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线性代数复习2一、选择题（每题3分，共15分）1设为阶可逆矩阵,的第二行乘以2为矩阵，则的 为。(A)第二行乘以； (B) 第二列乘以2；(C) 第二行乘以； (D) 第二列乘以2. 设向量组线性无关,线性相关,则以下命题中，不一定成立的是 。 (A) 不能被线性表示； (B) 不能被线性表示； (C) 能被线性表示； (D) 线性相关3. 设,则二次型的矩阵为 。 (A) ； (B) ； (C) ； (D) 4的伴随矩阵为，。(A) 1； (B) 2； (C) 3； (D) 4 5.已知是线性空间的一个基，以下 也是的基。(A) ；(B) ；(C) ；(D) 。二、 填空题（每题3分，共15分）1设是欧氏空间的标准正交基，则模_。2设矩阵为正交矩阵，则 ， 。3. 若实二次型 为正定二次型,则的取值范围为 。 4. 已知是非齐次线性方程组线性无关的解，为矩阵，且秩。 若是方程组的通解，则常数须满足关系式 。5. 设为阶实对称矩阵，且，是的一重特征值，则行列式 。三、计算题(每题9分,共54分)1. 计算阶行列式D，其中； 2. 设3阶方阵满足方程 ，试求矩阵以及行列式，其中 。3. 设为三阶实对称矩阵，且满足 已知向量, ,是对应特征值的特征向量，求，其中为自然数。4. 已知实二次型 =，求正交变换,将二次型化为标准形，并写出正交变换。5. 已知线性空间的基到基的过渡矩阵为，且 ，； 试求出在基 下有相同坐标的全体向量。6. 设线性方程组为，问：、取何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？ 在有无穷多解时求出其通解。四、证明题(第一题6分，第二题10分)1 设为维列向量，且，矩阵，证明：行列式。2. 设是实矩阵,是维实列向量，证明：（1） 秩； （2）非齐次线性方程组有解。线性代数试卷参考答案一、选择题1.(D) 2.(B) 3.(C) 4.(A) 5.(C) 二、填空题1. ； 2. ； 3. ；4.为任意常数； 5. 三、计算题 1. 2. 3. ，特征值1、1、2， ，特征向量，所以 4.的矩阵，有特征值 对应的线性无关的和单位正交的特征向量 ，；， 于是正交变换， 化二次型为标准形 5设,则。设所求向量的坐标为 ，则，即， 因为为可逆矩阵，得 ，由 得， 故 6. 当2时，方程组有唯一解当2，1时，方程组无解 当2，2时，2 3，方程组有无穷多组解,其通解为，为任意常数。 四、证明题1证：因为，特征值的可能取值为。的对角线元素之和为，(或非正定)所以是的一个特征值，故行列式2. 证:（1）因为若，则；而
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