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数 学 杂 题1.明明和小华到新华书店去买小学数学百问这本书。一看书的价钱，发现明明带的钱缺1分钱，小华带的钱缺2.35元。两人把钱合起来，还是不够买一本的。那么买一本小学数学百问到底要花多少元？分析：明明买这本书还缺1分钱，小华要是能补上1分钱，就能买这本书了。可是小华、明明的钱合起来，仍然买不了这本书，这说明小华连1分钱也没带。题中说，小华买这本书缺2.35元，那么2.35元正好是这本书的价钱了。所以买一本小学数学百问要花2.35元。2.有一列数，第一个数和第二个数都是1994，以后每个数都是前面两个数的和，这列数的第1994个数除以3的余数是几？首先算出这一列数除以3的余数排列的规律。从上表不难看出，这列数被3除的余数呈2、2、1、0、1、1、2、0这八个数一循环的排列，而19948=2492，即1994个数除以3的余数同第二个数除以3的余数一样，即余2。3.某班有学生51人，准备推选1名同学在教师节那天给老师献花。选举的方法是让51名同学按编号1、2、3、51排成一个圆圈，从1号位开始，隔过1号，去掉2号、3号，隔过4号，去掉5号、6号如此循环下去，总是每隔过1个人，就去掉2个人，最后剩下的那名同学当选。那么当选的同学开始时是排在几号位置上的？根据推选的方法可知，第一轮筛选后留下了17人。这17人是排在第 1、4、7、10、13、16、19、22、25、28、31、34、37、40、43、46、49号位置上的同学。接下去继续筛选，留下了6人，这6个人是排在第1、10、19、28、37、46号位置上的同学。不过留下46号后去掉49号，接下来正好去掉1号，再继续下去，留下的是第10、37号位上的同学，在去掉46号之后，接下去是去掉10号，最后剩下的是37号，即开始时排在37号位置上的那个同学当选。4.有一列数1/1、1/2、2/2、1/2、1/3、2/3、3/3、2/3、1/3、1/4、2/4、3/4、那么第398个数是多少？仔细观察这列分数的特点，不难发现，它们的分母是1、2、3、4.分母是1的分数有1个；分母是2的分数有3个；分母是3的分数有5个；分子是1、1、2、1、1、2、3、2、1从小到大再到小，依次排列。从而得出，从第400个分数是分母为20的分数中最后一个，5.有若干个围棋子，小明摆了两次，第一次摆成正方阵后，余下12枚棋子；第二次摆成每边各加 1枚棋子的正方阵时，还缺少9枚棋子。那么这些棋子共有多少个？解法（1）根据题意，两次摆放棋子都要摆成正方阵，那么两次要摆成的正方阵所需要的棋子数一定是两个相邻的平方数，像22=4，32=9，4和9是两个相邻的平方数。题中告诉我们，第一次摆成正方阵后，余下12枚棋子，第二次摆成正方阵时缺少9枚棋子，那么两次摆成正方阵后棋子数相差129=21枚。也就是说，两个相邻的平方数相差21。我们知道102=100，112=121，而121100正好是21。由此得出，这堆棋子共有10012=112（枚）或1219=112（枚）解法（2）根据题意，第二次摆成的正方阵要比第一次摆成的正方阵多用了第一次摆成的正方形最外一层每边棋子数的2倍多1枚。题中告诉我们，第二次摆成正方阵还差9枚棋子，而第一次摆成正方阵后余下12枚，就是说，第二次摆成的正方阵由于多摆了一层而多用了129=21枚棋子，多用的棋子数比第一次摆成正方阵的最外一层每边的棋子数的2倍多1枚。因此第一次摆成正方阵时，最外一层每边上的棋子数是：（9121）2=10（枚）那么这些棋子数是：101012=112（枚）或（101）（101）-9=112（枚）6.有两列数，它们各自按一定的规律排列。第一列数是：3、5、7、9、，第二列数是：4、9、14、19、24、，第一列数中的第1个数与第二列数中的第1个数相加是3+4；第一列数中的第2个数与第二列数中的第2个数相加是5+9；那么两列数第80个数相加，是几+几？观察两列数排列的规律不难发现：第一列数是从3开始、公差为2的数列，因此第一列数的第 80个数是 3 2（801）=161。