毕业论文 矩阵秩的性质与应用.doc

* * * * 学 院学 生 毕 业 论 文（ 2012 届）题目（中文） 矩阵的秩的性质与应用 （英文）The properties and applications of matrix rank 专业： 数学与应用数学 班级： 姓名： 学号: 指导教师： *学院教务处制-诚 信 声 明我声明，所呈交的毕业论文是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果.据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，我承诺，论文中的所有内容均真实、可信.毕业论文作者签名： 签名日期： 年 月 日摘要：本文探讨了矩阵的秩的不变性，矩阵秩的与不等式及其等式成立的条件及应用，矩阵秩与矩阵运算的关系，与矩阵可逆的关系，与向量组的线性相关、与零特征值代数重数的关系等一些性质从而得到矩阵的秩在线性代数方面，解析几何，概率论等中的应用关键词：矩阵秩；矩阵秩不变性；矩阵秩不等式；矩阵秩恒等式；线性方程组；零特征值代数重数；齐次线性方程组Abstract: This article discuss the invariant of matrix rank, Sylvester and Frobenius inequality and the condition of its equality, and the relationship of matrix operations and matrix rank, the relationship of invertible matrix and matrix rank, and the vectors of linear correlation, and zero Eigen value algebra and heavy number relation and so on. Thus we can obtain the rank of matrixs application in linear algebra, analytic geometry, probability theory and so on.Keyword: matrix rank; invariance of matrix rank; rank of matrix inequalities; rank of matrix equalities; linear equations; zero Eigen value algebra and heavy number; homogeneous linear equations.目录1 矩阵秩的性质21.1矩阵的秩的不变性21.2 矩阵的秩的一些基本性质71.3矩阵的秩与矩阵的运算71.4 关于矩阵的秩的一些不等式等式及其应用81.5 矩阵的秩与可逆122 求矩阵的秩.133 矩阵的秩在线性代数中的应用133.1 矩阵的秩与解线性方程组133.2 矩阵的秩与向量组的相关性143.3 矩阵的秩与零特征值代数重数相关性讨论154 矩阵的秩在解析几何中的应用174.1 矩阵的秩在判断平面与平面的位置关系时的应用174.2 矩阵的秩在判断平面与直线的位置关系的应用194.3 矩阵的秩在判定直线与直线的位置关系的应用195 