全等三角形复习巩固.doc

全等三角形复习巩固1复习目标 1、理解全等三角形的有关概念和性质。 2、掌握寻找全等三角形对应边、对应角的方法。3、发展空间观念，培养几何直觉。4、运用全等三角形的性质解决问题。一、有关概念：全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫.观察：把ABC沿直线BC平移，得到DEF. 把ABC沿直线BC翻折180，得到DBD 把ABC旋转180，得到AED.一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。(1) 全等变换：平移、翻折、旋转变换 (2) 全等三角形的对应元素：对应顶点、对应边、对应角（P3） (3) 符号表示：ABCAED注：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上. (4) 全等三角形的性质：对应边相等；对应角相等；面积、周长相等。全等三角形的性质是证明线段相等、角相等的一种常用方法。二、准确寻找全等三角形的对应边和对应角1. 全等三角形中一对最长的边是对应边，一对最短的边是对应边. (1)2. 全等三角形中一对最大的角是对应角，一对最小的角是对应角. (1)3. 全等三角形对应角所对的边是对应边，对应边所对的角是对应角. (1)4. 全等三角形中两个对应角所夹的边是对应边，两条对应边所夹的角是对应角. (1)5. 有对顶角的，对顶角一定是对应角. (1)6. 有公共边的，公共边一定是对应边. (2)7. 有公共角的，公共角一定是对应角. (3) (1) 已知：ACOBDO (2) 已知：ABCDBC (3) 已知：ABEACD 三、全等三角形的判定1、三边对应相等的两个三角形全等（SSS）.2、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）3、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）4、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）5、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写：HL）注：判定三角形全等必须有一组边对应相等 一. 选择题：1. 下列各图中，一定全等的是（ ）A. 各有一个角是的两个等腰三角形B. 两个等边三角形C. 各有一个角是，腰长都是3cm的两个等腰三角形D. 腰和顶角对应相等的两个等腰三角形2. 在和中，若证还要从下列条件中补选一个，错误的选法是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，1=2，C=D，AC、BD交于E点，下列结论中不正确的是（ ）A. DAE=CBEB. CE=DEC. 不全等于D. 是等腰三角形二. 填空题：1. 已知，有，则 。2. 如图AD=AB，则 。3 如图，已知在中，AD=AC，DEAB交BC于E，若，则 度。第2题 第3题三. 解答题：1. 如图，已知1=2，3=4，EC=AD，求证：AB=BE，BC=DB。2. 如图，已知ABCD，AB=CD，O为AC中点，过点O的直线交DA延长线和BC延长线于E、F，求证：OE=OF。3. 如图（1）在四边形ABCD中，ADBC，AB=DC，AE=DF。求证：BF=CE。 答案一. 1. D 2. C 3. C二. 1. 2. 3. 59三. 1. 证明： 1=2 (1)准备条件 在与中， (2)指明范围 (3)列齐条件 （AAS） (4)得出结论 AB=BE，BC=DB（全等三角形对应边相等）2. 证明： ABCD 1=2 O为AC中点 AO=CO 在与中， （SAS） （全等三角形对应角相等） ADBC（内错角相等两直线平行） E=F在与中， （AAS） EO=OF（全等三角形对应边相等）3. 证明：（1） ADBC 1+ABC=180 2+DCB=180 1=2 AE=DF AD+DF=AD+AE AF=ED 在与中， （SAS） BF=CE（全等三角形对应边相等）课后作业1、如图，已知四边形ABCD是梯形，ADBC，A=90，BC=BD，CEBD，垂足为E （1）求证：ABDECB； （2）若DBC=50，求DCE的度数分析：（2）因为DBC=50，BC=BD，可求出BDC的度数，进而求出DCE的度数解答：（1）证明：ADBC，ADB=EBC在ABD和ECB中，A=CEB （已知）ADB=EBC（已证） BC=BD （已知）ABDECB；（2）解：DBC=50，BC=BD，EDC=（180-50）/2 = 65，DCE= 90-65=252、如图，已知矩形ABCD中，E是AD上一点，F是AB上的一点，EFEC，且EF=EC（1）求证：AEFDCE（2）若DE=4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长证明（1）略（2）2（AE+AE+4）=32 得，AE=6（cm）全等三角形复习巩固2复习目标 1、角平分线的性质。 2、利用角平分线的性质解决问题一、要点：1、角平分线的定义：把一个角分成两个相等的角的射线。