第二列数是从4开始、公差为5的数列，因此第二列数的第 80个数是 45（801）=399。由此得出这两列数的第80个数相加是161+399。7.有7000多棵小树苗，按着六种规格捆成若干小捆。如果每10根捆成1捆，结果剩下9棵；如果每9棵捆成1捆，结果剩下8棵；第三、四、五、六种规格是：分别以8棵、7棵、6棵、5棵捆成1捆，那么最后分别剩下7棵、6棵、5棵、4棵。问一共有多少棵小树苗？解：5、6、7、8、9、10的最小公倍数是2520，它的3倍是7560，75601=7559（棵）8.某校六年级学生按一层男生、一层女生地排成一个正方阵。又知道男生比女多25人，这个学校的六年级共有多少学生？解：根据男生比女生多25人，可知方阵中心站1名男生，这个方阵共排9.有若干学生参加数学竞赛，每个学生的得分都是整数。已知参赛学生所得的总分是4729分，并且前三名的分数分别是88分、85分、80分，最低分是30分，又知道没有与前三名得分相同的学生，其它任何一个分数，得到这个分数的都不超过3人。那么在这次竞赛中得分不低于60分的学生至少有多少名？解：要求得分不低于60分的学生至少有多少人，那么不及格的人数应尽量多，得高分的也应尽量多。根据题意，不及格的学生最多占去的分数是：（3031325859）3=4005（分）除去不及格的及前三名学生的得分，还有4729-4005-88-85-80=471（分）再从这471分中依次去掉3个79分，3个78分，得471-793-783=0（分）这说明得79分的有3人，得78分的有3人。再加上前三名学生，共9人及格，这就是说，不低于60分的学生至少有9人。10.某车间原有工人不少于63名。在1月底以前的某一天调进了若干工人，以后每天都增调1人进车间工作。现在知道，这个车间在1月份每人每天生产1件产品，共生产了1994件。试问1月几号开始调进工人？共调进了多少工人？解：根据题意可得1994=6331411994=643110而 19946531，也就是说，这个车间原有工人63人或64人，于1月份可生产6331=1953件产品或生产6431=1984件产品，这样还差41件或10件产品未完成。根据已知，应把41或10表示为若干连续自然数之和。我们知道，41=2021，10=1234，这就是说，1月30日开始调进20人，1月31日再增调1人，共调进21人。或1月28日开始调进1人，以后每天增调1人，到1月31日共调进4人。11.恰有两位数字相同的三位数共有多少个？解：在900个三位数中，三位数各不相同的有998648（个），三位数全相同的有9个，恰有两位数相同的有900-648-9=243（个）。12.班上有64位同学，身高都有一些微小差异。让他们排成8行8列的方阵。如果从每一行8位同学中挑出一位最高的，那么在挑出的8位同学中一定有一位最矮的同学A。让这些同学回到各自原来的位置站好后，再从每一列8位同学中挑出一位最矮的，那么在挑出的8位同学中一定有一位最高的同学B。且假定A与B是不同的两个人，你看他们谁高？ 解：这是一个很有趣的问题，但要做出满意的回答，却需动动脑筋。首先遇到的问题是A、B两位同学的位置无法确定，更何况64人排成8行8列的方阵，其排法又何止万千！但是，问题真的那么复杂、那么难以解决吗？数学的方法可以为你帮很大的忙。A、B两位同学在方阵中的位置，不外乎以下几种情况：（l）A与B在同一行。这时，A是从这一行中挑出的最高的，所以A比B高；（2）A与B在同一列。这时，因为B是从这一列中挑出的最矮的，所以还是A比B高；（3）A与B既不同行，也不同列。我们总可以找到一个A所在的行与B的在的列相交的位置，假定排在这个位置上的是同学C，则按题目的规定，A比C高，C比B高，所以仍然是A比B高。13.黑板上写着数9,11,13,15,17,19.每一次可以擦去其中任何两个数,再写上这两个数的和减1(例如,可以擦去11和19,再写上29).经过几次之后,黑板上就会仅剩下一个数.这个所剩下的数可能是（ ）解：黑板上写着的六数之和为84.每次操作,黑板上的数就减少1个,而同时黑板上各数之和也减少1.故一共可操作5次,黑板上剩下的数为84-5=79. 14. 在自然数中有很多三位数，其中三个数字之和是5的倍数的三位数共有多少个？