矩阵的秩在判定齐次链遍历性中的应用20参考文献22致谢23矩阵的秩的性质及应用矩阵的现代概念在19世纪逐渐形成，1801年德国数学家高斯，把一个线性变换的全部系数作为一个整体1844年,德国数学家爱森斯坦讨论了“变换”（矩阵）及其乘积1850年,英国数学家西尔维斯特首先使用了矩阵一词1858年,英国数学家凯莱发表关于矩阵理论的研究报告他首先将矩阵作为一个独立的数学对象加以研究，并在这个主题上首先发表了一系列的文章，因而被认为是矩阵论的创立者，他给出了现在通用的一系列定义，如两矩阵相等、零矩阵、两矩阵之和，一个数与一个矩阵的数量积、两矩阵的积、矩阵的逆、转置矩阵等并且凯莱还注意到矩阵的乘法是可结合的，但一般不可交换，且矩阵只能用矩阵去右乘1854年，法国数学家埃米尔特使用了“正交矩阵”这一术语，但他的正式定义直到1878年才由德国数学家费罗贝乌斯发表1879年，费罗贝乌斯引入矩阵秩的概念矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是应用数学研究的一个重要的工具矩阵的秩是一个基本的概念，也是矩阵最重要的数量特征之一，它在初等变换下是一个不变量矩阵的秩是反映矩阵固有特性的一个重要概念，无论是在线性代数中，还是在解析几何中，甚至在概率论中，都有不可忽略的作用本文在1.4提到的与不等式分别由与在1884年及1911年给出的，百年来很多数学家研究了使其等式成立的条件，2004年，2008年，胡付高分别给出了矩阵多项式秩的与不等式成立条件：定理1.4.4，定理1.4.5.本文参考文献1、3、9，给出了矩阵的三种等价的定义，并且探讨了矩阵的几种重要的性质，矩阵的秩与矩阵的运算、零特征值代数重数、可逆的关系以及矩阵的秩在线性代数，解析几何，概率论中的应用1 矩阵秩的性质定义1.1 一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数叫做矩阵的秩.若一个矩阵没有不等于零的子式，就认为这个矩阵的秩是零记为.1.1矩阵的秩的不变性性质1.1.1 转置矩阵的秩相等，即.定理1.1.2 初等变换不改变矩阵的秩证明： 设把一个矩阵的第行与第行交换得到矩阵：，并且矩阵的秩为，明显地，矩阵的秩也为设矩阵有阶子式，若不同时含有第行和第行的元素，则为矩阵的一个阶子式，则；若同时含有第行和第行的元素，这是有： 由此可知而我们同样可以将矩阵交换第行和第行可得到矩阵，则所以由此可证，第一种初等变换不改变矩阵的秩设把矩阵的第行乘以不等于零的数得到矩阵设矩阵有阶子式，若不含有第行的元素，则为矩阵的一个阶子式，则；若含有第行的元素，则有：所以，而将矩阵第行乘以得到矩阵，则所以由此可证第二种初等变换不改变矩阵的秩设把一个矩阵的第行乘以数加到第行而得到矩阵：，并且的秩是，我们要证明，的秩也为我们先证明，的秩不能超过若是矩阵没有阶数大于的子式，那么它当然也没有阶数大于的不等于零的子式，因而它的秩显然不能超过设矩阵有阶子式，而那么有三种可能的情况若不含第行的元素这时也是的一个子式，而矩阵的秩为，但是，由此知，若这时，有若含第行的元素，但不含第行的元素这时，由于和是矩阵的一个阶子式，所以从而，由以上三种情况可知，矩阵的所有大于的子式都为因此，矩阵的秩不大于既是：同样的，我们也可以对矩阵施行初等变换得到矩阵，这样就可以得到这样子我们就证明了，既第三种初等变换不改变矩阵的秩有以上三点可证，初等变换不改变矩阵的秩证毕事实上，施行一个行或列初等变换相当于把这个矩阵左乘或右乘以一个可逆矩阵.引理1.1.1 设为一个矩阵：，则可通过行初等变换和第一种列初等变换将化成阶梯型：，进而化为：.证明：若是矩阵的元素都等于零，那么已有的形式设某一个不等于零.必要时交换矩阵的行和列，可以将该元素为与矩阵的左上角用乘以第一行，然后由其余各行分别减去第一行的适当倍数矩阵化为.若在中，除第一行外，其余各行的元素都是零，那么已有的形式设在的后行中有一个元素不等于零.把换到第二行第二列的焦点的位置，然后用与上面同样的方法，可将化为如此继续下去，最后可以得到一个形如的矩阵.我们只要进一步由第一，第二，第三，第行分别减去第行的适当倍数，再由第一，第二，第行分别减去第行的适当倍数，如此下去，就可以得到形如的矩阵.