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函数的性质知识点一：函数的概念（一）函数的定义设A、B是非空的 集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的 一个数x，在集合B中都有 的数f(x)和它对应，那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，xA其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的 ；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的 .（二）构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域（1）构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全致，即称这两个函数 (或为同一函数)；（2）两个函数相等当且仅当它们的 和 完全致，而与表示自变量和函数值的字母无关.（三）区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示区间表示： ； x|axb= ； ； ； ； .知识点二：函数的表示法（一）函数的三种表示方法：解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 优点：简明，给自变量求函数值.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系 优点：直观形象，反应变化趋势.列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系 优点：不需计算就可看出函数值.（二）分段函数：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况知识点三：映射与函数（一）映射定义：设A、B是两个 ，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的 一个元素，在集合B中都有 元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射；记为f：AB.象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象.注意：（1）A中的每一个元素都有 ，且 ； （2）B中的元素未必有 ，即使有，也未必 ；（3）a的象记为 .（二）函数：设A、B是两个非空 ，若f：AB是从集合A到集合B的 ，这个映射叫做从集合A到集合B的函数，记为y=f(x).注意：（1）函数一定是 ，映射不一定是 ；（2）函数三要素： 、 、 ；（3）B中的元素未必有 ，即使有原象，也未必 ；（4）原象集合= 域， 域=象集合.知识点四：函数的单调性（一）增函数、减函数的概念一般地，设函数f(x)的定义域为A，区间如果对于M内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1x2时，都有 ，那么就说f(x)在区间M上是增函数；如果对于M内的任意两个自变量的值x1、x2，当x10时，求f(a)f(a-1)的值.解：【变式2】已知f(x)=2x2-3x-25，g(x)=2x-5，求：（1）f(2)，g(2)； （2）f(g(2)，g(f(2)；（3）f(g(x)，g(f(x)思路点拨：根据函数符号的意义，可以知道f(g(2)表示的是函数f(x)在x=g(2)处的函数值，其它同理可得解：例4.值域(用区间表示)：(1)y=x2-2x+4；.思路点拨：求函数的值域必须合理利用旧知识，把现有问题进行转化.解：类型二：映射与函数例5.下列对应关系中，哪些是从A到B的映射，哪些不是?如果不是映射，如何修改可以使其成为映射?（1）A=R，B=R，对应法则f：取倒数；（2）A=平面内的三角形，B=平面内的圆，对应法则f：作三角形的外接圆；（3）A=平面内的圆，B=平面内的三角形，对应法则f：作圆的内接三角形思路点拨：根据定义分析是否满足“A中任意”和“B中唯一”解：总结升华： 举一反三：【变式1】判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射？（1）A=1，2，3，4，B=3，4，5，6，7，8，9，对应法则（2）A=N*，B=0，1，对应法则f:xx除以2得的余数；（3）A=N，B=0，1，2，f：xx被3除所得的余数；（4）设X=0，1，2，3，4，思路点拨：判断是否构成映射应注意：A中元素的剩余；“多对一”“一对一”构成，而“一对多”不构成映射.解：【变式2】已知映射f：AB，在f的作用下，判断下列说法是否正确？（1）任取xA，都有唯一的yB与x对应； （2）A中的某个元素在B中可以没有象；（3）A中的某个元素在B中可以有两个以上的象； （4）A中的不同的元素在B中有不同的象；（5）B中的元素在A中都有原象； （6）B中的元素在A中可以有两个或两个以上的原象.【变式3】下列对应哪些是从A到B的映射？是从A到B的一一映射吗？是从A到B的函数吗？（1）A=N，B=1，-1，f：xy=(-1)x；（2）A=N，B=N+，f：xy=|x-3|；（3）A=R，B=R，（4）A=Z，B=N，f：xy=|x|；（5）A=N，B=Z，f：xy=|x|；（6）A=N，B=N，f：xy=|x|.答：例6.已知A=R，B=(x，y)|x，yR，f：AB是从集合A到集合B的映射，f：x(x+1，x2+1)，求A中的元素的象，B中元素的原象.解：举一反三：【变式1】设f：AB是集合A到集合B的映射，其中（1）A=x|x0，B=R，f：xx2-2x-1，则A中元素的象及B中元素-1的原象分别为什么？（2）A=B=(x，y)|xR，yR，f：(x，y)(x-y，x+y)，则A中元素(1，3)的象及B中元素(1，3)的原象分别为什么？解：类型三：函数的表示方法例7.求函数的解析式（1）若f(2x-1)=x2，求f(x)；（2）若f(x+1)=2x2+1，求f(x).思路点拨：求函数的表达式可由两种途径.解：举一反三：【变式1】（1） 已知f(x+1)=x2+4x+2，求f(x)； （2）已知：，求ff(-1).解：例8.作出下列函数的图象.（1）；（2）；（3）；（4）.思路点拨：（1）直接画出图象上孤立的点；（2）（3）先去掉绝对值符号化为分段函数.解：类型四：分段函数例9.已知，求f(0)，ff(-1)的值.思路点拨：分段函数求值，必须注意自变量在不同范围内取值时的不同对应关系. 