2437微积分初步

2437微积分初步习题一、填空题（每小题4分，本题共20分）函数的定义域是若，则2 曲线在点处的切线方程是0微分方程的特解为 6函数，则 7.当0时，为无穷小量.8.若y = x (x 1)(x 2)(x 3)，则(1) = 9. 10.微分方程的特解为.11.函数，则 111曲线在点处的切线方程是1若，则 1微分方程的阶数为 5 16.函数，则17.若函数,在处连续，则2 18.函数的单调增加区间是19.20.微分方程的阶数为 4 21.设函数，则22.设函数 在x = 0处连续，则k =23.曲线在点的斜率是124.425.微分方程的阶数是326.函数的定义域是答案：且.27.函数的定义域是答案：28.函数，则 答案：29.若函数在处连续，则 答案：30.函数，则 答案：31.函数的间断点是 答案：32.答案：133.若，则答案：34.曲线在点的切斜率是答案： 35.曲线在点的切线方程是答案： 36.已知，则=答案：， =27（37.已知，则=答案：，=38.若，则答案：，39.函数的单调增加区间是 答案：40.函数在区间内单调增加，则应满足 答案： 二、单项选择题（每小题4分，本题共20分）设函数，则该函数是（A）A偶函数B奇函数C非奇非偶函数 D既奇又偶函数当（ C ）时，函数，在处连续.A0 B1 C D下列结论中（ C ）正确 A在处连续，则一定在处可微. B函数的极值点一定发生在其驻点上. C在处不连续，则一定在处不可导. D函数的极值点一定发生在不可导点上.下列等式中正确的是（D）A . B. C. D. 微分方程的阶数为（B）A. 2； B. 3； C. 4； D. 56.数的定义域是（C）A BC D 7.曲线在处切线的斜率是（D ） A B C D8.下列结论正确的有（ B ） A若(x0) = 0，则x0必是f (x)的极值点 Bx0是f (x)的极值点，且(x0)存在，则必有(x0) = 0 Cx0是f (x)的极值点，则x0必是f (x)的驻点 D使不存在的点x0，一定是f (x)的极值点9.下列无穷积分收敛的是（A）A B C D 10.微分方程的阶数为（D）A. 1；B. 2；C. 3； D. 411.设函数，则该函数是（D）A非奇非偶函数B既奇又偶函数C偶函数 D奇函数12.当时，下列变量中为无穷小量的是（ C ）.A B C D13.下列函数在指定区间上单调减少的是（ B） A B C D 1 设，则（ C ） A. B. C. D. 1下列微分方程中，（A ）是线性微分方程 A B C D 16.设函数，则该函数是（B）A奇函数 B偶函数C非奇非偶函数 D既奇又偶函数17.当时，下列变量为无穷小量的是（ A ）.A B C D 18.若函数f (x)在点x0处可导，则( D )是错误的 A函数f (x)在点x0处有定义 B函数f (x)在点x0处连续 C函数f (x)在点x0处可微 D，但 19.若，则（ C ）. A. B. C. D. 20.下列微分方程中为可分离变量方程的是（B）A. ； B. ； C. ； D. 21.函数的定义域为（D）A B C且 D且22.曲线在对应点处的切线方程是（C ）A. B. C. D. 23.下列等式中正确的是（D）A . B. C. D. 24.下列等式成立的是（A）AB CD25.下列微分方程中为可分离变量方程的是（B）A. ； B. ； C. ； D. 26.设函数，则该函数是（B） A奇函数 B偶函数C非奇非偶函数 D既奇又偶函数27.下列函数中为奇函数是（C）A B C D28.函数的定义域为（D）A B C且 D且29.设，则（C ）A B C D30.当（D ）时，函数在处连续.A0 B1 C D 31.当（B ）时，函数，在处连续.A0 B1 C D 32.函数的间断点是（A ）A B C D无间断点33.若，则=（C ） A. 2 B. 1 C. -1 D. -234.设，则（B ） A B C D35.设是可微函数，则（D ） A B C D36.若，其中是常数，则（C ） A B C D37.函数在区间是（ D ）A单调增加 B单调减少 C先增后减 D先减后增38.满足方程的点一定是函数的（C ）.A极值点B最值点 C驻点D 间断点39.下列结论中（ ）不正确 A在处连续，则一定在处可微. B在处不连续，则一定在处不可导. C可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D函数的极值点可能发生在不可导点上.40.下列函数在指定区间上单调增加的是（B ） A B C D三、计算题（本题共44分，每小题11分）计算极限原式设，求. 计算不定积分= 计算定积分5.计算极限6.设，求. 7.计算不定积分= 8.计算定积分9.计算极限原式 10.设，求. 11.计算不定积分= 12.计算定积分13.计算极限原式14.设，求 . 15.计算不定积分解：= 16.计算定积分解：17. 计算极限解：原式18. 计算不定积分解：= 19.计算极限解：原式 20.设，求解： 21.计算不定积分解： 22.计算定积分解：=- = 23. 解：24. 解：25.解：26.计算极限 解： 27.计算极限 解： 28.设，求 解： 29.设，求.解： 30.设，求.解： 31.设，求.解： 32.设是由方程确定的隐函数，求.解：方程两边对求导，得 于是得到 33.设，求解：方程两边对求导，得 于是得到 34.求微分方程 的通解解：将原方程分离变量 两端积分得通解为35.求微分方程满足的特解.解：将原方程分离变量 两端积分得 lnlny = lnC x 通解为 y = eCx 将代入通解，得，故特解为y = ex 36.求微分方程的通解.解 此方程为一阶线性微分方程，且，则方程的通解为37.求微分方程满足初始条件的特解解 此方程为一阶线性微分方程，且，则方程的通解为将初始条件代入通解，得，于是满足初始条件的为四、应用题 1欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为，高为，用材料为，由已知 令，解得是唯一驻点， 且，说明是函数的极小值点，所以当， 2用钢板焊接一个容积为4的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？解：设水箱的底边长为，高为，表面积为，且有所以 令，得， 因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当时水箱的表面积最小. 此时的费用为 （元）3.欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设长方体底边的边长为，高为，用材料为，由已知 令，解得是唯一驻点， 因为问题存在最小值，且驻点唯一，所以是函数的极小值点，即当，时用料最省. 4.某制罐厂要生产一种体积为V的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时可使用料最省？解：设容器的底半径为，高为，则其表面积为，由已知，于是，则其表面积为 令，解得唯一驻点，由实际问题可知，当时可使用料最省，此时，即当容器的底半径与高分别为与时，用料最省5、欲用围墙围成面积为216平方米的一快矩形的土地，并在中间用一堵墙将其隔成两块矩形（如图所示），问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？解：设土地一边长为，另一边长为，共用材料为于是 =3令得唯一驻点（舍去） 因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当土地一边长为，另一边长为18时，所用材料最省.6、欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，问该容器的底边和高为多少时用料最省？解：设底边的边长为，高为，用材料为，由已知 令，解得是唯一驻点， 且，说明是函数的极小值点，所以当，时用料最省。7.欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为，高为，用材料为，由已知 令，