直线和圆的位置关系拔高练习及解析.doc

直线和圆的位置关系拔高练习及解析一解答题（共30小题）1如图，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点（不与B，C重合），PE是ABP的外接圆O的直径（1）求证：APE是等腰直角三角形；（2）若O的直径为2，求PC2+PB2的值2如图，已知AB是O的直径，点C在O上，CD是O的切线，ADCD于点D，E是AB延长线上一点，CE交O于点F，连接OC、AC（1）求证：AC平分DAO（2）若DAO=105，E=30求OCE的度数；若O的半径为2，求线段EF的长3如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径的O交BC于点D，过点D作O的切线DE，交AC于点E，AC的反向延长线交O于点F（1）求证：DEAC；（2）若DE+EA=8，O的半径为10，求AF的长度4如图，在RtABC中，C=Rt，以BC为直径的O交AB于点D，切线DE交AC于点E（1）求证：A=ADE；（2）若AD=16，DE=10，求BC的长5如图，AB是O的弦，BC切O于点B，ADBC，垂足为D，OA是O的半径，且OA=3（1）求证：AB平分OAD；（2）若点E是优弧上一点，且AEB=60，求扇形OAB的面积（计算结果保留）6如图，AB是O的直径，AC是上半圆的弦，过点C作O的切线DE交AB的延长线于点E，过点A作切线DE的垂线，垂足为D，且与O交于点F，设DAC，CEA的度数分别是，（1）用含的代数式表示，并直接写出的取值范围；（2）连接OF与AC交于点O，当点O是AC的中点时，求，的值7已知：AB为O的直径，AB=2，弦DE=1，直线AD与BE相交于点C，弦DE在O上运动且保持长度不变，O的切线DF交BC于点F（1）如图1，若DEAB，求证：CF=EF；（2）如图2，当点E运动至与点B重合时，试判断CF与BF是否相等，并说明理由8已知，四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，DE=EC，以AE为直径的O与边CD相切于点DB点在O上，连接OB（1）求证：DE=OE；（2）若CDAB，求证：四边形ABCD是菱形9如图，AB为O的直径，D为的中点，连接OD交弦AC于点F，过点D作DEAC，交BA的延长线于点E（1）求证：DE是O的切线；（2）连接CD，若OA=AE=4，求四边形ACDE的面积10如图，已知AB为O的直径，AD、BD是O的弦，BC是O的切线，切点为B，OCAD，BA、CD的延长线相交于点E（1）求证：DC是O的切线；（2）若AE=1，ED=3，求O的半径11如图，已知AB是O的直径，过O点作OPAB，交弦AC于点D，交O于点E，且使PCA=ABC（1）求证：PC是O的切线；（2）若P=60，PC=2，求PE的长12如图，O是ABC的外接圆，BC为O的直径，点E为ABC的内心，连接AE并延长交O于D点，连接BD并延长至F，使得BD=DF，连接CF、BE（1）求证：DB=DE；（2）求证：直线CF为O的切线13如图，O中，直径CD弦AB于E，AMBC于M，交CD于N，连AD（1）求证：AD=AN； （2）若AB=4，ON=1，求O的半径14在RtABC中，ACB=90，以点A为圆心，AC为半径，作A交AB于点D，交CA的延长线于点E，过点E作AB的平行线EF交A于点F，连接AF、BF，DF（1）求证：BFAF；（2）当CAB等于多少度时，四边形ADEF为菱形？请给予证明15如图，已知ED为O的直径且ED=4，点A（不与E、D重合）为O上一个动点，线段AB经过点E，且EA=EB，F为O上一点，FEB=90，BF的延长线交AD的延长线交于点C（1）求证：EFBADE；（2）当点A在O上移动时，直接回答四边形FCDE的最大面积为多少16如图，AB是O的直径，点C为AB上一点，作CDAB交O于D，连接AD，将ACD沿AD翻折至ACD（1）请你判断CD与O的位置关系，并说明理由；（2）过点B作BBCD于B，交O于E，若CD=，AC=3，求BE的长17如图，ABC为等边三角形，以边BC为直径的半圆与边AB，AC分别交于D，F两点，过点D作DEAC，垂足为点E（1）判断DE与O的位置关系，并证明你的结论；（2）过点F作FHBC，垂足为点H，若AB=4，则弦FC和弧FC组成的弓形面积 