解：举一反三：【变式1】已知，作出f(x)的图象，求f(1)，f(-1)，f(0)，fff(-1)+1的值.解：例10.某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：（1）乘坐汽车5公里以内，票价2元；（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按5公里计算)，已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途(包括起点站和终点站)设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象.解：举一反三：【变式1】移动公司开展了两种通讯业务：“全球通”，月租50元，每通话1分钟，付费0.4元；“神州行”不缴月租，每通话1分钟，付费0.6元，若一个月内通话x分钟，两种通讯方式的费用分别为y1，y2 (元)，. 写出y1，y2与x之间的函数关系式？. 一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？. 若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯方式？解：类型五：函数的单调性的证明例1、证明函数上的单调性.证明：举一反三：【变式1】用定义证明函数上是减函数.思路点拨：本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径.证明：类型六：求函数的单调区间例2、判断下列函数的单调区间；（1）y=x2-3|x|+2； （2）解：举一反三：【变式1】求下列函数的单调区间：（1）y=|x+1|； （2）（3）.解：类型七：单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值)例3、已知函数f(x)在(0，+)上是减函数，比较f(a2-a+1)与的大小.解：例4、求下列函数值域：（1）；x5，10； x(-3，-2)(-2，1)；（2）y=x2-2x+3；x-1，1； x-2，2.思路点拨：（1）可应用函数的单调性；（2）数形结合.解：举一反三：【变式1】已知函数.（1）判断函数f(x)的单调区间；（2）当x1，3时，求函数f(x)的值域.思路点拨：这个函数直接观察恐怕不容易看出它的单调区间，但对解析式稍作处理，即可得到我们相对熟悉的形式.，第二问即是利用单调性求函数值域.解：例5、已知二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间上是增函数，求：（1）实数a的取值范围；（2）f(2)的取值范围.解：类型八：判断函数的奇偶性例6、判断下列函数的奇偶性：（1） （2）（3）f(x)=x2-4|x|+3 （4）f(x)=|x+3|-|x-3| （5）（6） （7）思路点拨：根据函数的奇偶性的定义进行判断.解：举一反三：【变式1】判断下列函数的奇偶性：（1）；（2）f(x)=|x+1|-|x-1|； （3）f(x)=x2+x+1； （4）.思路点拨：利用函数奇偶性的定义进行判断.解：【变式2】已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)g(x)为偶函数.证明：类型九：函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)例7、已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2).解：法一：例8、f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)=x2-x，求当x0时，f(x)的解析式，并画出函数图象.解：例9、设定义在-3，3上的偶函数f(x)在0，3上是单调递增，当f(a-1)b0，给出下列不等式，其中成立的是 .（1）f(b)-f(-a)g(a)-g(-b)； （2）f(b)-f(-a)g(b)-g(-a)； （4）f(a)-f(-b)g(b)-g(-a).答案：例11、求下列函数的值域：（1） （2） （3）思路点拨：（1）中函数为二次函数开方，可先求出二次函数值域；（2）由单调性求值域，此题也可换元解决；（3）单调性无法确定，经换元后将之转化为熟悉二次函数情形，问题得到解决，需注意此时t范围.解：例12、已知函数f(x)=x2-2ax+a2-1.（1）若函数f(x)在区间0，2上是单调的，求实数a的取值范围；（2）当x-1，1时，求函数f(x)的最小值g(a)，并画出最小值函数y=g(a)的图象.解：例13、函数f(x)在定义域(0，+)上为增函数，f(2)=1，且定义域上任意x、y都满足f(xy)=f(x)+f(y)，解不等式：f(x)+f(x-2)3.解：例14、判断函数上的单调性，并证明.证明：例15、设a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1，xR，试讨论f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值.解：总结与测评（一）函数定义域的求法（1）当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件.（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义.（3）求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.（二）如何确定象与原象对于给出原象要求象的问题，只需将原象代入对应关系中，即可求出象.对于给出象，要求原象的问题，可先假设原象，再代入对应关系中得已知的象，从而求出原象；也可根据对应关系，由象逆推出原象.（三）函数值域的求法实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域；配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域.求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等.总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约.（四）证明函数单调性的步骤：（1）取值.设是定义域内一个区间上的任意两个量，且；（2）变形.作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；（3）定号.判断差的正负或商与1