余弦定理的八种证明方法.docx

余弦定理的八种证明方法研究背景： 2011年高考数学卷（陕西卷）考出了“说明并证明余弦定理”这个考题,使平时不注重翻阅课本的同学大部分吃了亏，虽然这是书本上的知识，且课本上只给出了一种证明方法，但仍让同学们很难想到会考这个证明题，因此我们利用这次研究性学习活动，以论文的方式来介绍一下多种余弦定理的证明方法，来增强我们对课本知识的理解。目的意义：用多种方法证明余弦定理，扩展思维，了解更多的过程。内容摘要：余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形便可适当移于其它知识。成果展示：一 余弦定理的内容对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c 三角为A，B，C ，则满足性质a = b + c- 2bccosA b = a + c - 2accosB c = a + b - 2abcosC 二 证明方法方法一：平面几何法如图，有a+b=c cc=(a+b)(a+b) c=aa+2ab+bb c=a+b+2|a|b|cos(-) 又Cos(-)=-Cos c=a+b-2|a|b|cos 再拆开，得c2=a+b-2*a*b*cosC方法二：勾股法在任意ABC中做ADBC. C所对的边为c，B所对的边为b，A所对的边为a 则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c 根据勾股定理可得： AC=AD+DC b=(sinB*c)+(a-cosB*c) b=(sinB*c)+a-2ac*cosB+(cosB)*c b=(sinB+cosB)*c-2ac*cosB+a b=c+a-2ac*cosB方法三：解析法在三角形ABC建立直角坐标系，使A点为原点，B点落在x轴正半轴上，设三角形三边abc则有三点坐标为A（0，0）B（c，0）C（bcosA，bsinA）BC=a则由距离公式得a=（c-bcosA）2-（bsinA） 化简得a=c+b-2bccosA a=c+b-2bccosA方法四：面积法SACQ=(1/2)bc(cosBAC),SPBC=(1/2)ac(cosCBA), bc(cosBAC)+ac(cosCBA)=2(SACQ+SPBC)=c, 同理，ac(cosCBA)+ab(cosACB)=a, ab(cosACB)+bc(cosBAC)=b. 联立三个方程， bc(cosBAC)+ac(cosCBA)=c（1）ac(cosCBA)+ab(cosACB)=a（2）ab(cosACB)+bc(cosBAC)=b（3）易得余弦定理方法五：正弦法bsinBcsinCabsinAsinB a+b-csinA+sinB-sinCabsinAsinB a+b-c=absinAsinB（sinA+sinB-sinC）（1）又sinA=1-cos2A2 sinB=1-cos2B2sinA+sinB=1-（cos2A+cos2B）=1-cos（A+B）cos（A-B）ABC中cos（A+B）=cos（180-C）=-cosCsinA+cosB=1-cosCcos（A-B）（2）（2）带入（1）得a+b-c=1+cosCcos（A-B）-sinC =cosC+cosCcos（A-B） =cosCcosC+cos（A-B） =cosC-cos（A+B）+cos（A-B） =2abcosCc=a+b-2abcosC同理可证b=a+c-2accosBa=c+b-2bccosA 方法六：摄影定理法a=bcosC+ccosB（1） b=acosC+ccosA(2) c=bcosA+acosB(3)（1）a+（2）b-（3）c得c=a+b-2abcosC同理可证b=a+c-2accosBa=c+b-2bccosA 方法七：复数法如下图，在复平面内作ABC，则 =a（cosB+i sinB），= =bcos（A）+i sin（A），这里C是平行四边形ACBC的顶点，根据复数加法的几何意义可知， 。所以c=a（cosB+i sinB）+bcos（A）+i sin（A） =（acosB+bcosA）+（asinBbsinA）i。（*）根据复数相等的定义，有asinBbsinA=0，即 。对（*）式两边取模，得c=（acosB+bcosA）（asinBbsinA）=a+b+2abcos（B+A）=a+b2abcosC其他各式同理可证。方法八：物理法设三角形ABC是边长分别为a、b、c的通电导线框，其电流长度为I。现将它置于磁感应强度为B的匀强磁场中且线框平面与磁场方向垂直，那么三角形ABC的三边所受的安培力如图1所示，其大小分别为Fa=BIaFb=BIb（1）Fc=BIc很显然，这三个力是相互平衡的共点力，它们的作用线相交与三角形ABC的外心O，现以O点为原点，分别建立如图2甲、丙所示的直角坐标系，对Fa、Fb、Fc进行正交分解，根据甲图，有FasinB-FbsinA=0FacosB-FbcosA=Fc （2） 同理，根据乙图、丙图分别有FbsinC-FcsinB=0FbcosC+FccosB=Fa （3）和FasinC-FcsinA=0FacosC+FccosA=Fb （4）将（1）式分别代入（2）、（3）、（4）、式并整理，得BIacosB+BIbcosA=BIcBIbcosC+BIccosB=BIaBIccosC+BIccosA=BIb