18如图，OA和OB是O的半径，并且OAOB，P是OA上任一点，BP的延长线交O于Q，过Q的O的切线交OA的延长线于R求证：RP=RQ19已知O中，AC为直径，MA、MB分别切O于点A、B（1）如图，若BAC=23，求AMB的大小；（）如图，过点B作BDMA，交AC于点E，交O于点D，若BD=MA，求AMB的大小20如图，OA是O的半径，弦CD垂直平分OA于点B，延长CD至点P，过点P作O的切线PE，切点为E，连接AE交CD于点F（1）若CD=6，求O的半径；（2）若A=20，求P的度数21如图，在ABC中，AB=AC，以AC为直径作O交BC于点D，过点D作O的切线，交AB于点E，交CA的延长线于点F（1）求证：EFAB；（2）若C=30，EF=，求EB的长22如图，O的弦ADBC，过点D的切线交BC的延长线于点E，ACDE交BD于点H，DO及延长线分别交AC、BC于点G、F（1）求证：DF垂直平分AC；（2）若弦AD=10，AC=16，求O的半径23如图，AB为半圆的直径，O为圆心，C为圆弧上一点，AD垂直于过C点的切线，垂足为D，AB的延长线交直线CD于点E（1）求证：AC平分DAB；（2）若AB=4，B为OE的中点，CFAB，垂足为点F，求CF的长24在O中，AB为直径，C为O上一点（）如图，过点C作O的切线，与AB的延长线相交于点P，若CAB=32，求P的大小；（）如图，D为优弧ADC上一点，且DO的延长线经过AC的中点E，连接DC与AB相交于点P，若CAB=16，求DPA的大小25如图，AB是O的直径，C是O是一点，过点B作O的切线，与AC延长线交于点D，连接BC，OEBC交O于点E，连接BE交AC于点H（1）求证：BE平分ABC；（2）连接OD，若BH=BD=2，求OD的长26如图，在ABC中，点O在边AC上，O与ABC的边AC，AB分别切于C、D两点，与边AC交于点E，弦与AB平行，与DO的延长线交于M点（1）求证：点M是CF的中点；（2）若E是的中点，连结DF，DC，试判断DCF的形状；（3）在（2）的条件下，若BC=a，求AE的长27如图，已知等腰三角形ABC的底角为30，以BC为直径的O与底边AB交于点D，DE是O的切线，连结OD，OE（1）求证：DEA=90；（2）若BC=4，写出求OEC的面积的思路28如图，AB是O的直径，PA切O于A，OP交O于C，连接BC（）如图，若P=20，求BCO的度数；（）如图，过A作弦ADOP于E，连接DC，若OE=CD，求P的度数29已知AB为O的直径，C为O上一点，AB=2AC（1）如图，点P是弧BC上一点，求APC的大小；（2）如图，过点C作O的切线MC，过点B作BDMC于点D，BD与O交于点E，若AB=4，求CE的长30如图，O的直径AB=12cm，AM和BN是它的两条切线，DE与O相切于点E，并与AM，BN分别相交于D，C两点（）若ADC=122，求BCD的度数；（）设AD=x，BC=y，求y关于x的函数解析式2017年07月25日神州N号的初中数学组卷参考答案与试题解析一解答题（共30小题）1（2017台州）如图，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点（不与B，C重合），PE是ABP的外接圆O的直径（1）求证：APE是等腰直角三角形；（2）若O的直径为2，求PC2+PB2的值【分析】（1）只要证明AEP=ABP=45，PAB=90即可解决问题；（2）作PMAC于M，PNAB于N，则四边形PMAN是矩形，可得PM=AN，由PCM，PNB都是等腰直角三角形，推出PC=PM，PB=PN，可得PC2+PB2=2（PM2+PN2）=2（AN2+PN2）=2PA2=PE2=22=4；【解答】（1）证明：AB=AC，BAC=90，C=ABC=45，AEP=ABP=45，PE是直径，PAB=90，APE=AEP=45，AP=AE，PAE是等腰直角三角形（2）作PMAC于M，PNAB于N，则四边形PMAN是矩形，PM=AN，PCM，PNB都是等腰直角三角形，PC=PM，PB=PN，PC2+PB2=2（PM2+PN2）=2（AN2+PN2）=2PA2=PE2=22=4（也可以证明ACPABE，PBE是直角三角形）【点评】本题考查三角形的外接圆与外心、勾股定理、矩形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型2（2017金华）如图，已知AB是O的直径，点C在O上，CD是O的切线，ADCD于点D，E是AB延长线上一点，CE交O于点F，连接OC、AC（1）求证：AC平分DAO（2）若DAO=105，E=30求OCE的度数；若O的半径为2，求线段EF的长【分析】（1）由切线性质知OCCD，结合ADCD得ADOC，即可知DAC=OCA=OAC，从而得证；（2）由ADOC知EOC=DAO=105，结合E=30可得答案；作OGCE，根据垂径定理及等腰直角三角形性质知CG=FG=OG，由OC=2得出CG=FG=OG=2，在RtOGE中，由E=30可得答案【解答】解：（1）CD是O的切线，OCCD，ADCD，ADOC，DAC=OCA，OC=OA，OCA=OAC，OAC=DAC，AC平分DAO；（2）ADOC，EOC=DAO=105，E=30，OCE=45；作OGCE于点G，则CG=FG=OG，OC=2，OCE=45，CG=OG=2，FG=2，在RtOGE中，E=30，GE=2，【点评】本题主要考查圆的切线的性质、平行线的判定与性质、垂径定理及等腰直角三角形性质，熟练掌握切线的性质、平行线的判定与性质、垂径定理及等腰直角三角形性质是解题的关键3（2017东营）如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径的O交BC于点D，过点D作O的切线DE，交AC于点E，AC的反向延长线交O于点F（1）求证：DEAC；（2）若DE+EA=8，O的半径为10，求AF的长度【分析】（1）欲证明DEAC，只需推知ODAC即可；（2）如图，过点O作OHAF于点H，构建矩形ODEH，设AH=x则由矩形的性质推知：AE=10x，OH=DE=8（10x）=x2在RtAOH中，由勾股定理知：x2+（x2）2=102，通过解方程得到AH的长度，结合OHAF，得到AF=2AH=28=16【解答】（1）证明：OB=OD，ABC=ODB，AB=AC，ABC=ACB，ODB=ACB，ODACDE是O的切线，OD是半径，DEOD，DEAC；（2）如图，过点O作OHAF于点H，则ODE=DEH=OHE=90，四边形ODEH是矩形，OD=EH，OH=DE设AH=xDE+AE=8，OD=10，AE=10x，OH=DE=8（10x）=x2在RtAOH中，由勾股定理知：AH2+OH2=OA2，即x2+（x2）2=102，解得x1=8，x2=6（不合题意，舍去）AH=8OHAF，AH=FH=AF，AF=2AH=28=16【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，矩形的判定与性质解题时，利用了方程思想，属于中档题4（2017丽水）如图，在RtABC中，C=Rt，以BC为直径的O交AB于点D，切线DE交AC于点E（1）求证：A=ADE；（2）若AD=16，DE=10，求BC的长【分析】（1）只要证明A+B=90，ADE+B=90即可解决问题；（2）首先证明AC=2DE=20，在RtADC中，DC=12，设BD=x，在RtBDC中，BC2=x2+122，在RtABC中，BC2=（x+16）2202，可得x2+122=（x+16）2202，解方程即可解决问题；【解答】（1）证明：连接OD，DE是切线，ODE=90，ADE+BDO=90，ACB=90，A+B=90，OD=OB，B=BDO，ADE=A（2）连接CDADE=A，AE=DE，BC是O的直径，ACB=90，EC是O的切线，ED=EC，AE=EC，DE=10，AC=2DE=20，在RtADC中，DC=12，设BD=x，在RtBDC中，BC2=x2+122，在RtABC中，BC2=（x+16）2202，x2+122=（x+16）2202，解得x=9，BC=15【点评】本题考查切线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型5（2017郴州）如图，AB是O的弦，BC切O于点B，ADBC，垂足为D，OA是O的半径，且OA=3（1）求证：AB平分OAD；（2）若点E是优弧上一点，且AEB=60，求扇形OAB的面积（计算结果保留）【分析】（1）连接OB，由切线的性质得出OBBC，证出ADOB，由平行线的性质和等腰三角形的性质证出DAB=OAB，即可得出结论；（2）由圆周角定理得出AOB=120，由扇形面积公式即可得出答案【解答】（1）证明：连接OB，如图所示：BC切O于点B，OBBC，ADBC，ADOB，DAB=OBA，OA=OB，OAB=OBA，DAB=OAB，AB平分OAD；（2）解：点E是优弧上一点，且AEB=60，AOB=2AEB=120，扇形OAB的面积=3【点评】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、圆周角定理、扇形面积公式等知识；熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解决问题的关键6（2017玉林）如图，AB是O的直径，AC是上半圆的弦，过点C作O的切线DE交AB的延长线于点E，过点A作切线DE的垂线，垂足为D，且与O交于点F，设DAC，CEA的度数分别是，（1）用含的代数式表示，并直接写出的取值范围；（2）连接OF与AC交于点O，当点O是AC的中点时，求，的值【分析】（1）首先证明DAE=2，在RtADE中，根据两锐角互余，可知2+=90，（045）；（2）连接OF交AC于O，连接CF只要证明四边形AFCO是菱形，推出AFO是等边三角形即可解决问题；【解答】解：（1）连接OCDE是O的切线，OCDE，ADDE，ADOC，DAC=ACO，OA=OC，OCA=OAC，DAE=2，D=90，DAE+E=90，2+=90（045）（2）连接OF交AC于O，连接CFAO=CO，ACOF，FA=FC，FAC=FCA=CAO，CFOA，AFOC，四边形AFCO是平行四边形，OA=OC，四边形AFCO是菱形，AF=AO=OF，AOF是等边三角形，FAO=2=60，=30，2+=90，=30，=30【点评】本题考查切线的性质、垂径定理、菱形的判定等边三角形的判定和性质等知识，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型7（2017威海）已知：AB为O的直径，AB=2，弦DE=1，直线AD与BE相交于点C，弦DE在O上运动且保持长度不变，O的切线DF交BC于点F（1）如图1，若DEAB，求证：CF=EF；（2）如图2，当点E运动至与点B重合时，试判断CF与BF是否相等，并说明理由【分析】（1）如图1，连接OD、OE，证得OAD、ODE、OEB、CDE是等边三角形，进一步证得DFCE即可证得结论；（2）根据切线的性质以及等腰三角形的性质即可证得结论【解答】证明：如图1，连接OD、OE，AB=2，OA=OD=OE=OB=1，DE=1，OD=OE=DE，ODE是等边三角形，ODE=OED=60，DEAB，AOD=ODE=60，EOB=OED=60，AOD和BOE是等边三角形，OAD=OBE=60，CDE=OAD=60，CED=OBE=60，CDE是等边三角形，DF是O的切线，ODDF，EDF=9060=30，DFE=90，DFCE，CF=EF；（2）相等；如图2，点E运动至与点B重合时，BC是O的切线，O的切线DF交BC于点F，BF=DF，BDF=DBF，AB是直径，ADB=BDC=90，FDC=C，DF=CF，BF=CF【点评】本题考查了切线的性质、平行线的性质、等边三角形的判定、等腰三角形的判定和性质，作出辅助线构建等边三角形是解题的关键8（2017宜昌）已知，四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，DE=EC，以AE为直径的O与边CD相切于点DB点在O上，连接OB（1）求证：DE=OE；（2）若CDAB，求证：四边形ABCD是菱形【分析】（1）先判断出2+3=90，再判断出1=2即可得出结论；（2）先判断出ABOCDE得出AB=CD，即可判断出四边形ABCD是平行四边形，最后判断出CD=AD即可【解答】解：（1）如图，连接OD，CD是O的切线，ODCD，2+3=1+COD=90，DE=EC，1=2，3=COD，DE=OE；（2）OD=OE，OD=DE=OE，3=COD=DEO=60，2=1=30，OA=OB=OE，OE=DE=EC，OA=OB=DE=EC，ABCD，4=1，1=2=4=OBA=30，ABOCDE，AB=CD，四边形AD是平行四边形，DAE=DOE=30，1=DAE，CD=AD，ABCD是菱形【点评】此题是切线的性质，主要考查了同角的余角相等，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，判断出ABOCDE是解本题的关键9（2017通辽）如图，AB为O的直径，D为的中点，连