图形，说出函数图象有怎样的对称性？其特点是什么？(1)余弦函数当自变量取一对相反数时，函数y取同一值。例如：f(-)=,f()= ,即f(-)=f()；由于cos(x)=cosx f(-x)= f(x). 以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y）是函数y=cosx的图象上的任一点,那么,与它关于y轴的对称点(-x,y)也在函数y=cosx的图象上，这时，我们说函数y=cosx是偶函数。定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)= f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。例如：函数f(x)=x2+1, f(x)=x4-2等都是偶函数。(2)正弦函数观察函数y=sinx的图象，当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系？这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？函数的图象关于原点对称。也就是说，如果点（x,y）是函数y=sinx的图象上任一点，那么与它关于原点对称的点（-x,-y）也在函数y=sinx的图象上，这时，我们说函数y=sinx是奇函数。定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 f(x)=f(x) ，那么函数f(x)就叫做奇函数。例如：函数y=x, y= 都是奇函数。如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性。注意：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数：（1）其定义域关于原点对称；（2）f(-x)= f(x)或f(-x)=- f(x)必有一成立。因此，判断某一函数的奇偶性时。首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算f(-x)，看是等于f(x)还是等于- f(x)，然后下结论；若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性。四、.单调性从ysinx，x的图象上可看出：当x，时，曲线逐渐上升，sinx的值由1增大到1.当x，时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到1.结合上述周期性可知：正弦函数在每一个闭区间2k，2k(kZ)上都是增函数，其值从1增大到1；在每一个闭区间2k，2k(kZ)上都是减函数，其值从1减小到1.余弦函数在每一个闭区间(2k1)，2k(kZ)上都是增函数，其值从1增加到1；在每一个闭区间2k，(2k1)(kZ)上都是减函数，其值从1减小到1.有关对称轴：观察正、余弦函数的图形，可知y=sinx的对称轴为x= kZ,y=cosx的对称轴为x= kZ15、 正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：函数性质 图象定义域值域最值当时，；当 时，当时， ；当时，既无最大值也无最小值周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在上是增函数；在上是减函数在上是增函数；在上是减函数在上是增函数对称性对称中心对称轴对称中心对称轴对称中心无对称轴1.5函数的图象 一、相关定义 函数的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象举例说明：1、函数的图象可以看作是把的图象上所有的点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)而得到的。2. 的图象,可以看作是把函数的图象上所有的点的横坐标缩短(当时)或伸长(当时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到的二、函数的性质： 振幅：； 周期：； 频率：； 相位：； 初相： 函数，当时，取得最小值为 ；当时，取得最大值为，则， 练习1.1任意角与弧度制1、若，求和的范围。2、（1）时针走过2小时40分，则分针转过的角度是 （2）将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是 3、30 ；390 ；-330是第 象限角 300 ； -60是第 象限角585 ； 1180是第 象限角 -2000是第 象限角。4、（1）A=小于90的角，B=第一象限的角，则AB= （填序号）.小于90的角 090的角 第一象限的角 以上都不对 （2）已知A=第一象限角，B=锐角，C=小于90的角，那么A、B、C关系是（B）AB=AC BBC=C CAC DA=B=C5、写出各个象限角的集合：6、（1）若角的终边与角的终边相同，则在上终边与的角终边相同的角为 （2）若是终边相同的角。那么在 7、求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角：（1）； （2）8、求，使与角的终边相同，且9、若，则角与角的中变得位置关系是（ ）。 A.重合 B.关于原点对称 C.关于x轴对称 D.有关于y轴对称10、将下列各角化成0到的角加上的形式（1） （2）11、设集合, ,求,. 12、 把化成弧度 13、 把化成度 14、将下列各角从弧度化成角度 （1） rad （2）2.1 rad （3） 15、已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的中心角的弧度数是 .16、若两个角的差为1弧度，它们的和为，求这连个角的大小分别为 。17、 直径为20cm的圆中，求下列各圆心所对的弧长 18、（1）一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇形的面积是多少？（2）一扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？19、 若是第二象限的角，试分别确定2, 的终边所在位置.20、已知是第三象限角，问是哪个象限的角？1.2任意角的三角函数1、已知角的终边过点，求的六个三角函数值。2已知角的终边经过点P(x，-)(x0)且cos，求sin、cos、tan的值3、已知，化简：4、若sincos0,则在 ( ) A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第一、四象限 D.