期权定价理论.doc

上海财经大学国际工商管理学院硕士研究生课程讲义 （朱小斌）期权定价理论期权是一种独特的衍生金融产品，它使买方能够避免坏的结果，同时，又能从好的结果中获益。金融期权创立于20世纪70年代，并在80年代得到了广泛的应用。今天，期权已经成为所有金融工具中功能最多和最激动人心的工具。因此，了解期权的定价对于了解几乎所有证券的定价，具有极其重要的意义。而期权定价理论被认为是经济学中唯一一个先于实践的理论。当布莱克（Black）和斯科尔斯（Scholes）于1971年完成其论文，并于1973年发表时，世界上第一个期权交易所芝加哥期权交易所（CBOE）才刚刚成立一个月（1973年4月26日成立），定价模型马上被期权投资者所采用。后来默顿对此进行了改进。布莱克斯科尔斯期权定价理论为金融衍生产品市场的快速发展奠定了基础。期权定价理论并不是起源于布莱克斯科尔斯定价模型（以下记为BS定价模型）。在此之前，许多学者都研究过这一问题。最早的是法国数学家路易巴舍利耶（Lowis Bachelier）于1900年提出的模型。随后，卡苏夫(Kassouf，1969年)、斯普里克尔（Sprekle，1961年）、博内斯（Boness，1964年）、萨缪尔森（Samuelson，1965年）等分别提出了不同的期权定价模型。但他们都没能完全解出具体的方程。本讲主要讨论以股票为基础资产的欧式期权的BS定价理论。一、预备知识（一）连续复利我们一般比较熟悉的是以年为单位计算的利率，但在期权以及其它复杂的衍生证券定价中，连续复利得到广泛的应用。因而，熟悉连续复利的计算是十分必要的。假设数额为A的资金，以年利率r投资了n年，如果利率按一年计一次算，则该笔投资的终值为。如果每年计m次利息，则终值为：。当m趋于无穷大时，以这种结果计息的方式就称为连续复利。在连续复利的情况下，金额A以利率r投资n年后，将达到：。对一笔以利率r连续复利n年的资金，其终值为现值乘以，而对一笔以利率r连续复利贴现n年的资金，其现值为终值是乘上。在股票投资中，我们一般都以连续复利计息。也就是说，现在金额为S投资股票，期望以复利计息，经过T时期后（T一般以年为单位），股票的期望价格为：，从而可得：。也就是说，股票价格的期望收益率为股票价格比的对数。（二）股票价格的行为过程众所周知，股价运动一般没有规律可循，但我们可以用一种随机过程来刻划股价的运动。随机过程是指：如果某变量的价值以某种不确定的方式随时间变化，则称该变量遵循某种随机过程。特别地，当一个随机过程变量的未来预测值只与该变量的当前值有关，而与该变量的过去值无关时，我们称该随机过程为马尔可夫过程。以下我们要介绍几种特殊的马尔可夫过程。1、基本的维纳过程要理解遵循维纳过程的变量z的行为，可以考虑在短时间间隔上变量z值的变化。设一个小的时间间隔长度为t，定义z为在t时间内z的变化。如果满足：（1）z（6.1）其中，是服从标准正态分布N（0，1）的一个随机变量；（2）对于任何两个不同的时间间隔t，z的值相互独立。则称变量z遵循基本维纳过程。由（1）知，z也服从正态分布，且其均值为0，方差为t，标准差为。由（2)知，z遵循马尔科夫过程。设z值在时间T后的增量为，这可以被看作在N个长度为t的小时间间隔后z的变化的总量。其中，从而 (6.2)其中是服从标准正态分布的随机抽样值，且相互独立。从而也服从正态分布，其均值为0，方差为，标准差为。另外，6.1式的极限形式可表示为： (6.3)2、一般化的维纳过程变量x的一般化维纳过程定义如下：(6.4)其中为常数，为同6.3式的基本维纳过程。项表示变量x在单位时间内的漂移量，其期望值为。项可被看作为增加到x轨迹上的波动率或噪声，其值为维纳过程的倍。在缺省项的情况下，方程变为：对其积分可得：其中x0为变量x在零时刻的值。经过t时间后，x增加的值为。6.4式的离散形式为：(6.5)从而，具有正态分布，且的均值为，方差为，标准差为。经过时间T后，值的变化具有正态分布，同样，可以求得其均值为，方差为，标准差为。方程6.4给出了一般性维纳过程。其漂移率（单位时间的平均漂移）的期望值为，方差率（即单位时间的方差）的期望值为。如图6.1所示。3、ITO过程（ITO process）ITO过程是一个更一般化的维纳过程，其数学表达式为：ITO过程的期望漂移率和方差率都随时间的变化而变化。在BS期权定价模型中，很重要的一点就是假定股价的变动遵循ITO过程。但如何定义这一过程的期望漂移率和方差率是关键。一个合理的假设就是股价S的变动可用瞬时期望漂移率为，瞬时方差率为的ITO过程来表达。表示为：(6.6) (6.7) 这是因为投资者要求来自股票的期望百分比收益与股票价格无关。当股价的方差率恒为0时：，得：。