接OD交弦AC于点F，过点D作DEAC，交BA的延长线于点E（1）求证：DE是O的切线；（2）连接CD，若OA=AE=4，求四边形ACDE的面积【分析】（1）欲证明DE是O的切线，只要证明ACOD，EDOD即可（2）由AFOCFD（SAS），推出SAFO=SCFD，推出S四边形ACDE=SODE，求出ODE的面积即可【解答】（1）证明：D为的中点，ODAC，ACDE，ODDE，DE是O的切线；（2）解：连接DC，D为的中点，ODAC，AF=CF，ACDE，且OA=AE，F为OD的中点，即OF=FD，在AFO和CFD中，AFOCFD（SAS），SAFO=SCFD，S四边形ACDE=SODE在RtODE中，OD=OA=AE=4，OE=8，DE=4，S四边形ACDE=SODE=ODDE=44=8【点评】本题考查切线的判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型10（2017凉山州）如图，已知AB为O的直径，AD、BD是O的弦，BC是O的切线，切点为B，OCAD，BA、CD的延长线相交于点E（1）求证：DC是O的切线；（2）若AE=1，ED=3，求O的半径【分析】（1）首选连接OD，易证得CODCOB（SAS），然后由全等三角形的对应角相等，求得CDO=90，即可证得直线CD是O的切线；（2）设O的半径为R，则OE=R+1，在RtODE中，利用勾股定理列出方程，求解即可【解答】解：（1）证明：连结DOADOC，DAO=COB，ADO=COD又OA=OD，DAO=ADO，COD=COB在COD和COB中OD=OB，OC=OC，CODCOB（SAS），CDO=CBOBC是O的切线，CBO=90，CDO=90，又点D在O上，CD是O的切线；（2）设O的半径为R，则OD=R，OE=R+1，CD是O的切线，EDO=90，ED2+OD2=OE2，32+R2=（R+1）2，解得R=2，O的半径为2【点评】本题主要考查的是切线的判断、圆周角定理的应用，掌握切线的判定定理，利用勾股定理列出关于r的方程是解题的关键11（2017永州）如图，已知AB是O的直径，过O点作OPAB，交弦AC于点D，交O于点E，且使PCA=ABC（1）求证：PC是O的切线；（2）若P=60，PC=2，求PE的长【分析】（1）连接OC，由AB是O的直径，得到ACB=90，求得BCO+ACO=90，根据等腰三角形的性质得到B=BCO，等量代换得到BCO=ACP，求得OCP=90，于是得到结论；（2）解直角三角形即可得到结论【解答】解：（1）连接OC，AB是O的直径，ACB=90，BCO+ACO=90，OC=OB，B=BCO，PCA=ABC，BCO=ACP，ACP+OCA=90，OCP=90，PC是O的切线；（2）P=60，PC=2，PCO=90，OC=2，OP=2PC=4，PE=OPOE=OPOC=4【点评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，解直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键12（2017黄石）如图，O是ABC的外接圆，BC为O的直径，点E为ABC的内心，连接AE并延长交O于D点，连接BD并延长至F，使得BD=DF，连接CF、BE（1）求证：DB=DE；（2）求证：直线CF为O的切线【分析】（1）欲证明DB=DE，只要证明DBE=DEB；（2）欲证明直线CF为O的切线，只要证明BCCF即可；【解答】（1）证明：E是ABC的内心，BAE=CAE，EBA=EBC，BED=BAE+EBA，DBE=EBC+DBC，DBC=EAC，DBE=DEB，DB=DE（2）连接CDDA平分BAC，DAB=DAC，=，BD=CD，BD=DF，CD=DB=DF，BCF=90，BCCF，CF是O的切线【点评】本题考查三角形的内切圆与内心、切线的判定、等腰三角形的判定、直角三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型13（2017临沂模拟）如图，O中，直径CD弦AB于E，AMBC于M，交CD于N，连AD（1）求证：AD=AN； （2）若AB=4，ON=1，求O的半径【分析】（1）先根据圆周角定理得出BAD=BCD，再由直角三角形的性质得出ANE=CNM，故可得出BCD=BAM，由全等三角形的判定定理得出ANEADE，故可得出结论；（2）先根据垂径定理求出AE的长，设NE=x，则OE=x1，NE=ED=x，r=OD=OE+ED=2x1连结AO，则AO=OD=2x1，在RtAOE中根据勾股定理可得出x的值，进而得出结论【解答】（1）证明：BAD与BCD是同弧所对的圆周角，BAD=BCD，AECD，AMBC，AMC=AEN=90，ANE=CNM，BCD=BAM，BAM=BAD，在ANE与ADE中，ANEADE，AD=AN；（2）解：AB=4，AECD，AE=2，又ON=1，设NE=x，则OE=x1，NE=ED=x，r=OD=OE+ED=2x1连结AO，则AO=OD=2x1，AOE是直角三角形，AE=2，OE=x1，AO=2x1，（2）2+（x1）2=（2x1）2，解得x=2，r=2x1=3【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键14（2017河南一模）在RtABC中，ACB=90，以点A为圆心，AC为半径，作A交AB于点D，交CA的延长线于点E，过点E作AB的平行线EF交A于点F，连接AF、BF，DF（1）求证：BFAF；（2）当CAB等于多少度时，四边形ADEF为菱形？请给予证明【分析】（1）首先利用平行线的性质得到FAB=CAB，然后利用SAS证得两三角形全等，得出对应角相等即可；（2）当CAB=60时，四边形ADFE为菱形，根据CAB=60，得到FAB=CAB=CAB=60，从而得到EF=AD=AE，利用邻边相等的平行四边形是菱形进行判断四边形ADFE是菱形【解答】（1）证明：EFAB，E=CAB，EFA=FAB，E=EFA，FAB=CAB，在ABC和ABF中，ABCABF（SAS），AFB=ACB=90，BFAF；（2）解：当CAB=60时，四边形ADFE为菱形理由如下：CAB=60，FAB=CAB=CAB=60，EF=AD=AE，四边形ADFE是菱形【点评】本题考查了菱形的判定、全等三角形的判定与性质及圆周角定理的知识，解题的关键是了解菱形的判定方法及全等三角形的判定方法，难度不大15（2017平顶山二模）如图，已知ED为O的直径且ED=4，点A（不与E、D重合）为O上一个动点，线段AB经过点E，且EA=EB，F为O上一点，FEB=90，BF的延长线交AD的延长线交于点C（1）求证：EFBADE；（2）当点A在O上移动时，直接回答四边形FCDE的最大面积为多少【分析】（1）连接FA，根据垂直的定义得到EFAB，得到BF=AF，推出BF=ED，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到B=AED，得到DEBC，推出四边形形FCDE，得到E到BC的距离最大时，四边形FCDE的面积最大，即点A到DE的距离最大，推出当A为的中点时，于是得到结论【解答】解：（1）连接FA，FEB=90，EFAB，BE=AE，BF=AF，FEA=FEB=90，AF是O的直径，AF=DE，BF=ED，在RtEFB与RtADE中，RtEFBRtADE；（2）RtEFBRtADE，B=AED，DEBC，ED为O的直径，ACAB，EFAB，EFCD，四边形形FCDE，E到BC的距离最大时，四边形FCDE的面积最大，即点A到DE的距离最大，当A为的中点时，点A到DE的距离最大是2，四边形FCDE的最大面积=42=8【点评】本题考查了圆周角定理，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键16（2017梁子湖区模拟）如图，AB是O的直径，点C为AB上一点，作CDAB交O于D，连接AD，将ACD沿AD翻折至ACD（1）请你判断CD与O的位置关系，并说明理由；（2）过点B作BBCD于B，交O于E，若CD=，AC=3，求BE的长【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质得到OAD=ADO，根据折叠的性质得到CDA=CDA，于是得到结论；（2）连接AE，BD，由AB是O的直径，得到AEBE，ADBD，推出四边形AEBC是矩形，得到AC=BE，AE=CB，根据折叠的性质得到AC=AC=3，CD=CD=，根据平行线等分线段定理得到AO=BO，得到AE=2，根据射影定理得到CB=7，由勾股定理即可得到结论【解答】解：（1）CD是O的切线，理由：连接OD，OD=OA，OAD=ADO，将ACD沿AD翻折至