现实生活中的概率问题.doc

现实生活中的概率潮阳区黄图盛中学 张淑文摘 要：概率是研究随机现象的数量规律的科学，它的理论的方法已成为研究国民经济和技术不可缺少的工具，概率最早起源于对赌博问题的研究。十七世纪就出现了概率论，随着社会的发展，概率论在工农生产、国民经济、现代科学技术等方面具有广泛的应用。这既是近年来我国数学课程改革的成果之一，也是实现教育内容现代化的一个重要举措。高中数学的许多知识与概率有着密切的联系，前面所学的排列、组合等知识在本节中得到了较为充分的应用，同时今后要学习的概率论、数理统计等内容也都以概率初步知识为基础。关 键 词：概率，骗局，抽签，经济效益，相遇问题在概率论与数理统计已获得当今社会的广泛应用、概率已成为日常生活的普通常识的今天，对现实生活中的概率问题进行研究就更显得十分重要，下面略举一些实例加以说明。 一、数学骗局 有一次去外地旅游，在一个旅游点有一个摆地摊的赌主，他拿了8个白的、8个黑的的围棋子，放在一个布袋里，赌主精心绘制了一张中彩表：凡愿摸彩者，每人交一元钱作“手续费”，然后一次从袋里摸出5个棋子，中彩情况如下：摸到5个白棋子的彩金是20元；摸到4个白棋子的彩金是2元；摸到3个白棋子的彩金是纪念品一份(价值5角)；其他的彩金是同乐一次(无任何奖品)。由于本钱较小，许多游客都跃跃欲试，有的竟连摸数十次，结果许多人“乘兴而摸，败兴而归”，据我观察，摸到5个白棋子和得到4个白棋子的很少，大多游客玩了十几元钱后发现自己得到了几个纪念品之外，什么也没得到。这是怎么一回事呢？为何赌主敢于这样设局而不怕亏本呢？我们来研究一下这其中的奥秘，按摸1000次统计，看赌主可净赚多少钱？应用学过的概率知识，不难看出：摸到5个白棋子的概率；摸到4个白棋子的概率；摸到3个白棋子的概率，按照1000次摸彩来计算，赌主手续费的收入为1000元，而他支付的彩金(包括纪念品)是：约13人获得20,128人获得2元，359人获得纪念品，所以共计2013+1282+0.5359=695.5(元)，即每1000次摸彩，赌主可赚300元以上。 二、抽签先后是否公平 生活中，我们有时要用抽签的方法来决定一件事情。例如，我校去年举行庆祝五四诗歌大赛，各班派出10名代表参加，为使人人参与，学校规定全校同学都作准备，赛前由各班用抽签方法决定参赛的人选，很多同学们对抽签之事展开讨论，有的同学说先抽的人抽到的机会比较大，也有同学持不同意见，那么，抽签有先有后(后抽人不知先抽人抽出的结果)，对各人真的公平吗？我们就来研究一下，从概率的方面来说明抽签次序是否影响抽签结果？不失一般性，第一，不妨考察5个签中有一个彩签的情况，对第1个抽签者来说，他从5个签中任抽一个，得到彩签的概率，为了求得第2个抽签者抽到彩签的概率，把前2人抽签的情况作一整体分析，从5个签中先后抽出2个，可以看成从5个元素中抽出2个进行排列，它的种数是，而其中第2人抽到彩签的情况有，因此，第1人未抽到彩签，而第2人抽到彩签的概率为，通过类似的分析，可知第3个抽签的概率为，第4个、第5个分别为，。一般地，如果在n个签中有1个彩签，n个人依次从中各抽1个，且后抽人不知先抽人抽出的结果，那么第i个抽签者(i=1,2,n)抽到彩签的概率为，即每个抽签者抽到彩签的概率都是，也就是说，抽到彩签的概率与抽签的顺序无关。通过对上述简单问题的分析，我们看到在抽签时顺序虽然有先有后，但只要不让后抽人知道先抽人抽出的结果，那么各个抽签者中签的概率是相等的，也就是说，并未因为抽签的顺序不同而影响到其公平性。 三、经济效益 有时从经济效益的角度来考虑，利用概率的知识可使得有些问题变得更简单又经济，省钱又省力。例如：为防止某突发事件发生，在甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发生的概率(记为P)和所需费用如下：预防措施甲乙丙丁P0.90.80.70.6费用(万元)90603010预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施。在总费用不超过120万元的前提下，我们应该采用哪一种预防方案，可使得此突发事件不发生的概率最大？我们现在就来研究在总费用不超过120万元的前提下采用哪一种相对比较好。方案1：单独采用一种预防措施的费用均不超过120万元。由表可知，采用甲措施，可使此突发事件不发生的概率最大，其概率为0.9。方案2：联合采用两种预防措施费用不超过120万元。由表可知，联合甲、丙两种措施，可使此突发事件不发生的概率最大，其概率为1-(1-0.9)(1-0.7)=0.97。方案3：联合采用三种预防措施费用不超过120万元。故只能联合乙、丙、丁三种预防措施，此时，突发事件不发生的概率为：1-(1-0.8)(1-0.7)(1-0.6)=1-0.024=0.976。综合上述三种预防方案可知，在总费用不超过120万元的前提下，联合乙、丙、丁三种预防措施可合突发事件不发生的概率最大，其概率为0.976。 四、相遇问题 一位丈夫和他的妻子要上街购物，他们决定在上午10：00到11：00之间到某一街角的一家商店门口相会，他们约定当其中一人先到后一定要等另一人15分钟，若另一人仍不到则离去。试问这对夫妻能够相遇的概率为多大？假定他们到达约定地点的时间是随机的且都在约定的一小时之内。 问题主要涉及到丈夫和妻子到达商店门口的时间这两个变量，若用x和y表示x-y=-15上午10：00以后丈夫和妻子分别到达约定地点的时间(以分钟计算)，则他们所x-y=15有可能的到达时间都可由有序对(x,y)来表示，其中0x60,0y60,于是样本空间即为图中边长为60的正方形区域。为了使丈夫和妻子相遇，他们到达时间必须在相距15分钟的间隔之内，也就是说满足|x-y|15,此范围表示的区域即为事件A(这对夫妻能够相遇)发生的区域，如图中正方形内两条线段所夹阴影部分所示。因此，%。当然，上面只是海洋中的几朵小小的浪花，只要大家都来做有心人，你会发现它还有很多有意思的例子，例如在军事上，在赌博上等等。由以上几个问题我们可从中领悟到概率论的确如英国的逻辑学家的经济学家杰文斯（Jevons,1835-1882）说的那样，它是“生活真