梯形断面渠道水跃共轭水深的计算方法.doc

张小林1 , 刘惹梅2(1. 杨凌职业技术学院水利系, 陕西 杨凌 712100; 2. 西北农林科技大学水利与建筑工程学院, 陕西 杨凌 712100)摘 要: 水跃共轭水深的计算是水力消能计算中经常遇到的计算问题, 作者根据梯形明渠共轭水深的水跃方程, 经过数学变换, 应用迭代理论牛顿迭代法提出快速收敛的共轭水深的计算方法, 使用方 便准确。关键词: 梯形断面; 共轭水深; 梯形渠道中图分类号: TV 131. 4文献标识码: A文章编号: 16721144 (2003) 02004103M e thod of Ca lcula t ion f or Con juga te W a ter D ep th ofW a ter Jum p in Tra pezo id Chann e lZHA N G X iao 2lin 1 , L IU R e2m e i2(Y ang l ing V oca t iona l and T ech n ica l C ol leg e, Y ang l ing , S h aanx i 712100, C h ina; 2. C ol leg e of W a te r R esou rces andA rch itec tu ra l E ng inee r ing , N or thw es t S c i2T ech U n iv e rs ity of A g r icu l tu re and F ores t ry , Y ang l ing , S h aanx i 712100, C h ina )A bstra c t: In th is p ap e r, th e au tho r p ropo se s a d irec t ca lcu la t io n fo rm u la fo r co n ju ga te w a te r dep th , b a sedo n th e m a th em a t ica l m e tho d o f ca lcu la t io n fo r th e w a te r jum p equ a t io n an d app ly in g th e ite ra t io n th eo ry. It is fa st co n ve rgen t, accu ra te an d ea sy to u se.Keyword s: tra pezo id sec t ion;con juga te wa ter dep th;tra pezo id channa l问题的提出在水利水电工程中, 闸、坝及陡槽等泄水建筑物 的下游一般都会产生水跃, 工程中常利用水跃来消 除泄水建筑物下游高速水流的巨大动能。 而在水工 建筑物的下游消能计算中, 水跃共轭水深计算是水 跃消能计算和水跃长度计算的前提。因此, 水跃计算 在研究堰、闸出流和消能措施中具有重要作用。但对 梯形明渠共轭水深计算问题, 由于梯形明渠水跃方 程是关于共轭水深的 5 次代数方程, 不便求解析解。 目前工程上都是采用试算法或图形法求解, 常规的 试算法需要通过反复迭代逼近, 盲目性大且复杂烦 琐, 而图解法又受给定区间及查图插值的影响, 实际 使用受限且精度不易保证。 本文通过对梯形断面明 渠水跃方程的数学变换, 利用牛顿迭代法推出一种 共轭水深的计算方法, 给出初值经验公式, 一次迭代 就可以满足精度要求。2 迭代公式的建立及收敛性分析2. 1梯形明渠共轭水深水跃方程根据文献1易得梯形明渠共轭水深的水跃方 程为:1 6 2 ()g x (1 + n x ) +x3 +2n x=6+ y 2 (3 + 2n y ) = a(1)g y (1 +ny )式中, 虚拟单宽流量 q = Q /b, b 为梯形断面底宽。2/3m q, x =h 1 , y =h 2n =迭代公式q2/3q2/3b2. 2根据式 (1) , 当求跃前水深时有:62x (3 + 2n x ) = ag x (1 + nx ) +即为:g x (1 + n x ) x 2 (3 + 2n x ) - a g x (1 + n x ) + 6 = 0收稿日期: 2003203226作者简介: 张小林( 1964) , 男( 汉族) , 陕西大荔人, 讲师, 主要从事工程造价与施工的教学与研究工作。化简为:x 5 +5 x 4 +30x 2 +9 x -a II 20x 3 +-n 2nn3 x 3 -3a x 2 -ax +=02n 22n 2n 2 g2n2n 5 3 I x 5 +x 4 +x 3 -22na2n(2)a x 2 -3令F (x ) = x 5 +5 x 4 +3 x 3 -x +I 02n 2n 2 g2na x 2 -a3x +根据牛顿迭代理论, 在 f (x ) = 0 的根 a 的某个领 域 R (I x -a I ) 内, f (x ) 0, I (x ) I =2n 22n 2n 2 g(3)(4)2n2n(I F x ) I I F (x ) I10x 3 +9 x 2 -a x -a 1, 故在 a 的邻域 R 内, 对任意初F (x ) = 5x 4 +(F (x ) ) 22n 22n 2nn值 x 0 , 由公式得到的迭代序列收敛于 a。则跃前水深的迭代公式与跃后水深的迭代公式均为收敛。根据牛顿迭代法 (文献 3) f (x ) =0 的牛顿迭代式为:f (x k ) 0, f (x k ) 合理迭代初值众所周知, 迭代次数不仅与迭代格式有关, 而且 与迭代初值的选取有关。 选取合理的迭代初值与合 理迭代格式的配套使用, 才能确保较高的计算精度 和很少的迭代次数。因此, 合理迭代初值的选取是迭 代计算中的关键。 