ACD，CDA=CDA，CDAB，DAC+ADC=90，ADO+CDA=90，ODCD，CD是O的切线；（2）连接AE，BD，AB是O的直径，AEBE，ADBD，BBCD，C=B=AEB=90，四边形AEBC是矩形，AC=BE，AE=CB，将ACD沿AD翻折至ACD，AC=AC=3，CD=CD=，ACCB，ODCB，ACODBB，AO=BO，CB=2CD=2，AE=2，DCAB，CD2=ACCB，CB=7，AB=10，BE=4【点评】本题考查了切线的判定，平行线等分线段定理，勾股定理，矩形的判定和性质，射影定理，折叠的性质，正确的作出辅助线是解题的关键17（2017沈河区二模）如图，ABC为等边三角形，以边BC为直径的半圆与边AB，AC分别交于D，F两点，过点D作DEAC，垂足为点E（1）判断DE与O的位置关系，并证明你的结论；（2）过点F作FHBC，垂足为点H，若AB=4，则弦FC和弧FC组成的弓形面积【分析】（1）连接OD，由等边三角形的性质得出AB=BC，B=C=60，证出OBD是等边三角形，得出BOD=C，证出ODAC，得出DEOD，即可得出结论；（2）先证明OCF是等边三角形，得出CF=OC=BC=AB=2，再由三角函数即可求出FH，然后根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论【解答】解：（1）DE是O的切线；理由如下：连接OD，如图1所示：ABC是等边三角形，AB=BC=AC，B=C=60，OB=OD，OBD是等边三角形，BOD=60，BOD=C，ODAC，DEAC，DEOD，DE是O的切线；（2）连接OF，如图2所示：OC=OF，C=60，OCF是等边三角形，COF=60，CF=OC=BC=AB=2，FHBC，FHC=90，FH=CFsinC=2=，弦FC和弧FC组成的弓形面积=S扇形COFSCOF=2=，故答案为：【点评】本题考查了切线的判定、等边三角形的性质与判定、平行线的判定、三角函数；熟练掌握等边三角形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键18（2017娄底模拟）如图，OA和OB是O的半径，并且OAOB，P是OA上任一点，BP的延长线交O于Q，过Q的O的切线交OA的延长线于R求证：RP=RQ【分析】首先连接OQ，由切线的性质，可得OQB+BQR=90，又由OAOB，可得OPB+B=90，继而可证得PQR=BPO=RPQ，则可证得RP=RQ【解答】证明：连接OQ，RQ是O的切线，OQQR，OQB+BQR=90OAOB，OPB+B=90又OB=OQ，OQB=BPQR=BPO=RPQRP=RQ【点评】此题考查了切线的性质、等腰三角形的性质以及垂直的定义此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用19（2017红桥区三模）已知O中，AC为直径，MA、MB分别切O于点A、B（1）如图，若BAC=23，求AMB的大小；（）如图，过点B作BDMA，交AC于点E，交O于点D，若BD=MA，求AMB的大小【分析】（1）根据切线性质求出OBM=OAM=90，根据圆周角定理求出COB，求出BOA，即可求出答案；（2）连接AB、AD，得出平行四边形，推出MB=AD，推出AB=AD，求出等边三角形AMB，即可得出答案【解答】解：（1）连接OB，MA、MB分别切O于A、B，OBM=OAM=90，弧BC对的圆周角是BAC，圆心角是BOC，BAC=23，BOC=2BAC=46，BOA=18046=134，AMB=3609090134=46（2）连接AD，AB，BDAM，DB=AM，四边形BMAD是平行四边形，BM=AD，MA切O于A，ACAM，BDAM，BDAC，AC过O，BE=DE，AB=AD=BM，MA、MB分别切O于A、B，MA=MB，BM=MA=AB，BMA是等边三角形，AMB=60【点评】本题考查了等边三角形性质和判定，切线性质，线段垂直平分线性质，垂径定理，平行四边形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运行性质进行推理的能力20（2017临沂模拟）如图，OA是O的半径，弦CD垂直平分OA于点B，延长CD至点P，过点P作O的切线PE，切点为E，连接AE交CD于点F（1）若CD=6，求O的半径；（2）若A=20，求P的度数【分析】（1）首先