中学数学几何一个重要的定理----蝴蝶定理.doc

中学数学几何一个重要的定理-蝴蝶定理蝴蝶定理想象洵美，蕴理深刻，近两百年来，关于蝴蝶定理的研究成果不断，引起了许多中外数学家的兴趣。到目前为止，关于蝴蝶定理的证明就有60多种，其中初等证法就有综合证法、面积证法、三角证法、解析证法等。而基于蝴蝶定理的推广与演变，能得到很多有趣与漂亮的结果。蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志男士日记上。由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容：圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于E，F，则M为EF之中点。关于蝴蝶定理的证明，出现过许多优美奇特的解法，并且知道现在还有很大的研究价值。其中最早的，应首推霍纳在1815年所给出的证法。至于初等数学的证法，在国外资料中，一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的，它使用的是面积证法。1985年，在河南省数学教师创刊号上，杜锡录老师以平面几何中的名题及其妙解为题，载文向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在神州大地到处传开。在20世纪20年代时，蝴蝶定理作为一道几何题传到我国中学数学界，严济慈教授在几何证题法中有构思奇巧的证明。如可将蝴蝶定理中的圆“压缩变换”为椭圆，甚至变为双曲线、抛物线、筝形、凸四边形、两直线，都依然成立。另外，如果将蝴蝶定理中的条件一般化，即M点不再是中点，能得到坎迪定理、若M、N点是AB的三等分点，两次应用坎迪定理，能得到“三翅蝴蝶定理”。蝴蝶定理的证明（一）运用简单的初中高中几何知识的巧妙证明 蝴蝶定理经常在初中和高中的试卷中出现，于是涌现了很多利用中学简单几何方法完成蝴蝶定理的方法。 1 带有辅助线的常见蝴蝶定理证明 在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！ 证法1 如图2，作，则垂足分别为的中点，且由于 得共圆；共圆。则又，为的中点，从而，则 ，于是。1证法2 过作关于直线的对称点，如图3所示，则 联结交圆于，则与关于对称，即。又故四点共圆，即而 由、知，故。证法3 如图4，设直线与交于点。对及截线，及截线分别应用梅涅劳斯定理，有 ，由上述两式相乘，并注意到 得 化简上式后得。22 不使用辅助线的证明方法单纯的利用三角函数也可以完成蝴蝶定理的证明。证法 4 （Steven给出）如图5，并令由，即化简得 即 ，从而 。证法 5 令，以点为视点，对和分别应用张角定理，有上述两式相减，得设分别为的中点，由，有于是 ，而，知，故。 （二） 运用解析几何的知识完成蝴蝶定理的证明 在数学中用函数的方法解决几何问题也是非常重要的方法，所以解析几何上夜出现了许多漂亮的证明蝴蝶定理的方法，以下列出几个例子以供参考。证法 6 （单墫教授给出）如图6，建立直角坐标系，则圆的方程可设为。直线的方程为，直线的方程为。由于圆和两相交直线组成了二次曲线系，其方程为令，知点和点的横坐标满足二次方程，由于的系数为，则两根和之和为，即，故。5证法 7 如图7建立平面直角坐标系，则圆的方程可写为直线、的方程可写为,。又设的坐标为，则分别是二次方程的一根。在轴上的截距为。同理，在轴上的截距为。注意到是方程的两根，是方程的两根，所以，从而易得 ，即。证法 8 如图8，以为极点，为极轴建立极坐标系。因三点共线，令，则即 作于，作于。注意到 由与可得 将代入可得，即。用解析法对蝴蝶定理再推广定理：已知AB是垂直于圆锥曲线对称轴的任意一弦,O为AB上任意一点,过O作两弦CD、EF,连CF、DE分别交AB于点P、Q,则证明:仅对椭圆给出证明,以O为原点,直线AB为x轴建立直角坐标糸,如图1,设椭圆方程为 直线CD方程为：,直线EF方程为 ,.由,消去y得: 同理得 设P(p,0),Q(q,0),则由C、P、F三点共线知