13. 数列周期性问题的研究

专题：数列周期性问题的研究一、问题提出问题1：（1）已知数列满足：（），证明：数列是周期数列. （2）已知数列满足：，证明：数列是以6为周期的周期数列. 问题2：已知数列满足：，且对任意的正整数都有且，则的值为_. 问题3：已知数列an满足anan1an2(n3，nN*)，它的前n项和为Sn若S96，S105，则a1的值为 _ 1 问题4：已知数列an(nN*)满足a1=1且，则其前2013项的和为 16二、思考探究探究1：已知数列满足，且，其中，若，则实数的最小值为 4 探究2：已知数列an，bn满足bn = an1 - an，其中n = 1，2，3，（1）若a1 = 1，bn = n，求数列an的通项公式；（2）若bn1bn1 = bn (n2)，且b1 = 1，b2 = 2记cn = a6n1(n1)，求证：数列cn为等差数列探究3：已知数列满足（）（1）若，求数列的通项公式；（2）若（），用表示的前项的和；（3）是否存在，使得当时恒为常数？若存在，求出和；若不存在，说明理由. 探究4：已知数列，满足，其中. 若，且.（1）记，求证：数列为等差数列；（2）数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次. 求首项满足的条件. 设，（其中为常数且），所以 所以数列均为以7为公差的等差数列. 设，（其中，为中的一个常数），当时，对任意的有； 当时， 若，则对任意的有，所以数列为单调减数列； 若，则对任意的有，所以数列为单调增数列；综上：设集合，当时，数列中必有某数重复出现无数次.当时， 均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多出现一次，所以数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次. 三、真题链接四、反思提升五、反馈检测1设数列满足，当时，；当时，则 （注：x为不超过实数x的最大整数，记xxx）2. 已知无穷数列中，是首项为，公差为的等差数列；是首项为，公比为的等比数列（其中），并对任意的，均有成立（1）当时，求；（2）若，试求的值；（3）判断是否存在（），使得成立？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由解（1）时，数列的周期为，而是等比数列中的项， 4分（2）设是第一个周期中等比数列中的第项，则，等比数列中至少有项，即，则一个周期中至少有16项最多是第二个周期中的项 7分若是第一个周期中的项，则；若是第二个周期中的项，则不为整数；综上， 10分（3）是此数列的周期，表示64个周期及等差数列的前3项之和最大时，最大 12分，当时，；当时，；当时，29 当时，取得最大值，则取得最大值为 15分由此可知，不存在（），使得成立 16分3. 对于数列xn，如果存在一个正整数m，使得对任意的n(nN*)都有xm+nxn成立，那么就把这样一类数列xn称作周期为m的周期数列，m的最小值称作数列xn的最小正周期，以下简称周期. 例如当xn2时xn是周期为1的周期数列，当ynsin时yn是周期为4的周期数列.（1）设数列an满足an+2an+1an(nN*)，a1a，a2b(a，b不同时为0)，求证：数列an是周期为6的周期数列，并求数列an的前2013项的和S2013；（2）设数列an的前n项和为Sn，且4Sn(an1)2. 若an0，试判断数列an是否为周期数列，并说明理由； 若anan+10，试判断数列an是否为周期数列，并说明理由；（3）设数列an满足an+2an+1an1(nN*)，a12，a23，数列an的前n项和为Sn，试问是否存在p、q，使对任意的nN*都有p(1)nq成立，若存在，求出p、q的取值范围；不存在，说明理由.（1）证明：又，所以是周期为6的周期数列， .所以.解：（2）当时，又得.当时，即或.由有，则为等差数列，即，由于对任意的都有，所以不是周期数列.10分由有，数列为等比数列，即，存在使得对任意都成立，即当时是周期为2的周期数列.（3）假设存在，满足题设.于是又即，所以是周期为6的周期数列，的前6项分别为，则（），当时，当时，当时，当时，所以，为使恒成立，只要，即可，综上，