数学分析III试卷.doc

暨南大学数学分析III试卷A 考生姓名、学号：暨 南 大 学 考 试 试 卷教师填写2011 - 2012 学年度第_一_学期课程名称：_数学分析III （答案）_授课教师姓名：_ _ 考试时间:_2012_年_1_月_6_日课程类别必修 选修 考试方式开卷 闭卷 试卷类别(A、B) A 共 6 页考生填写 学院(校) 专业 班(级)姓名 学号 内招 外招 题 号一二三四五六七八九十总 分得 分得分评阅人一、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）1. = 2 2. 函数在点处沿方向（其方向角分别为）的方向导数为.3. 已知，则=4. 设区域，作适当极坐标变换，则= 5. 在上不一致收敛是指，6. 设为曲线相应于从到的这段弧，则.得分评阅人二、单项选择题（本题共8小题，每小题2分，满分16分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）1. 的聚点集合是（ C ） A B C D空集2. 设函数 在 处可微，且则在该点处（ B ） A 必有极值，可能为极大值，也可能为极小值； B 可能有极值也可能无极值； C必有极大值； D 必有极小值.3. 累次积分交换积分顺序后，正确的是( B )A； B； C； D4函数在点处的全微分为( B )A B C D5. 设具有连续偏导数，且，。如果，则=（ B ）.A B C D 6. 设曲面由方程给出，为曲面在面上的投影区域，函数在上具有连续偏导数，则曲面的面积的计算公式为( C )A B C D都不对 7. 下列命题正确的是（ A ）A隐函数定理是一个局部定理. B若方程在的某邻域能确定一个隐函数，也一定能确定一个隐函数. C若不满足隐函数定理的条件，则一定不能唯一确定一个隐函数. D若方程确定的隐函数为.则. 8. 下列积分与路线有关的是( C )A BC D.得分评阅人三、计算题（共5小题，每小题9分，共45分）1假设具有二阶连续偏导数，求 解： 4分。5分2计算的值.解：=-，故 2分= 1分因为在上连续，对于，因，而收敛，由判别法知一致收敛，根据积分交换定理（注：此处必须说明为什么积分可交换的原因，否则扣3分），有 4分=-= 2分3. 求函数在条件下的最小值，其中为正整数，. 解：设 . 2分对求偏导数，并令它们都等于0，则有，解得. 3分由于当或时，.（或：由，则，则，在处，），（注：此处必须说明理由，否则扣2分） 3分故函数必在其惟一稳定点处取得最小值，最小值. 1分 4. 计算,其中为一条无重点,分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,的方向为逆时针方向. 解：记所围成的闭区域为,令,则当时,有.3分(1) 当时, 由格林公式知 2分(2) 当时,作位于内圆周 ,记由和所围成, 应用格林公式,得所以 =4分5. 计算曲面积分，其中是上半球面的外侧. 解：设,且方向向下,则与构成封闭曲面. 2分显然有.所以 2分原式. 5分得分评阅人四、证明题（共2小题，共21分）1. 证明：,其中D由所围成（8分）证 作变换 ，则，变换的Jacobi行列式为 。4分于是 。4分2证明函数在点连续且偏导数存在，但偏导数在不连续，而在原点可微. （13分） 证 由于因此点连续. 2分由偏导数定义知. 2分而当时但由于，而令 ，则 固定，取，则，其极限随的变动而改变，故不存在（注：此处必须说明该极限为什么不存在，如