九年级数学下册第28章圆28.1圆的认识2圆的对称性习题课件华东师大版.pptx

2 圆的对称性 1 理解圆的对称性 2 掌握圆心角 弧 弦三者之间的关系 能运用它们之间的关系解决问题 重点 3 掌握垂径定理及其推论 能运用垂径定理及其推论解决问题 重点 难点 一 圆心角 弧 弦之间的关系在同一个圆中 如果两个圆心角 两条弧 两条弦中有一组量 那么它们所对应的其余各组量都分别 二 圆的对称性1 圆的对称性 圆是 图形 对称轴是 所在的直线 相等 相等 轴对称 任何一条直径 2 垂径定理如图 CD为 O的直径 AB为弦 思考 1 当CD AB 垂足为E时 将圆沿直线CD对折 点A与点B重合吗 你会发现哪些相等的线段和相等的弧 提示 重合 2 你能证明AE BE吗 提示 连结OA OB 则OA OB CD AB OAE和 OBE都是直角三角形 又 OE为公共边 两个直角三角形全等 则AE BE 3 当AE BE时 将圆沿直线CD对折 与与相等吗 提示 连结OA OB 则OE为等腰 AOB底边上的中线 CD AB 点A与点B重合 4 上述证明是在 AOB存在即AB为非直径的弦的条件下得到的结论 那么当AB为直径时是否成立呢 你能画出图形吗 提示 成立 如图所示 总结 垂径定理 垂直于弦的直径 并且 弦所对的两条弧 平分弦 平分 3 垂径定理的推论 平分弦 不是直径 的直径 于这条弦 并且 弦所对的弧 平分弧的直径 这条弧所对的弦 垂直 平分 垂直平分 打 或 1 圆心角相等 则它所对的弦及所对的弧都相等 2 在两个圆中 若有两条弦相等 则这两条弦所对的弧一定相等 3 直径是所在圆的对称轴 4 弦的垂直平分线一定过圆心 5 平分弧的直线一定平分这条弧所对的弦 知识点1圆心角 弧 弦之间的关系 例1 如图 分别是半径OA和OB的中点 CD与CE的大小有什么关系 为什么 解题探究 1 由如何添加辅助线构造相等的角 提示 连结OC 根据弧相等 所对的圆心角也相等 可得 COD COE 2 由D E分别是半径OA和OB的中点 可得哪些线段相等 提示 AO BO AD OD OE EB 3 通过以上探究 可证明哪两个三角形全等 提示 所以 ODC OEC 4 综上所述CD CE 理由 全等三角形对应边相等 总结提升 运用圆心角定理时应注意的两个问题1 圆心角 弧 弦之间的关系的结论必须在同圆或等圆中才能成立 2 一条弦所对的弧有两条 应用时应注意区分 知识点2垂径定理及其应用 例2 如图 O的半径为17cm 弦AB CD AB 30cm CD 16cm 圆心O位于AB CD的上方 求AB和CD间的距离 思路点拨 过圆心作两条弦的垂线 再通过连结圆心与弦的端点构造直角三角形 利用勾股定理求出AB和CD的距离 自主解答 分别过点O作弦AB CD的垂线 设垂足分别为E F AB 30cm CD 16cm 在Rt AOE中 cm 在Rt OCF中 EF OF OE 15 8 7 cm 总结提升 在运用垂径定理时辅助线的作法及两点注意1 辅助线作法 有关圆内弦的长度计算 一般情况下 经常过圆心作垂直于弦的半径 构建直角三角形 2 两点注意 1 这里的垂径可以是直径 半径 也可以是过圆心的直线或线段 2 条件中的 弦 可以是直径 结论中的 平分弧 既意味着平分弦所对的劣弧 又意味着平分弦所对的优弧 题组一 圆心角 弧 弦之间的关系1 已知AB与A B 分别是 O与 O 的两条弦 AB A B 那么 AOB与 A O B 的大小关系是 A AOB A O B B AOB A O B C AOB A O B D 不能确定 解析 选D 由弦相等推弦所对的圆心角相等 必须保证在同圆或等圆中 而 O与 O 不一定是等圆 所以 AOB与 A O B 的大小关系不能确定 2 如图 已知 AB是 O的直径 C D是上的三等分点 AOE 60 则 COE是 A 40 B 60 C 80 D 120 解析 选C AOE 60 BOE 180 AOE 120 的度数是120 C D是上的三等分点 与的度数都是40 COE 80 3 如图 在 O中 C 70 则 B 度 A 度 解析 B C 70 A 180 2 C 40 答案 7040 4 如图 AB是 O的直径 BC CD DA是 O的弦 且BC CD DA 则 BCD 解析 连结OC OD BC CD DA AOD DOC COB AOD DOC COB 180 AOD DOC COB 60 AOD DOC COB都为等边三角形 BCO DCO 60 BCD 60 60 120 答案 120 5 已知 如图 在 O中 AB CD 求证 AOC BOD 证明 即 AOC BOD 题组二 垂径定理及其应用1 如图 AB是 O的直径 弦CD AB 垂足为M 下列结论不成立的是 A CM DMB C ACD ADCD OM MD 解析 选D AB是 O的直径 弦CD AB 垂足为M M为CD的中点 即CM DM 选项A成立 B为的中点 即选项B成立 在 ACM和 ADM中 AM AM AMC AMD 90 CM DM ACM ADM ACD ADC 选项C成立 而OM与MD不一定相等 选项D不成立 2 2013 温州中考 如图 在 O中 OC 弦AB于点C AB 4 OC 1 则OB的长是 解析 选B 在 O中 OC 弦AB于点C 则 3 2013 上海中考 在 O中 已知半径长为3 弦AB长为4 那么圆心O到AB的距离为 解析 如图 OD AB 由垂径定理得所以由勾股定理得答案 4 2013 襄阳中考 如图 水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m 其中水面的宽AB为0 8m 则排水管内水的深度为 m 解析 如图所示 过点O作OD AB交AB于点C 交圆于点D 连结OB 在 O中 OD AB AC BC 0 4m OB 0 5m BC 0 4m OC 0 3m CD 0 5 0 3 0 2 m 答案 0 2 5 如图 在同一平面内 有一组平行线l1 l2 l3 相邻两条平行线之间的距离为4 点O在直线l1上 O与直线l3的交点为A B AB 12 求 O的半径 解析 过点O作OC AB于C 连结OA 在Rt AOC中 ACO 90 OC 4 2 8 O的半径为10 6 2013 邵阳中考 如图所示 某窗户由矩形和弓形组成 已知弓形的跨度AB 3m 弓形的高EF 1m 现计划安装玻璃 请帮工程师求出弧AB所在圆O的半径 解析 由垂径定理得设圆O半径为xm 则OF x 1 m 在Rt OBF中 根据勾股定理得x2 1 52 x 1 2 解得x 1 625 即圆O的半径是1 625m 想一想错在哪