事实上，用初等变换将矩阵化为阶梯形，其阶梯形矩阵中非零行的个数的秩就是该矩阵的秩由此得到矩阵秩的另一种等价的定义：定义1.2 矩阵经过初等变换所形成的阶梯型中非零行的个数成为矩阵的秩矩阵的秩为，记为特别，零矩阵的秩用初等变换将矩阵 化为等价标准型，由于初等变换不改变矩阵的秩，所以.由此得到以下定理：定理1.1.3 任意一个矩阵都可化为的形式，称为的等价标准型，且.定理1.1.4 相似的矩阵具有相同的秩，秩相同的矩阵相似. .证明：若矩阵,则由相似的定义，可知存在可逆矩阵,使得,由于矩阵与可逆矩阵相乘，秩不变(下面有证明)，所以，.若，设的等价标准型为,则,的等价标准型为,则,而，则,由相似的传递性，知.证毕.定理1.1.5 若矩阵与的标准型都为,则.证明：设, ，.则矩阵与矩阵的初等因子都为，所以.由定理1.2知，.证毕.由此可得到：推论1.1.1 若矩阵的秩为，则其标准型的秩也为.也就是说，矩阵的三种标准型的秩都不变.定理1.1.6 合同的矩阵具有相同的秩.即若，则.证明：若，则存在可逆矩阵，使得,由性质1.1.1知，即也是可逆的.由1.3.4知，.定理1.1.7 如果分块矩阵经过有限次分块矩阵的初等变换化为矩阵，则其矩阵的秩不变.1.2 矩阵的秩的一些基本性质性质1.2.1 性质1.2.2 性质1.2.3 将矩阵划去若干行(列)得到矩阵,则性质1.2.4 设为阶方阵，则.1.3矩阵的秩与矩阵的运算性质1.3.1 性质1.3.2 性质1.3.3 性质1.3.4 特别，若可逆，证明：设是一个矩阵，是一个矩阵，并且，设的等价标准型为换句话说，存在阶初等矩阵和阶初等矩阵，使得.所以，有：这里显然地，除了前行外，其余各行都为零，所以，而是由通过行初等变换得到的，所以它们有相同的秩，这样就证明了.同理可证如果中有一个是可逆矩阵，不妨设是可逆的，那么，一方面，由上面的证明过程知，而,所以因此，证毕将该性质推广到任意个矩阵的乘积的情形任意个矩阵的乘积的秩不大于每一个因式的秩性质1.3.5 若矩阵和是同型矩阵，则.证明：首先证明由于所以：所以，移项得到：所以.证毕.1.4 关于矩阵的秩的一些不等式等式及其应用定理1.4.1 （）设为矩阵，为矩阵，则证明：（利用分块矩阵证明）由于，所以：，即，移项得到证毕推论1. 4.1 若矩阵与为矩阵，且，则.定理1.4.3 设、依次为、型矩阵，则 证明：因为,有性质1.1.3可得：移项得到证毕.性质1.4.1 设矩阵、为阶矩阵，则.证明：因为，由性质1.3.2与性质1.3.4得到，所以.性质1.4.2 若是阶矩阵，则.证明：因为,所以.定理1.4.3 设，则：，其中：，为与的最大公因式.证明：如果之一为零多形式，则明显的，定理成立.不妨设都是非零多项式，由多形式的性质，此时有：，.对分块矩阵做分块矩阵的初等变换 .由定理1.1.4及性质1.3.2可得.证毕. 由此得到不等式及不等式等号成立条件：定理1.4.4 设，则：.证明：若,则，则，有定理1.4.4得.证毕.推论1.4.2 设则.证明：若，由定理1.4.4知所以.若,则,则证毕.定理1.4.5 设，则：.证明：由于，所以，由定理1.4.3，可得：.证毕.推论1.4.3 设，且，则.证明：由于，则， .由定理1.4.3，可得：.典型例题分析：例1：设为阶矩阵，且，证明：,为阶矩阵.证明：令，则，而,则，所以应用定理1.4.4，可得到 . 例2：设为阶矩阵，且,证明. 证明：令，则，应用定理1.4.4，可得到.例3：设，为正整数，则对任意的正整数，有：，如果;,如果.证明：令，则，应用定理1.4.4，令，则应用定理1.4.4，可到：以上三道例题如果用零化多项式的知识去解非常繁琐，但用不等式来就非常简单且易懂.矩阵秩的不等式在解题中有很好的应用，本文就不一一说明了.1.5 矩阵的秩与可逆性质1.5.1 对于任意一个阶矩阵，以下三种说法等价矩阵可逆；.