2、角平分线的性质、性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等.、几何语言： OP平分AOB， PDOA，PEOB则PD=PE、应用：证明两条线段相等。 3、角平分线的判定：、判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.、几何语言：PDOA，PEOB，PD=PE则点P在AOB的平分线上。、应用：证明两个角相等。4、三角形角平分线的性质、三角形三条角平分线交于一点，这点到三边的距离相等。、三角形两个外角的平分线的交点到三边所在的直线的距离相等。、应用：证明线段关系、点的位置等二、应用练习选择题ACPBDO12图11如图所示，ADOB，BCOA，垂足分别为D、C，AD与BC相交于点P，若PAPB，则1与2的大小是（ ）A.12 B.12C.12D.无法确定 2ABC中，C90，ACBC，AD是BAC的平分线，DEAB，垂足为E，若AB12cm，则DBE的周长为（）A、10cmB、11cmC、12cmD、14cm 3如图3所示，ABC中，AB=AC，AD是A的平分线，DEAB，DFAC，垂足分别是E、F，下面给出四个结论，其中正确的结论有( )AD平分EDF； AE=AF； AD上的点到B、C两点的距离相等到AE、AF距离相等的点，到DE、DF的距离也相等DBCAEF图3A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 4 如图，已知点D是ABC的平分线上一点，点P在BD上，PAAB，PCBC，垂足分别为A，C下列结论ABCDP错误的是（ ）AAD=CP BABPCBP CABDCBD DADB=CDB 5在ABC中，外角CBD, BCE的平分线交于O点，OFAD，OGAE，垂足分别为F、G，则AOF = OG BOFOG BOFOG D.无法确定- 6如图，ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将ABC分为三个三角形，则SABO：SBCO：SCAO等于（）A1：1：1 B1：2：3 C2：3：4 D3：4：5填空题1已知点C是AOB平分线上的一点，点P、P分别在边OA、OB上，如果要得到OPOP，需要添加以下条件中的某一个即可，请你写出所有可能结果的序号为_OCPOCP；OPCOPC；PCPC；PPOC2如下图，已知平分，平分，且过点，若，则的周长是26解答题1.已知：如图4，ABC的外角FAC的平分线为AE，AD = AC求证：DCAE2.已知：如图5，ABC中，C= 90，点D是斜边AB的中点，AB = 2BC，DEAB交AC于E求证：BE平分ABC3.已知：如图6，ABC中，A= 90，AB = AC = BD EDBC求证：AE = DE =DC4 先作图，再证明（1）在所给的图形（如图）中完成下列作图（保留作图痕迹）作的平分线，交于点；延长到点，使，连结（2）求证：作业：1已知：如图，BP，CP是ABC的外角平分线，证明：点P一定在BAC的角平分线上 提示：过点P分别作AM、BC、AN的垂线。2如图所示，BD是ABC的平分线，DEAB于E，SABC=36，AB=18cm，BC=12cm，求DE的长. 3如图，在ABC中，AD是BAC的角平分线，E、F分别是AB、AC上的点，且AEDAFD=180.求证：DE=DF （提示：过D作DMAB于M，DNAC于N.）4已知：如图，是的中点，平分（1）若连接，则是否平分？请你证明你的结论（2）线段与有怎样的位置关系？请说明理由2134（1）平分证明：过点作，垂足为，（角平分线上的点到角两边的距离相等）2134又，平分（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）（2），理由如下：，（垂直于同一条直线的两条直线平行）（两直线平行，同旁内角互补）又，1 = 1/2CDA 3 = 1/2DAB，即全等三角形复习巩固3动态变化问题动态几何，是几何图形运动变化后，产生新的问题，解决这类问题，要善于探索图形的运动特点和规律，抓住变化中图形的性质与特征，化动为静，以静制动1如图在ABC中，ACB=90，AC=BC，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：ADCCEB；DE=ADBE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=ADBE；ABCDEMN图2（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明ACBEDNM图3CBAED图1NM证明：（1） ADC=CEB =ACB=90，CAD+ACD=90，BCE+ACD=90，CAD=BCE ，AC=BC，ADCCEB； ADCCEB，CE=AD，CD=BE ，DE=CE+CD=AD+BE，（2） ADC=CEB=ACB=90， ACD=CBE，又AC=BC ， ADCCEB ，CE=AD，CD=BEDE=CECD=ADBE（3）当MN旋转到图3的位置时，AD、DE、BE所满足的等量关系是DE=BEADADC=CEB=ACB=90，ACD=CBE，又AC=BC，ADCCEB， CE=AD，CD=BE，DE=CDCE=BEAD 评注：本题以直线MN为动线。