本文将利用矩形断面共轭水深可 以直接求解的特点, 将梯形断面共轭水深的求解近 似用矩形断面的公式表达。为了保证一定的精度, 引 入断面特征修正参数 , 它是根据大量的计算成果 统计得来的。 因此可按下式分别计算跃前水深及跃 后水深的迭代初值。跃前水深的迭代初值3x k + 1 = x k -f (xk )所以迭代函数为:(x ) = x -则得跃前水深迭代公式: f (x ) f (x )F (x )x =x -=F (x )x 5 +5 x 4 +3 x 3 -a x 2 -a3x +2222n2n2n2nn gx -10x 3 +9 x 2 -a x -a5x 4 +2n 22n 2nn(5)同理可得跃后水深的迭代公式:F (y )y = y -=F (y ) 8 y 2 (1)(7)x 0 =1 +g (y ) 3 -y 5 +5 y 4 +3 y 3 -a y 2 -y +3a222跃后水深的迭代初值 2n 2n 2n 2n n gy -10y 3 +9 y 2 -a y -a5y 4 +x82n 22n 2nn(1)(8)y 0 =1 +-g (x ) 32(6)其中:2. 3收敛性分析根据迭代理论 ( 文献40. 9n) , 假设方程 f (x ) = 0 =为统计经验公式。(1 +)(9)6的一个根 a , 若把方程 f (x ) = 0 变形为 x = (x ) , 则迭代形式 x k + 1 = (x k ) , 收敛于 a 的条件是: 如果在 a的某一邻域 I x - a I 内 I (x ) I 1, 则以该邻 域内任一点为初值的迭代都收敛于 a。下 面证明 2. 2 中迭代公式的收敛性, 根据牛顿 迭代法证明如下:根据 2. 2 中的 F (x )、F (x ) 求解 F (x )确定了迭代初值后, 就可应用共轭水深的迭代公式计算, 进行一次迭代计算而得到梯形渠道共轭 水深的直接计算公式。跃前公式:F (x 0 )x 1 =x 0 -=x 0 -F (x0 )30x 2 +9 x -aF (x ) =20x 3 +53aa35432x 0 + 2n x 0 +2n 2 x 0 -2n x 0 -2n 2 x 0 +n 2nnn 2 g则:109 x 0 -a x 0 -a5x 4 x 3 2 0 +0 +22n2nn2n(F (x ) ) 2 -I F (x ) I I F (x ) I(10)10x 3 +9 x 2 -a x -a= (5x 4 +) 22n 22n 2跃后公式:nnn 0. 9F (y 0 ) =y 1 =y 0 -=y 0 -1 += 1. 1726F (y0 )6(2)由(5) 式得:y 5 5 y 43 y 33a y 2a0 +0 +0 -0 -y 0 +2n 22n 2n 2 g2n2n 8 x 10y 3 +90 y 2 -a y 0 -a(1) = 0. 7208y 0 =1 +-5y 4 +g (x ) 32002n 22n 2nn(3) 由(8) 式得:(11)F (y 0 )y 1 = y 0 -=y 0 -计算步骤及误差评估由于迭代计算公式中存在很多参数, 为了计算 简便, 可以把计算过程分为以下步骤:(1) 根据已知条件, 确定参数 q、n、x 或 y、;(2) 根据公式 (7)、(8) , 确定迭代初值 x 0 或 y 0; (3) 根据公式 (3)、(4) , 计算 F (x 0 )、F (x 0 ) 或F (y 0 )、F (y 0 ) ;(4) 代(3) 的结果到迭代公式 ( 10) 或 ( 11) , 计算 水深。在工程实用范围内, 直接计算公式只有在局部 点相对误差为 2. 1% , 而在其余范围内的相对误差 基本接近于零; 如果再进行一次迭代计算, 则在整个实用范围内最大相对误差总小于 0. 26% 。4F (y0 )50 y 4 +3 y 3 -3a y 2 -ay 5 +y 0 +0002n 22n 2n 2 g2n2n10y 3 +90 y 2 -a y 0 -a5y 4 +02n 202n 2nn= 0. 7142则跃后水深 h 2 = 0. 7142q相同 (文献 2)。2/3= 1. 4856 与精确值结语6通过以上实例计算可知, 直接计算法求得跃后水深 h 2 = 1. 485 m 与要求的水跃函数值一致。 说明 该方法收敛速度极快。利用牛顿迭代法引入初值经验公式, 结果表明 通过一次牛顿迭代就能满足精度要求。 该公式使梯 形明渠共轭水深的计算简洁直观, 比图解法求解梯 形明渠共轭水深的变量范围扩大, 而且计算精度较 高, 便于工程计算参考应用。应用举例例: 一个水跃产生于一棱柱体梯形水平渠段中,5已知:0 m 3 /s;0 m , 边坡系数 m为Q = 6.b = 2.1. 0, 跃前水深为 0. 4 m , 求跃后水深 h 2。参考文献:解(1)单宽流量 q= 3 m 3 /s. m , 由式 (1) 得:吴持恭主编. 水力学 M . 北京: 高等教育出版社,1982.12/3m qn = 1. 04bh 12清华大学编.1983.水力学 M .北京: 高等教育出版社,x = 0. 1923q2/3邓建中, 等编. 计算方法M . 西安: 西安交通大学出版社, 1985.36x 2 (3 + 2n x ) =+2. 7899g (1 + n x ) x(上接第 10 页)统UM L 概念模型, 基于系统思想和软件工程思想, 采用UM L 系统建模语言和分布式多层组件系统集 成模式, 其基础框架和运行环境、空间模型、应用对 象和工程基础、实施保证、使用界面以及系统的规划或概念上的内容和技术路线等, 都是各个业务领域 成熟而先进的技术, 非常可行。随着水利信息化概念 和技术的深入和普及, 相关系统规划和基础数据库 系统的建设层出不穷, 大流域的水利基础信息设施 建设风起云涌, 高度共享和集成的实时决策平