连接OC，由PC垂直平分O的半径OA，可求得BC与OC的长，由勾股定理即可求得O的半径；（2）由PE是O的切线，可求得AEO=90，又由A=20，可求得AOE的度数，继而求得答案【解答】解：（1）连接OC，PC垂直平分O的半径OA，BC=CD=6=3，OC=2OB，OB2+BC2=OC2，OC=2；（2）PE是O的切线，PEO=90，OE=OA，AEO=A=20，AOE=140，P=3609090140=40【点评】此题考查了切线的性质、勾股定理以及等腰三角形的性质此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用21（2017灌南县三模）如图，在ABC中，AB=AC，以AC为直径作O交BC于点D，过点D作O的切线，交AB于点E，交CA的延长线于点F（1）求证：EFAB；（2）若C=30，EF=，求EB的长【分析】（1）连接AD、OD，根据直径所对的圆周角是直角求出ADC=90，根据等腰三角形的性质证明D是BC的中点，得到OD是ABC的中位线，根据切线的性质证明结论；（2）根据三角形的内角和得到AOD=60，F=30，根据直角三角形的性质得到OA=OD=OF，求得AE=根据平行线等分线段定理得到OD=2AE=2，AB=2OD=4，由线段的和差即可得到结论【解答】（1）证明：连接AD、OD，AC为O的直径，ADC=90，又AB=AC，CD=DB，又CO=AO，ODAB，FD是O的切线，ODEF，FEAB；（2）C=30，AOD=60，F=30，OA=OD=OF，AEF=90EF=，AE=，ODAB，OA=OC=AF，OD=2AE=2，AB=2OD=4，EB=3【点评】本题考查的是切线的性质和平行线分线段成比例定理，掌握圆的切线垂直于过切点的半径和等腰三角形的三线合一是解题的关键22（2017杜尔伯特县一模）如图，O的弦ADBC，过点D的切线交BC的延长线于点E，ACDE交BD于点H，DO及延长线分别交AC、BC于点G、F（1）求证：DF垂直平分AC；（2）若弦AD=10，AC=16，求O的半径【分析】（1）根据切线的性质得DFDE，再利用平行线的性质可判断DFAC，然后根据垂径定理即可得到结论；（2）连结AO，如图，先利用勾股定理计算出GD=6，设圆的半径为r，则OG=r6，再在RtAOG中利用勾股定理得到r2=（r6）2+82，然后解方程求出r即可【解答】（1）证明：DE是O的切线，且DF过圆心O，DFDE，又ACDE，DFAC，DF垂直平分AC；（2）解：连结AO，如图，AG=GC，AC=16，AG=8，在RtAGD中，GD=6，设圆的半径为r，则OG=r6，在RtAOG中，AO2=OG2+AG2，r2=（r6）2+82，解得 r=，即O的半径为【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径也考查了垂径定理和勾股定理23（2017丰台区二模）如图，AB为半圆的直径，O为圆心，C为圆弧上一点，AD垂直于过C点的切线，垂足为D，AB的延长线交直线CD于点E（1）求证：AC平分DAB；（2）若AB=4，B为OE的中点，CFAB，垂足为点F，求CF的长【分析】（1）连结OC，如图，先利用切线的性质得OCCE，加上ADCE，则可判断OCAD，根据平行线的性质得1=3，由于2=3，则1=2；（2）由AB=4，B为OE的中点得到OC=OB=BE=2，根据含30度的直角三角形三边的关系，在RtOCE中得到E=30，则COE=60，然后在RtOCF中根据含30度的直角三角形三边的关系求解【解答】（1）证明：连结OC，如图，直线CE与O相切于点C，OCCE，ADCE，OCAD，1=3，OA=OC，2=3，1=2，AC平分DAB；（2）解：AB=4，B为OE的中点，OC=2，OB=BE=2，在RtOCE中，OC=OE，E=30，COE=60，在RtOCF中，OCF=30，OF=OC=1，CF=OF=【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题也考查了解直角三角形24（2017河西区一模）在O中，AB为直径，C为O上一点（）如图，过点C作O的切线，与AB的延长线相交于点P，若CAB=32，求P的大小；（）如图，D为优弧ADC上一点，且DO的延长线经过AC的中点E，连接DC与AB相交于点P，若CAB=16，求DPA的大小【分析】（）连接OC，如