实分析与复分析修订稿.doc

四川大学本科毕业论文 实分析与复分析的联系与区别实分析与复分析的联系与区别专业:数学与应用数学学生:谭宇 指导老师:顾晓慧摘要 :实变函数与复变函数是微积分向两个方向的延伸,一方面是在所研究的数域上的拓展,另一方面是将研究函数的性质由好到不好,但是其都是要涉及无限的研究,所以需要在集合论的基础上建立,而采用不同的测度方式.复变函数所研究的对象延续了微积分中研究对象的大部分好的性质,从而沿用了微积分中的研究方法,而实变函数中则由于性质的不好需要,需要利用Lebesgue测度,通过一系列的逼近方式使得性质比较好的函数逼近不好的.最后实变函数的lebesgue积分是一种Riemann积分的推广,有着更广的研究范围.关键词: 极限 连续性 测度 集合论 积分THE CONNECTIONS AND DIFFRENCES BETWEEN REAL ANALYSISAND COMPLEX ANALYSISMajor: Mathematics and Applied MathematicsStudent:Tan Yu Supervisor:Gu Xiao HuiAbstract：Functions of real variable and complex function are both the extensions of the calculus。Complex function is the extension on the number filed and Functions of real variable extend the range of the function we studied from the good ones to these not good ones，but both of them are about the infinite，so it is necessary to establish the basis of set theory, and using different measurement methods. Complex function as the object of study continues the study of calculus in the majority of good nature, which follows the calculus of the research methods, and functions of real variable in need due to the nature of the poor, need to use the Lebesgue measure, by a series of relatively good approximation of a way that the nature of good function approximation. Finally a Real Variable Function of lebesgue integral is the promotion of Riemann integral，with a broader scope of the study.Key Words：Limit Continuity Measure Set theory Integral目录一 引言1二 数学分析基础上向实变函数与复变函数领域的发展1三 实分析与复分析在集合论基础上的建立2四 在测度理论上的不同2五 实变函数与复变函数研究对象性质的好坏差异3六 L积分与R积分的对比5七 小结7参考文献8致谢93一 引言复变函数与实变函数是在数学分析基础上我们进一步学习的两个不同的分析方法，在复变函数中，我们基本上延续了在数学分析中研究函数所应用的各种分析方法，只不过将研究的范围由实数域向复数域内的扩展。而在实变函数中，我们发现有很多函数是无法利用微积分中的方法来进行分析的，如著名的狄利克雷函数，这时便需要一种全新的分析方式，从而我们通过Lebesgue测度，Lebesgue可测函数等在另外一个方式上对此类函数进行分析，最终通过函数逼近等方式使得所研究的函数可以利用较好性质的函数列逼近，最后我们引出一种全新的积分方式Lebesgue积分。二 数学分析基础上向实变函数与复变函数领域的发展实变函数即是是变量的函数，而其与数学分析有别，因为数学分析中研究的都是一些性质比较好的函数的性质应用，数学分析对于所研究函数的极限、连续性、可微性都有一定的要求。但是我们知道并不是所有的实数域内的函数都有着这么好的性质，比如著名的狄利克雷（Dirichlet）函数D(X)=1 当x是无理数0 当x是有理数我们知其基本的性质为：定义在整个数轴上，以任何正有理数为其周期，并且在其定义的区域内处处无极限，处处不连续，处处不可导。