其中，是零时刻的股价。这说明了当方差率为0 时，股价以单位时间为的连续复利方式增长。6.7式的离散形式为：(6.8) 例：考虑一种不付红利的股票，波动率为每年30%，预期收益率以连续复利计每年15%，即，则股票价格的行为过程为：化为离散形式：方程6.8的左边是短时间后股票的收益比, 项是这一收益的期望值,项是收益的随机部分,其方差(也是整个收益的方差)为,该方程表明服从均值为,方差为的正态分布。即：4、ITO定理和股票价格的对数正态分布由前面的讨论知道，股价S的运动遵循ITO过程：如果变量G是股价S和时间t的函数，即G=G（S，t）由泰勒展开式，有： (6.9)由6.8式得，因此，由于服从标准正态分布，所以因此的期望值为，其方差的阶数为。当趋于0时，变为非随机项，且等于该值对的期望值，所以就变成非随机项，且当趋向于零时，其值等于。将上述结果代入6.9式，且令和趋向于零，得其微分形式： (6.10)这就是ITO定理。它表明ITO过程S和时间t的函数G也遵循ITO过程。由于G是S的函数，因此G与S都受到同一个基本的不确定性来源的影响。上式中，令，得：这表明G遵循恒定的漂移率为，方差率为的一般化维纳过程。由前面的结果知，在当前时刻t0和将来某一时刻t1之间G的变化是正态分布，均值为：方差为：其中T为时间间隔t1t0。t0时刻G的值为，t1时刻G的值为。其中ST是T时刻的股票价格，因此在T期间G的变化为：。从而有： （6.11）这表明，当S给定时，ST服从对数正态分布，且有： 另外，由6.11式得：而我们又知道，时刻t0与t1之间的连续复利年收益率为：从而有：也就是说，连续复利年收益率服从均值为：，标准差为：的正态分布。说明：此处的为无限短时间的预期收益率，而是指预期连续复利收益率。二、B-S微分方程的导出（一）假设条件BS微分方程的推导是建立在以下假设的基础上的：1股价遵循预期收益率和标准差为常数的马尔科夫随机过程；2允许使用全部所得卖空衍生证券；3没有交易费用或税金，且所有证券高度可分；4在衍生证券的有效期内没有支付红利；5不存在无风险的套利机会；6证券交易是连续的，股票价格连续平滑变动；7无风险利率r为常数，能够用同一利率借入或贷出资金8只能在交割日执行期权。（二）BS微分方程的建立由前面的讨论可知，股价S遵循马尔科夫随机过程：其离散形式为：(6.12) 又假设f是依赖于S的衍生证券的价格，则变量f一定是S和t的某一函数。由方程9.3.12可得：(6.13)其离散形式为：(6.14)由于f必定是S与t的函数，所以方程6.12与方程6.14遵循的维纳过程相同，即相同。所以我们可以选择该股票和衍生证券的组合来消除维纳过程。我们可以构造这样的投资组合：（1）卖出一份衍生证券（2）买入份股票则该证券组合的价值为： (6.15)时间后，该证券组合的价值变化： (6.16)将方程6.12和6.14代入上式，得： (6.17)因为这个方程不含有，经过时间后证券组合必定没有风险。因此，该证券组合的瞬时收益率一定与其它短期无风险证券的收益率相同。否则，将存在无风险的套利机会。所以： (6.18)其中r为无风险利率。将方程6.15和6.17代入上式可得：化简得：(6.19)这就是著名的BS微分方程。对应于不同基础证券S定义的不同衍生证券，方程6.19有不同的解。解方程时得到的特定的衍生证券取决于使用的边界条件。对于欧式看涨期权，关键的边界条件为：对欧式看跌期权，边界条件为：一个非常重要的现象是，从方程6.19我们可以发现，它不包含投资者对股票的预期收益，从而它独立于风险偏好。因此，我们在对进行定价可以使用任何一种风险偏好。我们可以提出一个非常简单的假设：所有的投资者都是风险中性的，这样所有证券的预期收益率都是无风险利率r，且其衍生证券的目前价值可以用其期末价值的期望值以无风险利率r来贴现来得到。三、风险中性定价法导出B-S定价公式根据风险中性定价理论，欧式看涨期权到期日的期望值为：其中表示风险中性定价下的期望值。因此，欧式看涨期权的价格C是这个值以无风险利率r贴现的结果：(6.20)由前面的讨论知道,股价的对数服从正态分布。在风险中性的情况下，可将换成r，即：(6.21)记 ，那么也就是ST服从对数正态分布。设ST的概率密度为，则上式中，右边第一项 第二项其中： 所以， (6.22)根据欧式看涨期权c与看跌期权p之间的平价关系，有：因此，欧式看跌期权的价值为： (6.23)例：一种还有六个月的有效期的期权，股票的现价为$42，期权的执行价格为$40，无风险利率为每年10%，波动率为20%，即： 所以： 又查表，得： 将上述数据代入公式计算，得：注：波动率的计算在BS定价公式中，不能直接观察到的一个参数是股票价格的波动率，我们