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数学月刊元月号 明知白 高考创新题型的几种构式数学考试大纲提出：“创新意识和创造能力是理性思维的高层次表现。” 命题时要设计“研究型、探索型或开放型的题目，让考生独立思考，自我探索，发挥主观能动性”。新题型即创新题型。新相对旧而言，即在教材上无例习题，教参上无套路题，往年的考卷无模拟题的一类新型考题。这种题目每年由高考命题组原创设计，按15%左右的比例推出。由于这种题型有较好的信度和效度，从而有较好的区分度，因此倍受人们关注。就近年高考题型的走势来看，高考新题型的结构形式大约有以下的8种。一、情境新颖型试题情境即通过试题为考生营造情感环境。在没有进入深层次的理性思考之前，考生就能感到题目的“不俗”。新的立意，新的背景，新的表述，新的设问都能创设试题的新颖情境。【例1】 计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字09和字母AF共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：十六进制0123456789ABCDEF十进制0123456789101112131415例如，用十六进制表示：E+D=1B，则AB=A.6E B.72 C.5F D.B0【点示】 情境新颖有三：（1）数符新颖，除熟悉的0，1，9这10个数字之外，还有新数字A、B、C、D、E、F. （2）数制新颖，16进制. （3）数意新颖，16进制中的数11，如果说个位数上的1与10进制中的1“数意”相同的话，那么十位数上的1则是另外一种“数意”了；自然，F1这个数在10进制中已经不是两位数了.【解答】 我们用符号x (10) ，y (16) 分别表示10进制和16进制中的数. 依题意，有16(10)=10(16) 则有AB=1011(10) =110(10)=616+14(10)=610+E(16) =6E.答案为A.二、研究学习型研究性学习，是教学上倡导的一种自主学习。教材上安排提供有一些材料，只是作为一种思考和研究问题的要求和引导。虽然研究的目的是明确的，但研究内容却是发散的。高考命题时，可按研究学习的目的和要求，并考虑考生可能达到的研究能力，设计一些有关新内容的研究学习型新题。【例2】 相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有 （A）1个 （B）2个（C）3个 （D）无穷多个【点示】 研究有三：（1）正方体内接几何体的空间模型；（2）截面图形；（3）新课标要求的三视图.【解答】 法一：本题可以转化为一个正方形可以有多少个内接正方形，显然有无穷多个.法二：通过计算，显然两个正四棱锥的高均为，考查放入正方体后，面ABCD所在的截面，显然其面积是不固定的，取值范围是，所以该几何体的体积取值范围是 答案为D.三、开放探究型“开放”相对于“封闭”而言。传统数学题目多属封闭型。如一种明确的条件，一种确定的结论，甚至连解答过程和方法都是确定的。开放题与此相异。有的有明确的条件而无明确的结论，甚至连结果存在与否还不知道，有的有明确结论而无明确的条件，甚至连条件是否存在还不知道。【例3】在数列中，若 a1，a2 是正整数，且,3，4，5，则称 为“绝对差数列”. （）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）； （）若“绝对差数列”中，,，数列满足 ,n=1，2，3，分别判断当时, 与的极限是否存在，如果存在，求出其极限值； （）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.【点示】 开放有三：（1）答案不惟一，a1、a2可“任意”设置；（2）极限是否存在，不知道；（3）“任何”、“总会”、“无穷个0”都是开放词.【解答】 （）解：,（答案不惟一） （）解：因为在绝对差数列中,.所以自第 20 项开始，该数列是, 即自第 20 项开始.每三个相邻的项周期地取值 3，0，3. 所以当时，的极限不存在. 当时, ,所以（）证明：根据定义，数列必在有限项后出现零项.证明如下 假设中没有零项，由于,所以对于任意的n，都有,从而 当时, ; 当 时, 即的值要么比至少小1，要么比至少小1.令则由于是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项 ，这与()矛盾. 从而必有零项.若第一次出现的零项为第n项，记，则自第n项开始，每三个相邻的项周期地取值 0，, , 即所以绝对差数列中有无穷多个为零的项.四、深刻背景型深刻背景通俗地可说成是试题的“非凡来历”或“非凡来源”。这种“非凡”大约是指：（1）高等数学的背景；（2）经典数学的引申或广化；（3）实用数学的某一热点应用；（4）新课标、新内容的提前现身。