性质1.5.2 矩阵的行秩、列秩、秩相等.性质1.5.3 设为阶矩阵，为阶可逆矩阵，为阶矩阵，则.2 求矩阵的秩.1、利用定义：（子式判别法）即寻找出矩阵中非零子式的最大阶数.2、用初等变换将矩阵化为阶梯型，数出非零行的个数，既为矩阵的秩.3 矩阵的秩在线性代数中的应用3.1 矩阵的秩与解线性方程组定理3.1.1（线性方程组可解的判定方法） 设元线性方程组，其中，设其增广矩阵为；则有方程组无解当且仅当；方程组有唯一解当且仅当；方程组有无穷多解当且仅当证明：利用上面的引理1.1.1所指出的初等变换把和化为：由于初等变换不改变矩阵的秩，因此，有现在设线性方程组有解，既此时有，而或者，这两种情况都有，所以若方程组只有一个解，则其自由未知量的个数为零，则若方程组有无穷多解，则反过来，设，则，则有，因而，方程组有解若，则该方程组自由未知量的个数为零，则该方程组的解只有一个若，则该方程组有无穷多个解由此得证定理3.1.2（齐次线性方程组有非零解的判定方法） 一个奇次线性方程组有非零解的充要条件是：它的系数矩阵的秩小于它的未知量的个数证明：当时，方程组一个解，既是零解当时，方程组有无穷多解，因而它除了零解外，还有其它非零解证毕定理3.1.3（齐次线性方程组的解空间的维数） 数域上一个个未知量的齐次线性方程组的一切解作成的一个子空间，称为这个齐次线性方程组的解空间如果所给的方程组的系数矩阵的秩为，那么解空间的维数等于3.2 矩阵的秩与向量组的相关性向量组的线性相关型理论是贯穿线性代数始终的理论主线由于线性关系是变量比较简单的一种关系，而线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，并且一些非线性问题在一定条件下，可以转化或近似转化为线性问题来解决如果称一组向量组是线性无关的，那么等式只有是能成立否则称这组向量组是线性相关的假设这组向量组为阶的列向量这时用矩阵的形式可以将上述的等式写成，其中，这时判断向量组线性无关或相关的问题，可以转换成求方程组是否有非零解的问题来讨论结合定理5.1.2，可以得到：定理3.2.1 一组列向量组线性无关当且仅当矩阵的秩等于由此可得到矩阵秩的另一种等价的定义：定义3.2 矩阵的行（列）向量组的极大无关组的个数成为该矩阵的秩定理3.2.2 如果方阵的秩为，则以为系数矩阵的齐次线性方程组的解向量组中，必有个是线性无关的3.3 矩阵的秩与零特征值代数重数相关性讨论引理3.3.1 设阶方阵的特征值为，则.引理3.3.2 设是方阵的重特征值（称为特征值的代数重数），对应有个线性无关的特征向量（称为特征值的几何重数），则定理3.3.1 如果方阵的秩为，设有零特征值，且其重数为,则必定有：证明：因为有零特征值，由引理3.3.1，则有，即，不等式右边成立.先求重零特征值对应的特征向量组，并设该向量组中有个线性无关，则：由此可见，零特征值对应的特征向量既为以为系数矩阵的元齐次线性方程组的解向量因，由定理5.2.2，知，而既为对应于零特征值的代数重数，既为对应于零特征值的几何重数由引理3.3.2可得到，即，移项得所以不等式左边成立推论3.3.1 如果方阵仅有一个零特征值，即，则必有的秩证明：因为且，所以，又因为为矩阵的秩，且均为正整数，所以必有证毕由移项可得到且零特征值代数重数，则，即如果的秩为，则的零特征值的代数重数，由此可得到以下推论推论3.3.2 如果方阵的秩,的个特征值为，则必有证明：因为，所以，而，均为正整数，类似于推论3.3.1的证明可得由引理3.3.1的结论可知，而中有个零，则中只有一个非零且等于定理3.3.3 