第二、四象限5、已知且，（1）求角的集合；（2）求角终边所在的象限；（3）试判断的符号。6、求下列函数的定义域（1） （2）7、填空：（1）的值为_（2）已知，则_，若为第二象限角，则_。8、确定下列三角函数值的符号： （1） （2） （3） （4）9、求下列各式的值 1. 2. 10、.利用三角函数线比较下列各组数的大小：1 与 2 tan与tan 3 cot与cot11、 （1）若，则的大小关系为_ （2）若为锐角，则的大小关系为 _ （3）函数的定义域是_ _12、利用单位圆写出符合下列条件的角的范围。（1）； （2）； ， （3）且；13、填空：（1）函数的值的符号为_（答：大于0）；（2）若，则使成立的的取值范围是_（3）已知，则_（4）已知，则_；_（5）已知，则的值为_14、已知，则等于A、B、C、D、1.3三角函数的诱导公式1.已知角的终边经过P(3a，-4a)(a0)，求角的正弦、余弦、正切、余切函数值2. 设角终边上的一点P的坐标是(x，y)，P点到原点的距离是r(1)已知r，求P点的坐标；(2)已知，y，求r；(3)已知，x，求y3.已知|cos|sin|，求的取值范围4.化简下列各式：(1)sin(-)sec(-+4)tg(-3)+tg2(3-)csc2(2+)5.下列四个命题中可能成立的一个是（ ）A、 B、 C、 D、是第二象限时，6.若，且是第二象限角，则的值为（）A、 B、 C、 D、7.化简的结果是（ ）A、 B、 C、 D、8.若，则等于（ ）A、1 B、2 C、-1 D、-29.的值为（）A、 B、 C、 D、10、求下列三角函数的值(1) sin240；(2)；(3) cos(-252)；(4) sin（-）11、求下列三角函数的值(1)sin(-11945)；(2)cos；(3)cos(-150)；(4)sin12、求值：（1）sincossin（2）sin(-1200)cos1290+cos(-1020)sin(-1050)+tan8551.4三角函数的图像1、已知函数的图象恒过点，则可以是（ ） A、- B、 C、 D、2函数ysin2xcos2x的最小正周期是 ( )A. 2 B. 4 c. D. 3.设，对于函数，下列结论正确的是（ ）A有最大值而无最小值 B有最小值而无最大值C有最大值且有最小值 D既无最大值又无最小值4.已知函数（、为常数，）在处取得最小值，则函数是（）A偶函数且它的图象关于点对称 B偶函数且它的图象关于点对称C奇函数且它的图象关于点对称 D奇函数且它的图象关于点对称6244图4-4-15、函数的部分图像如图4-4-1所示，则函数表达式为（ ）A BC D 6、要得到的图象，只需将函数的图象上所有的点的（ ）A横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）,再向左平行移动个单位长度B横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度C横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度D横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度图4-4-27、如图4-4-2所示，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin（x）B（1）求这段时间的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式.8、函数 的图象如图所示,求其一个解析式. 9、画出下列函数的简图：（1） y1sinx ，0，（2）cosx ，0，10、（1）化简： （2）已知非零常数满足，求的值； （3）已知求值：（1）；（2）11、求下列函数的周期：（1）； （2）；（3）； （4）； （5）12、用图象求函数的定义域。1,.5函数的图象单选题 1、把函数的图象向右平移个单位,所得的图象正好关于y轴对称,则的最小正值为 ( )A、 B、 C、 D、2、函数的最小正周期是 （）A、 B、C、D、3、函数与函数的周期之和为，则正实数的值为( )A、 B、 C、 D、4、右图实际函数在区间上的图像为了得到这个函数的图像,只要将的图像上所有的点( )A、向左平移个单位长度,再把所得点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变B、向左平移个单位长度,再把所得点的横坐标伸长到原来的倍,纵坐标不变C、向左平移个单位长度,再把所得点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变D、向左平移个单位长度,再把所得点的横坐标伸长到原来的倍,纵坐标不5、函数的最小正周期是（）A、 B、 C、 D、6、已知0，函数在上单调递减则的取值范围是（）A、 B、 C、 D、（0，27、在内使成立的的取值范围是（）A、 B、C、D、8、函数的最小值等于 ( )A、-3 B、-2 C、-1 D、9、将函数，的图象按平移后，得，的图象，则（）A、 B、 C、 D、10、在内，使成立的的取值范围是( )A、 B、 C、 D、11、已知，则函数的值域为（ ）A、 B、 C、 D、12、函数的单调减区间是（ ）A、 B、C、 D、13、若想将函数的图象进行平移,得到函数的图象,下面可行的变换步骤是 ( )A、 向左平移个单位 B、向右平移个单位 B、 C、向左平移个单位 D、向右平移个单位14、将函数的图象向右平移个单位后,其图象的一条对称轴方程为( )A、 B、 C、 D、15、已知，则函数ycos2xk(cosx-1)的最小值是( )A、 1 B、-1 C、 2k1 D、-2k116、函数的图象（ ）A、 关于点对称 B、关于直线对称 B、 C、关于点对称 D、关于直线对称17、函数的最小正周期是，且则()A、 B、 C、 D、18、定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数.若的最小正周期是，且当时，则的值为（）A、 B、 C、 D、19、如图是函数的图象，则其解析式（ ）A、 B、 C、 D、20、若方程cos2+sin2=在上有两个不同的实数解,则参数的取值范围是( )A、 B、 C、 D、1.6三角函数模型的简单应用单选题 （选择一个正确的选项）1、适合关系式的集合是（）A、 B、 C、 D、2.适合关系式，且在内的的个数有（）A、1 B、2 C、3 D、43、知，则角等于（）A、