分析与解 要想求出三个数字之和是5的倍数的三位数共有多少个，不妨按从小到大的顺序把这些数写出来：104、109、113、118、122、127、显然，用这种寻找答案的方法是可以的，但是太费时间了。我们可以按下面的思路去思考。 这10个连续的三位数的三个数字之和,也正好是10个连续的自然数。例如，A=1，B=2，那么上面写出的10个连续的三位数的三个数字之和为3、4、5、6、7、8、9、10、11、12。其中有而且只有两个三位数的三个数字之和是5的倍数。从100999，这些三位数共900个，每10个连续三位数为一个“数段”，一共可以分成90个“数段”。而每10个连续的三位数中有而且只有2个三位数的三个数字之和是5的倍数，所以在所有的三位数中共有 290=180个三位数，它们的三个数字和是5的倍数。答：三位数中三个数字之和是5的倍数的共有180个。15. 有一串数 1、4、9、16、25、26、49、它们是按一定的规律排列的。那么左起第1994个数比第1993个数大多少？分析与解 仔细观察这串数各数的特征不难发现，这串数是从1开始的自然数的平方数，即12、22、32、42、52、62、72、进而比较相邻两数之差，可以发现4-1=22-12=2+19-4=32-22=3+216-9=42-32=4+325-16=52-42=5+4由此可以推得，左起第1994个数比第1993个数大1994+1993=3987答：左起第1994个数比第1993个数大3987。16. 有1994名同学按编号从小到大排成一排，令奇数号位（1号位、3号位）上的学生离队。余下的同学顺序不变，再令其中站在新编号为奇数号位上的同学离队。依次重复上面的做法，那么最后留下来的同学，在开始时是排在第几号位上的？分析与解:依照题中所说的做法，第一次令奇数号位上的同学离队后，余下的同学，开始时编号是2（211）、4（212）、6（213）、1994（21997），再令余下的同学中站在奇数号位上的同学离队后，剩下的同学开始时的编号是4（221）、8（222）、12（223）、16（224）、1992（22498）依次类推，第9次令余下的同学中站在奇数号位上的同学离队后，剩下的同学开始时的编号是291，292，293。第10次令余下的同学中站在奇数号位上的同学离队后，只剩下一个同学，他开始时的编号是：2101，即1024。答：最后留下来的同学，在开始时是排在第1024号位上的。17. 有甲、乙、丙、丁四个人，他们的年龄一个比一个大2岁，这四个人年龄的乘积是48384。这四个人的年龄各是几岁？分析与解 题中告诉我们，48384是四个人年龄的乘积，只要我们把48384分解质因数，再按照每组相差2来分成四个数相乘，这四个数就是四个人的年龄了。48384=28337=（223）（27）24（232）=12141618由此得出这四个人的年龄分别是12岁、14岁、16岁、18岁。也可以这样想：由题意可知，这四个数是相差2的四个整数。它们的积是偶数，当然这四个数不是奇数，一定是偶数。又因为48384的个位数字不是0，显然这四个数中，没有个位数字是0的，那么这四个数的个位数字一定是2、4、6、8。又因为10448384，而 48384204，所以可以断定，这四个数一定是12、14、16、18。也就是说，这四个人的年龄分别是12岁、14岁、16岁、18岁。答：这四个人的年龄分别是12岁、14岁、16岁、18岁。18.有 A、B、C、D、E五个小足球队参加足球比赛，到现在为止，A队赛了4场，B队赛了3场，C队赛了2场，D队赛了1场。那么E队赛了几场？分析与解 把参赛的五个球队看成平面上不在同一条直线上的五个点，并且没有3个点在一条直线上。这样每两队比赛了1场，就可以用相应的两点间连一条线段来表示。根据各队比赛过的场次可画成图从上图不难看出，E队赛了2场。答：E队赛了2场。19.一个正方体有六个面，分别用字母A、B、C、D、E、F表示。图56是从三个不同角度看到的这个正方体的部分面的字母。那么这个正方体到底哪个面与哪个面相对？分析与解: 观察题中给出的三个图，不容易看出哪个面与哪个面相对。