绕点C旋转成三个小题，三个小题都有ADCCEB 。三个小题DE、AD、BE具有不同的等量关系2如图a，ABC和CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接AF和BE（1）证明AF=BE （2）将图a中的CEF绕点C旋转一定的角度，得到图b，（1）中的结论还成立吗?（3）以点C为旋转中心，任意旋转其中一个三角形，都有AF=BE吗? 自己证明。 证明：（1） 在AFC和BEC中，ABC和CEF是等边三角形，AC=BC，CF=CE，ACF=BCE=60AFCBEC AF=BE（2）成立 在AFC和BEC中，ABC和CEF是等边三角形，AC=BC，CF=CE，ACB=FCE=60ACBFCB=FCEFCB即ACF=BCEAFCBECAF=BE 3如图（1）ABC为等边三角形，动点D在边CA上，动点P边BC上，若这两点分别从C、B点同时出发，以相同的速度由C向A和由B向C运动，连接AP，BD交于点Q，两点运动过程中AP=BD成立吗？请证明你的结论； （2）如果把原题中“动点D在边CA上，动点P边BC上，”改为“动点D，P在射线CA和射线BC上运动”，其他条件不变，如图（2）所示，请你利用图（2）的情形，求证：BQP=60；（3）如果把原题中“动点P在边BC上”改为“动点P在AB的延长线上运动，连接PD交BC于E”，其他条件不变，如图（3），则动点D，P在运动过程中，DE=PE吗？写出证明过程 解答：（1）略（2）ABPBCD（SAS），APB+PAC=ACB=60，DAQ=PAC，BDC+DAQ=BQP=60；（3）过点D作DGAB交BC于点G，CDG=C=CGD=60，DCG为等边三角形，DG=CD=BP，DGEPBE（AAS）DE=EP巩固练习1、如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，才可能在某时刻使与全等？（3）若点Q以中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？AQCDBP（1）1秒后，BP = 3 cm，BD = 5cm， PC = 5cm，CQ = 3cm， AB = AC，则B=C BPDCQP（2）若BPDCQP，还有一种情况就是BD = CQ，BP = CP BP = 4cmP的运动速度为3 cm /秒， 此时，P运动了(4/3) 秒 。P，Q同时运动， Q也运动了(4/3) 秒。CQ = BD = 5cm= (15/4) cm / 秒 Q的运动速度为(15/4) cm / 秒 （3）解：Q要追CA+AB=20厘米，追击时间为：20/（15/4-3）=80/3秒P点行走了3(80/3)=80cm，因为ABC的周长为28cm，所以P、Q两点在距离B点100 -283=-4cm的地方相遇。 即AB边上相遇2、如图，已知AOB=120，OM平分AOB，将等边三角形的一个顶点P放在射线OM上，两边分别与OA、OB（或其所在直线）交于点C、D（1）如图，当三角形绕点P旋转到PCOA时，证明：PC=PD（2）如图，当三角形绕点P旋转到PC与OA不垂直时，线段PC和PD相等吗？请说明理由（3）如图，当三角形绕点P旋转到PC与OA所在直线相交的位置时，线段PC和PD相等吗？直接写出你的结论，不需证明（1）角平分线上的点到角的两边的距离相等；（2）过P作OA、OB的垂线，证明PC、PD所在的三角形全等；（3）仿（2）的证明可得PC=PD3、如图1，若ABC和ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证：CD=BE，AMN是等边三角形 （1）当把ADE绕A点旋转到图2的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立请证明； （2）当ADE绕A点旋转到图3的位置时，AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明。图1 图2 图3图8解：（1）CD=BE理由如下: ABC和ADE为等边三角形 AB=AC，AE=AD，BAC=EAD=60 BAE =BACEAC =60EAC，CAD=DAEEAC =60EAC， BAE=CAD， ABE ACD CD=BE （2）AMN是等边三角形理由如下： ABE ACD， ABE=ACD M、N分别是BE、CD的中点， BM=CN AB=AC， ABM ACN AM=AN，MAB=CAN NAM=CAN +CAM=MAB+CAM=BAC=60 AMN是等边三角形 全等三角形复习巩固4 巩固训练1.如图所示，两块完全相同的含30角的直角三角形叠放在一起，且DAB=30。有以下四个结论：AFBC ；ADG ACF； O为BC的中点。其中正确结论的序号是 【答案】 提示：连接AO2如图，在RtABC中，BAC=90，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连结BE、EC试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想ABCDE【答案】BE=EC，BEEC 提示：EABEDC 3如图10，在四边形ABCD中，ADB