设方阵的秩为，零特征向量代数重数为，几何重数为，则证明：求出矩阵的若尔当标准型，则的秩与相等，均为其中为其它非零特征值所对应的若尔当块，为零特征值对应的若尔当快，设的秩为，则由若尔当标准型性质知，设的秩为，则必有，如果方阵的重零特征值对应个线性无关的特征向量，即，则可对角化，则如果，则的秩由此类推，如果零特征值对应的特征向量全相关，即，此时，则的秩证毕因此，零特征值代数重数进能限定秩的范围，而在此范围内秩是由特征值的几何重数决定的4 矩阵的秩在解析几何中的应用将矩阵的秩推广到解析几何中，会收到很好的效果4.1 矩阵的秩在判断平面与平面的位置关系时的应用定理4.1.1 已知平面与平面，设线性方程组的系数矩阵为增广矩阵为，则：若，平面与相交于一条直线：若，平面与重合；若，但，平面与平行证明： 若，有以上的定理3.1.1，可知，线性方程组有无穷多解，设它的一个特解为，它的导出方程组为的系数矩阵的秩为2，而未知量有3个，因此方程组有非零解，且基础解系里解的个数为设是导出组的一个基础解系，则方程组的全部解为，其中，为全体实数由解析几何的知识知，当取遍全体实数是，的轨迹为通过点，且方向向量为的一条直线所以当时，平面与平面相交于一条直线若，此时，方程组有解，并且与成比例，于是所以方程组的一般解为，既为平面，因此，平面与平面重合若此时方程组无解，既是平面与平面无交点，既平行由于不全为零，所以，因此只有以上三种情况证毕定理4.1.2 设空间三个平面的方程分别为：系数构成的矩阵为则：三平面重合的充要条件为三平面平行的充要条件为，且的任意两行不成比例三平面两两相异且有唯一公共点的充要条件为，且的任意两行不成比例三平面中有两平面平行，第三个平面与它们相交的充要条件是并且，且的任意两行不成比例两平面重合，且第三平面与它们平行的充要条件是：，且的两行不成比例三平面有唯一的公共点的充要条件是4.2 矩阵的秩在判断平面与直线的位置关系的应用定理4.2 设空间平面与直线的一般方程为：系数构成的矩阵为则：直线与平面相交的充要条件为：直线与平面没有公共点的充要条件为直线属于已知平面的充要条件为4.3 矩阵的秩在判定直线与直线的位置关系的应用定理4.3 设空间两直线的一般方程分别为：系数构成的矩阵为则：两直线异面的充要条件为；两直线相交的充要条件为；两直线平行的充要条件为；两直线重合的充要条件为证明：由定理3.1.1可知,方程组有唯一解的充要条件为,方程组有唯一解既是两直线相交,所以两直线相交的充要条件为.方程组有无数多解的充要条件为,即两直线重合的充要条件为,而由定理6.1.1知,所以,两直线重合的充要条件为.由定理4.1知，,齐次线性方程组由非零解的充要条件为，即,即两直线平行的充要条件为.5 矩阵的秩在判定齐次链遍历性中的应用设为链的步转移概率,如果只与及时间间距有关时,即称此链是齐次的.对于齐次链,我们常常关心它的遍历性问题.判断齐次链的遍历性的一个充分条件如下:引理5.1 设齐次链的状态空间为,是它的一步转移概率矩阵,如果存在整数,使得任意的,都有则此链具有遍历性,且有极限分布,它是方程组,即的唯一解,其中满足概率分布条件为.由引理可知，要判断齐次链的遍历性，通常需要找到一个正整数，使步转移概率矩阵无零元.当比较大时，通常的处理比较繁琐而且运算量大由引理又可知：只有当极限存在（即唯一性）时，齐次链才有遍历性，因此可通过判断 （1） 或等价于 （2）是否具有唯一解来判断齐次链是否具有遍历性定理5.2 设为具有个状态的齐次链，则有：当时，齐次链具有遍历性；当时，齐次链不具有遍历性其中表示线性方程组（2）的系数矩阵，为矩阵证明：因为为具有个状态的齐次链，故可设其一步转移概率矩阵为设为全是1的维行向量，即，有方程组（2）得到其增广矩阵为 (3)由定理3.1可知，当且仅当时，方程组（1）才有唯一解，结合引理的结论，可知本定理是成立的由定理可知，在实际问题中，只要求出矩阵的秩，判断和之间的大小，就可以判断齐次的遍历性参考文献1