那就换一种思考方法，看看哪个面不对着哪个面，从而得出哪个面与哪个面相对的正确结论。观察图（1）可知，A面不对着D面、E面；观察图（2）可知，A面不对着B面、F面。由此得出，A面一定对着C面。再观察图（2），可以知道，F面不对着A面、B面；观察（3）可以知道，F面不对着C面、D面。那么F面一定对着E面。这样剩下的B面一定对着D面。答：这个正方体的A面对着C面；B面对着D面；E面对着F面。20.一次乒乓球比赛，共有512名乒乓球运动员参加比赛。比赛采用淘汰制赛法，两个人赛一场，失败者被淘汰，将不再参加比赛；获胜者进入下轮比赛，如此进行下去，直到决赛出第一名为止。问这次乒乓球比赛一共要比赛多少场？分析与解: 如果这样去想，第一轮512名运动员参赛，要赛256场；第二轮256名运动员参赛，要赛128场；直到决赛出第一名为止，再将各轮比赛场次加起来，计算出一共要比赛多少场。这种方法是可以的，不过太复杂了。如果按下面的思路思考，那就简单得多了。根据题中所说，比赛采取淘汰制，每比赛一场淘汰掉1人，到最后决赛得出第一名，只有这第一名未被淘汰。也就是说，512名运动员参赛，有511人被淘汰。淘汰一个人就要赛一场，所以这次乒乓球比赛一共要进行511场比赛。答：这次乒乓球比赛，一共要比赛 511场。21.假如每3个空啤酒瓶可以换一瓶啤酒，某人买了10瓶啤酒，那么他最多可以喝到多少瓶啤酒？分析与解一：喝完10瓶后用9个空瓶换来3瓶啤酒(喝完后有4个空瓶） 喝完这三瓶又可以换到1瓶啤酒（喝完后有2个空瓶）这时他有2个空酒瓶，如果他能向老板先借一个空酒瓶，就凑够了3个空瓶可以换到一瓶啤酒，把这瓶喝完后将空瓶还给老板就可以了。所以他最多可以喝： 10+3+1+1=15瓶分析与解二：3个空酒瓶=1瓶酒3个空酒瓶=1个空酒瓶+1瓶的酒 2个空酒瓶=1瓶的酒某人买10瓶酒则可以喝：10+102=15（瓶）22.任意写一个三位数，,把它的数字倒过来写成一个新的三位数。用其中较大的减去较小的，你能得到什么规律得到？解析：假如任意写一个三位数135，把它的数字倒过来写成一个新的三位数就是531531-135=396。换几个另外的三位数，也做同样的计算，分别得到876-678=198，995-599=396，963-369=594。以上4个式子里得到的差，有一个明显的共同点：差的中间一位数字都是9。再仔细看看，还发现一个共同点：差的首、尾两位数字的和等于9。这样，通过观察和归纳，就发现了三位数颠倒相减的规律。还可以再随意写很多三位数颠倒相减的例子，来验证上面得到的规律，结果大部分都完全符合，只有两种例外情形。第一种例外，如594-495=99，差是两位数99，不是三位数。第二种例外，如323-323=0，这时的差是0。由此可见，刚才初步归纳出来的规律，需要作两点小补充：第一，如果差的末位数字是9，这个差一定是99；第二，如果差的末位数字是0，这个差一定是0。在其他情形下，差都是三位数。这样一来，规律就完整了。你可以让你的朋友转过身去，在纸上任意写三位数，然后颠倒相减，只要把差的末位数字告诉你，就能猜出差是多少。例如，朋友说，差的末位数字是8。你一看，末位数字非9非0，那么十位一定是9，百位等于用9减去个位，因而立刻说出，差是198。朋友说，差的末位数字是5。一看这数字非9非0，你就说，差是495。朋友说，差的末位数字是9。一看见数字是9，赶快小心点，见了9，答99，这时的差是99。朋友说，差的末位数字是0。说不定朋友正在暗中发笑，什么末位数字，总共只有一位数字0。你一看，来者是0，小心了，特殊情形，0就是0，这时的差是0。无论哪种情形，只要掌握规律，总能应答如流，一猜就准。 数学杂题练习1.动物园的饲养员给三群猴子分花生。如只分给第一群，则每只猴子可得12粒;如只分给第二群，则每只猴子可得15粒;如只分给第三群，则每只猴子可20粒。那么平均分给三群猴子，每只可得多少粒。2.一个正方体木块放在桌子上，每一面都有一个数，位于对面上的两个数之和都等于13，小张能看到顶面和两个侧面，看到的三个数之和是18;小李能看到顶面和另外两个侧面面，看到的三个数之和是24，那么贴着桌子这个面的数是 。3.小明读一本书，上午读了一部分，这时读的