这便是一个性质十分“不好”的实函数。如果按照数学分析理论的方法来分析此类函数，即研究极限、连续性与可微、可导的方法，则会对此类函数无从下手。从而需要一个新的研究方法，即实变函数的理论。以狄利克雷函数为例：我们对于狄利克雷函数进行积分，如果我们按照数学分析中R积分的定义进行积分，我们可以发现，狄利克雷函数根本无法符合R积分的性质需求。而往往积分是研究一个函数的重要方法，我们不能避开此类的问题。首先我们应该认识到R积分对于函数的限制很大的：他要求函数是基本上连续的，虽然不要求函数是完全连续，但是也不允许像狄利克雷函数这样的有无数不连续点的函数。这就大大的束缚了对于函数的研究。为了解决这类问题，数学家勒贝格（Lebesgue）提出一个全新的观点：不再对于定义域进行分割，转而对值域进行分割。这样便又会带来一些新的问题，比如对于新的分割方式的比如说狄利克雷函数中对于值域进行分割后E=x|cfxc2的度量问题，以及什么样的集合时可测的，从而产生出与R积分中完全不同的可测函数与不同的积分形式，这就是我们要研究的实变函数理论。 另一方面复变函数是数学分析向复数域的直接推广。对与复变函数的研究其根本上的研究方法与数学分析没有太大差别，以一个复变函数f（z）=ez=ex+iy为例来说明：对于此基本的复变函数，与数学分析的方法相同，我们首先研究的是其极限与连续性，只不过不同的是所定义的区域的变化，从实数域到复数域。此处与数学分析中关于二元函数的研究相类似，而许多的定理，像是威尔斯特拉斯定理、闭集套定理等都可以直接由数学分析理论中直接推广到复变函数的理论中来。之后便是对于可导性的研究，即复变函数中的解析函数的部分，其与数学分析中的定义方式几乎完全相同，另外由于复变函数所定义的复数域与数学分析理论中的二元函数所在的二维平面相似，两者的很多性质都是可以相互借鉴的。之后对于复变函数的积分的研究依旧是建立在Riman积分的基础之上的。解析函数在复数域内的展开等一系列理论都是对于数学分析中积分，展开理论的直接推广。三 实分析与复分析在集合论基础上的建立集合论是实分析与复分析得以建立的共同基础。集合论提供的是在一定的逻辑分析基础上分析无限集的方法，因此人们对无限集以及在无限集上的各种结构关系的研究可以不断深化从而从而依赖于无限集运算的各种理论才有可能建立起来。集合论的建立使得无限集合的运算拥有了一套合理的统一语言，从而使得各种经典的理论都可以通过集合论来较好的表达出来。另外，集合与集合之间的对应关系就是反应的函数的逻辑关系。在实变函数的建立过程中，我们知道数学家勒贝格（lebesgue）是提供了一种对于值域进行划分的新思路，即研究的首先是E=x|cfxc2集合的性质。仍旧是以狄利克雷（Dirichlet）函数D(X)=1 当x是无理数0 当x是有理数为例说明，在分析此函数的过程中，集合论的思想是最为基础的，对于数学家勒贝格提出的，对于值域的划分，然后即产生出Ei=x |ciD(x)ci+1一列集合，首先可知对于每一个Ei集合而言，都有可能是一个无限集合，然后我们会对于这类集合进行性质的分析，例如对于集合是否可测与否的分析，而这所有的对于无限集合的问题的分析，都离不开集合论，都则对于无限的问题，我们都无从下手。这是实分析理论的基础性问题，所以说集合论是实分析理论得以建立的基础性理论。同样对于复分析而言，首先是函数为关于集合之间的对应关系。之后关于极限、连续性的分析过程中集合论中的波尔查诺（Bolzano）-威尔斯特拉斯定理，闭集套定理以及海涅-波莱尔（Heine-boerl）覆盖定理都是重要的应用。而在复变函数的积分中，Riman积分的也是需要以集合论为基础的。四 在测度理论上的不同 在研究一般函数的过程中,首先要建立的一般集合的”长度”的概念,例如在R2空间中,开矩形I=(x,y) |axb.cyd的面积为（b-a）（d-c）.在R3中，开长方体I=（x，y，z）|axb, cyd ezf的体积为（b-a）（d-c）（f-e）。从而我们可知关于开集I=（x1 x2 xn）|aixia =x |xE,f（x）a恒可测（勒贝格可测），则称是定义在 E上的（勒贝格）可测函数。设f（x）是定义在可测集E上的实函数，下列任一个条件都是f(x)在上（勒贝格）可测的充要条件：（1） 对任何有限实数a，Ef=a都可测；（2） 对任何有限实数a，Efa都可测；（3） 对任何有限实数a，Ef=a都可测；（4） 对任何有限实数a,b，Ea=fb都可测 关于可测函数的性质有（1） 如果两个函数f(x)与g（x）在ERn中几乎处处相等的时候，如果有其中的一个在ERn上可测，则另一个也可测。（2） 如果f（x）是ERn上的可测函数，而其中E0E,则可知f（x）在E0上依然可测，反之，如果f（x）在Ei（i=1、 2 ）上都可测，则f（x）在E=Ei上也是可测的。