【例4】 （2006年全国卷I）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为Acm2 Bcm2 Ccm2 D20 cm2【点示】 在周长一定的n边形中，正n边形面积最大.当n = 3时，这个普遍了解的事实可以用椭圆的知识这样来感性地解释：设三角形ABC的周长l为定值，角A、B、C分别对应三边a、b、c.先固定B、C两点，则b + c 是定值，这意味这点A在B、C为焦点的椭圆上（去除俩长轴端点），当A为椭圆的短轴端点时，A到线段BC的距离最远，此时ABC为等腰三角形，满足b = c. 假若，我们再固定A、C两点，再次调整点B的位置.由 我们知道，时，ABC面积最大.所以：，即（a，b）.或者换句话说，在数轴上，点对应的点被a、b分别对应的两个点“夹逼”着.无论是用代数语言还是几何语言，我们都能得到结论：再次调整后.只要类似于、 的调整我们可以一直进行，每进行一次，三角形的三边就“接近一次”，直到三边长最接近.最接近的情况当然是正三角形.【解答】 按照我们所普遍了解的事实，调整3个边尽可能的相等：7，7，6此时三角形面积为：. 选B.五、时代信息型不管数学内容如何经典，如何基础，如何理性，然而数学试题与天下文章一样：都得“合于时而著，合为事而作”。也得与时俱进，体现现代精神，倡导文明，服务生产，和谐社会。特别是在应用题中，这种“时代信息题”就显得尤为鲜明：（1）反映生活；（2）联系生产；（3）服务实际；（4）展示科技等等。信号源【例5】 右图中有一个信号源和五个接收器.接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号.若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是 （A） （B）（C） （D）【点示】 时代信息，服务生活，普及科技.【解答】 将六个接线点随机地平均分成三组，共有=15种结果，五个接收器能同时接收到信号必须全部在同一个串联线路中，有=8种结果，这五个接收器能同时接收到信号的概率是，选D.六、及时定义型数学的抽象思维源于定义，新定义来于新问题，新定义表述新内容或新数学，因此，及时定义型的题目是数学创新返朴归真的一种。当然，考题中的新定义并非来源一个真正的“数学前沿”的实际问题，而是某个“旧定义”的转化，解题时只是要求考生再“转化回去”。【例6】 （2006年福建第12题）对于直角坐标平面内的任意两点A(x， y)、B(x，y)，定义它们之间的一种“距离”：AB=x2x1+y2y1.给出下列三个命题：若点C在线段AB上，则AC+CB=AB;在ABC中，若C=90，则AC+CB=AB；在ABC中，AC+CBAB.其中真命题的个数为A.0 B.1 C.2 D.3【点示】 及时定义：平面内任意两点间的距离是数轴上两点间距离的推广，由一维推向了二维，递进式定义法. 对于是我们所熟悉的坐标上的点.而中运用绝对值不等式就可以判断.【解答】 B .对于直角坐标平面内的任意两点，定义它们之间的一种“距离”：若点C在线段AB上，设C点坐标为(x0，y0)，x0在x1、x2之间，y0在y1、y2之间，则=在中，=命题 成立，而命题在中，若则 明显不成立，选B.七、图表符号型 用新图示，新表格，新符号陈述题设或提出问题的新题目。图、表、符号等，它们都是数学语言，设计题目的方法是先将“自然语言”翻译成这种“特殊语言”。解题的关键是要要求考生先把这种“特殊语言”再翻译成“自然语言”。【例7】 图右为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口 A、B、C 的机动车辆数如图所示，图中 分别表示该时段单位时间通过路段,的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则（A） （B） （C） （D）【点示】 给出一个交通环岛，通过图形给出一些数据，其实问题就是加减法，但要抓住主线，即车辆的来源.据此列方程比较其大小一眼可见.图形使题目简洁明了，如果用文字去描述，将会是一篇长文章. 而且还很难表述清楚.【解答】 C .依题意，有x150x355x35，x1x3，同理，x230x120x110x1x2，同理，x330x235x25x3x2故选C.八、猜想判断型这是探索、研究和开放的一种特殊形式。题目往往在题设中通过已知材料暗示某种数学规律，需要考生经过观察、尝试，分析后提出假设式的猜想，然后经过理性的判断确定答案，猜想可能失败，因此解题可能出现反复。于是，往“最大可能处”探索信息，成为解决这类问题的能力品位。【例8】 在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4、堆最底层（第一层）分别按图所示方式固定摆放.从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以表示第n堆的乒乓球总数，则 ； （答案用n表示）.【点示】 猜想判断，按已有经验，“平面上”的对应式是n的二次函数，这里是立体，f (n)应是n的三次函数.【解答】 f(3)=10