第2章 计算机图形学数学基础

第2章计算机图形学的数学基础 数学的重要性 计算机图形学中的理论依据为数学 主要是线性代数部分向量矩阵 定义1 分量全为复数的向量称为复向量 分量全为实数的向量称为实向量 第一部分向量 例如 维向量的表示方法 维向量写成一行 称为行向量 也就是行矩阵 通常用等表示 如 维向量写成一列 称为列向量 也就是列矩阵 通常用等表示 如 注意 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量 行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算 当没有明确说明是行向量还是列向量时 都当作列向量 向量 向量空间 空间 叫做维向量空间 时 维向量没有直观的几何形象 叫做维向量空间中的维超平面 确定飞机的状态 需要以下6个参数 飞机重心在空间的位置参数P x y z 机身的水平转角 机身的仰角 机翼的转角 所以 确定飞机的状态 需用6维向量 维向量的实际意义 定义2 令 向量的长度具有下述性质 向量的长度及性质 解 单位向量 夹角 定义1 内积 内积 数量积 的定义及性质 说明 1维向量的内积是3维向量数量积的推广 但是没有3维向量直观的几何意义 内积的运算性质 向量积的定义及性质 设响亮z是由两个向量x和y按下列方式给出 z的长度Z的方向垂直于x与y所决定的平面 z的指向按右手规则从x转向y来决定则向量z叫做向量x与y的向量积 正交的概念 正交向量组的概念 正交 若一非零向量组中的向量两两正交 则称该向量组为正交向量组 正交向量组的概念及求法 证明 正交向量组的性质 例1已知三维向量空间中两个向量 正交 试求使构成三维空间的一个正交基 向量空间的正交基 即 解之得 由上可知构成三维空间的一个正交基 则有 解 规范正交基 例如 同理可知 1 正交化 取 求规范正交基的方法 2 单位化 取 解先正交化 取 施密特正交化过程 再单位化 得规范正交向量组如下 例 解 再把它们单位化 取 几何解释 例 解 把基础解系正交化 即合所求 亦即取 1 线性方程组 的解取决于 系数 常数项 一 矩阵概念的引入 对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究 线性方程组的系数与常数项按原位置可排为 2 某航空公司在A B C D四城市之间开辟了若干航线 如图所示表示了四城市间的航班图 如果从A到B有航班 则用带箭头的线连接A与B 四城市间的航班图情况常用表格来表示 发站 到站 这个数表反映了四城市间交通联接情况 矩阵的定义 由个数排成的行列的数表 称为矩阵 简称矩阵 记作 简记为 元素是实数的矩阵称为实矩阵 元素是复数的矩阵称为复矩阵 主对角线 副对角线 例如 是一个实矩阵 是一个复矩阵 是一个矩阵 是一个矩阵 是一个矩阵 例如 是一个3阶方阵 几种特殊矩阵 2 只有一行的矩阵 称为行矩阵 或行向量 只有一列的矩阵 称为列矩阵 或列向量 称为对角矩阵 或对角阵 4 元素全为零的矩阵称为零矩阵 零矩阵记作或 注意 不同阶数的零矩阵是不相等的 例如 记作 5 方阵 称为单位矩阵 或单位阵 同型矩阵与矩阵相等的概念 1 两个矩阵的行数相等 列数相等时 称为同型矩阵 例如 为同型矩阵 线性变换 系数矩阵 线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系 若线性变换为 称之为恒等变换 单位阵 线性变换 这是一个以原点为中心旋转角的旋转变换 例2设 解 定义 矩阵的加法 设有两个矩阵那末矩阵与的和记作 规定为 说明只有当两个矩阵是同型矩阵时 才能进行加法运算 例如 2 矩阵加法的运算规律 1 定义 数与矩阵相乘 2 数乘矩阵的运算规律 矩阵相加与数乘矩阵合起来 统称为矩阵的线性运算 设为矩阵 为数 定义 并把此乘积记作 三 矩阵与矩阵相乘 设是一个矩阵 是一个矩阵 那末规定矩阵与矩阵的乘积是一个矩阵 其中 例 设 例2 故 解 注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时 两个矩阵才能相乘 例如 不存在 矩阵乘法的运算规律 其中为数 若A是阶矩阵 则为A的次幂 即并且 注意矩阵不满足交换律 即 例设 则 但也有例外 比如设 则有 例3计算下列乘积 解 解 解 例4 由此归纳出 用数学归纳法证明 当时 显然成立 假设时成立 则时 所以对于任意的都有 定义把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵 叫做的转置矩阵 记作 例 转置矩阵 矩阵的其它运算 转置矩阵的运算性质 例5已知 解法1 解法2 2 方阵的行列式 定义由阶方阵的元素所构成的行列式 叫做方阵的行列式 记作或 运算性质 3 对称阵与伴随矩阵 定义 设为阶方阵 如果满足 即那末称为对称阵 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等 说明 例6设列矩阵满足 证明 例7证明任一阶矩阵都可表示成对称阵与反对称阵之和 证明 所以C为对称矩阵 所以B为反对称矩阵 命题得证 定义 行列式的各个元素的代数余子式所构成的如下矩阵 性质 证明 则 称为矩阵的伴随矩阵 4 共轭矩阵 故 同理可得 运算性质 设为复矩阵 为复数 且运算都是可行的 则矩阵称为的可逆矩阵或逆阵 逆矩阵概念的引入 在数的运算中 当数时 有 其中为的倒数 或称的逆 在矩阵的运算中 单位阵相当于数的乘法运算中 的1 那么 对于矩阵 如果存在一个矩阵 使得 逆矩阵的概念和性质 例设 说明若是可逆矩阵 则的逆矩阵是唯一的 若设和是的可逆矩阵 则有 可得 所以的逆矩阵是唯一的 即 例设 解 设是的逆矩阵 则 利用待定系数法 又因为 所以 定理1矩阵可逆的充要条件是 且 证明 若可逆 按逆矩阵的定义得 证毕 奇异矩阵与非奇异矩阵的定义 推论