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点圆及点圆系的性质与应用 魏烈斌湖北荆州中学 点是几何中最基本的元素，也可以视其为半径零的圆，即点圆。坐标平面上的点的方程可记为。由点圆，直线，圆 可构成下列圆系：点在圆上，为非零实数，有圆系（1） 点在直线上，为非零实数，有圆系 （2）直线与圆相切于点，为非零实数，有圆系 （3） 下面给出，的性质。 定理1 1）是圆在点的切线。 2）是与圆相切于点的圆，并且任一与圆切于点的圆的方程都能写成（1）. 定理2 是与直线相切于点的圆，并且任一与直线切于点的圆的方程都能写成（2）. 定理3 1）存在唯一的实数，使就是点 2） 是与直线相切于点的圆，并且它与圆也切于点 仅对定理3 给出证明.其过程如下： 证 1）由于直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为，从而有 代入（3）可得 （4）因为点是直线与圆的切点，所以点的坐标满足（3），进而满足（4） 另一方面，当时，（4）表示点这说明就是点，故存在实数使就是点。2） 易知必过点.当时，的方程为（4），这说明是过点的圆.解方程组 可得 （7） 由于直线与圆相切于点，所以联立（6）、（7）有唯一解.于是联立（5）、（6），联立（5）、（7）均有唯一解.这说明不仅与直线切于点，与圆也切于点. 下面举例说明上述定理的应用. 例1 已知直线与圆切于点，求直线的方程. 解 依题意及定理1可知，圆在点的切线的方程为 即 例2 求过点且与圆相切于点的圆的方程. 解 由定理1可设所求圆的方程为： （8）又该圆过点，所以有 即 代入（8）整理得所求圆的方程为 例3 求与圆外切，且与直线相切于点的圆的方程. 解 设所求圆为C，由定理2 可设C的方程为 将其整理为 （9）因圆C与圆即外切，所以有.即，解得或 代入（9）的圆C的方程为：或 例 4 已知直线和圆相切，求的值 . 解 由定理3可知存在值，使方程
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