（3） 如果f（x）、g（x）都是E上的可测函数，则若其和、差、积、商在E上几乎出处有意义时，仍旧是可测的。 对于实变函数中一些性质不好的函数，我们便需要利用函数逼近的方法使其可以用拥有较好性质的函数来代替，也就是用较好性质的函数逼近较差性质的函数。首先我们可以了解到几个个关于极限的含义：（1） 处处收敛：记作，（2） 一致收敛：（3） 几乎出处收敛：记作（almost everywhere），。即去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛。我们知道关于三个收敛有一致收敛强于处处收敛，而处处收敛要强于几乎处处收敛。而我们知道关于函数列几乎出处收敛的定理：如果fn（x）m=1是E上的可测函数列，且几乎处处收敛到f（x），即fm（x）f（x），a.e .则可知f（x）在E上也是可测的。叶果罗夫定理中知道几乎处处收敛与几乎一致收敛的关系：若ERn是可测集，且mE0，存在0.使得当xEO（x0, ）时，有|f（x）-f（x0）|,则称函数f（x）在x0点相对于E是连续的。如果对任意的x属于E，f（x）在x点相对于E是连续的，则称f（x）在E上处处连续，或者说f（x）是E上的连续函数。而有定理知：如果FRn是闭集，fn（x）是F上的连续函数列，且一致收敛到f（x），则f（x）在F上是连续的。利用鲁津（lusin）定理，可以知道有限测度集E上几乎处处有界的可测函数f（x），是几乎处处连续的函数。从而很多在数学分析中关于连续性方面的性质定理可以较好的直接应用于实变函数理论中 来。根据以上分析可知复变函数中所分析的函数，大都是性质很好的函数，对于连续性质，可微可导等都有着很好的性质。而实变函数中所研究的函数中则会包含很多性质不好的函数，按照复变函数中的要求是无法对其极限、连续性、可微可导的性质进行研究的，便需要换一个角度来进行关于测度、可测、以及其定义下的连续性的研究，对于性质不好的函数便需要相对性质较好的函数进行逼近，从而便于对于其进行研究。六 L积分与R积分的对比黎曼积分是数学分析中的重要内容，勒贝格积分是实变函数论中的主要内容就可积函数的范围来看，勒贝格积分比黎曼积分更广泛这两种积分既有密切的联系，又有本质的区别若函数f(x)在a，b上黎曼可积，则它必在a，b上勒贝格可积，且有相同的积分值，但勒贝格可积不一定黎曼可积.复变函数中其积分的理论是数学分析中riemann积分的直接推广.故此处可以直接对于R积分与L积分的联系与区别进行分析.黎曼积分的定义：设f(x )是定义在a，b上的有界函数，任取一分点组K ：x0 = a x1 x2 a,f(x)在a,b上是有界且几乎处处连续的，则有 Ra+|f(x)|dx=La+|f(x)|dx因此f（x）在a，+上lebesgue可积当且仅当广义Riemann积分Ra+|f(x)|dx绝对收敛，并且当Ra+|f(x)|dx绝对收敛时，成立 Ra+f(x)dx=La+f(x)dx由以上的定理可知，若f（x）在a,b上Riemann可积或者广义Riemann积分在有界或者无界区间上绝对收敛，则f（x）是lebesgue可积得切其Lebesgue积分的值与Riemann积分的值相等。在此种条件下，f（x）的Riemann积分也可视为Lebesgue积分，因而也可以应用Lebesgue积分的性质。此外若f（x）在某区间上同时Riemann可积（广义可积或者正常的）与Lebesgue可积，则此时R积分与L积分相等。 Lebesgue在讲到他的积分时作过这样的一个比喻：“我必须偿还一笔钱，如果我从口袋中随意摸出各种不同面值的钞票，逐一的还给债主到全部还清，这就是黎曼积分，如果我把钱全拿出来并把相同面值的钱放到一起。然后再一起付给应还的数目，这就是我的积分.七 小结 复分析与实分析都是在微积分基础上建立起来的向不同方向发展的两种分析方式，复分析倾向于将微积分中的方法与思路由实数域拓展到复数域上来，其中的分析思路，是几乎一致的，都是开始对于研究函数所在的数域的基本性质进行分析，然后便是对于极限的性质，连续性的分析，复变函数这方面的性质与微积分中实函数的性质十分相似。复变函数中的可导与解析性对应于微积分中的点的可导性以及区域上的可导，只不过是将微积分中的一维上的区间可导，转化为复平面上的区域上的解析，而对于性质两者仍旧有着更多的相似。而由于实变函数是对于微积分中分析方法的一种更为高级的推广，与微积分复变函数理论一样，由于都涉及很多关于无限性的研究，都需要以集合论为基础来进行分析，提供系统正规的分析语言。但是之后便是一种完全不同的分析方式，实变函数由于更多的是对于性质不好的函数的研究，所以对于其研究的对象在微积分分析方法中的性质往往是不好的，所以需要一套另外的理论，即需要测度论来度量对于值域划分,然后定义可测函数,以及在区域内的连续函数的定义,用性子比较好的函数来逼近所需要的研究的函数,从而可以将微积分中的关于连