第八章 多学科设计优化.doc

第八章 多学科设计优化8.1 多学科设计优化的概述8.1.1 多学科设计优化的产生和发展飞机设计是一个复杂的系统工程，覆盖了多个学科的内容，例如空气动力学、结构学，推进理论，控制论等。对某一个学科领域，进行计算分析和优化设计，可以建立起数学模型和计算软件，对于复杂的工程系统，目前很难建立起统一的分析和优化的数学模型，只能是各子系统模型和计算软件的“总装配”，这种装配式的设计必将是低效耗时和昂贵的，它包含了大量的设计变量，性能状态变量，约束方程，各个系统模型相互交叉影响，各个设计目标对设计变量的要求相互矛盾，子系统的构成可能是由不同领域的专家甚至在不同地点来操作运行的。因此需要发展一种高效适合于像飞机这样的复杂工程系统设计优化的方法。多学科设计优化（Multidisciplinary Design Optimization）技术就是解决由相互耦合的物理现象控制的，由若干不同的交互子系统构成的复杂工程系统设计的有效方法。多学科设计优化技术在提供变量、约束、性能间交互作用和耦合信息的基础上实现同时满足各学科和系统约束的设计，具有对各种设计方案迅速进行折衷分析的能力。多学科设计优化已成为研究的热点，是许多国际学术会议讨论的主题。它不仅仅是学术研究，已经用于工程实践，如在飞机改型设计中，以最小重量和成本代价对现有飞机实现改变设计要求，迅速计算出设计参数对性能的影响，有效控制寿命周期内的费用。8.1.2 多学科设计优化的基本概念多学科设计优化是一种解决大型复杂工程系统设计过程中耦合与权衡问题，同时对整个工程进行综合优化设计的有效方法。它利用计算机网络技术集成各个学科（子系统）的知识，应用有效的设计优化策略，组织和管理设计过程，充分利用子系统之间相互作用产生的协同效应，获得系统的整体最优解。通过并行设计缩短设计周期，多学科设计优化与现代制造技术中的并行工程思想是一致的，多学科设计优化技术有下列特点：1 通过对整个系统的优化设计解决不同学科间权衡问题，给出整个系统的最优设计方案，提高设计质量。2 通过直接或间接的数值计算方法解决各学科之间的耦合问题，容易获得各学科之间协调一致的设计，消除了过去依靠经验试凑迭代计算解决耦合问题。3 通过系统分解使计算并行化成为可能，通过计算机网络将分散在不同地区和设计部门的计算模块和专家组织起来，实现并行设计，使系统的综合优化设计变得简单。4 通过近似技术和可变复杂性模型的分析方法，减少系统分析次数，提高设计优化效率。5 通过系统和各子系统数学模型的模块化以及它们之间有效的通讯及其组织形式，使各学科各计算模块之间数据传输量和所需附加操作尽可能少。多学科设计优化方法主要分为两类：单级优化算法和多级优化算法，现分别加以介绍：1 单级优化算法：这种方法要求有一个集中的分析模块，该模块将各个学科分析连接起来，学科间通讯在系统分析模块内部进行，优化器与系统分析模块只有一个输入输出接口，这样在每一次优化迭代过程中，系统分析模块从优化器得到一个设计变量集合X，经过系统分析后返回每个约束ci和目标函数的值，这些值为优化器提供必须的决策依据，单级优化算法的原理图如图8.1所示：图8.1 单级优化算法原理图这种方法是在单一计算机平台上运行的单机模式，为了把多学科的内容融合到单一代码里，对各学科的模型必须进行近似和简化，用近似的计算方法来代替各学科间的耦合关系，不能很好地反映多学科的相互影响。每次优化迭代都需要进行一次完整的系统分析，因此获得最优解所需系统分析次数很多，工作量很大，不适合复杂工程系统的优化设计。2多级优化算法，目前多学科设计优化的多级优化方法主要有协同优化方法(Collaborative Optimization，简称CO)，和并行子空间优化算法（Concurrent Subspace Optimization,简称CSSO）。 协同优化算法：将复杂系统的优化设计问题分为两级：一个系统级和并行的多个学科级。系统级向各学科级分配系统级变量的目标值，各学科级在满足自身约束的条件下，其目标函数应使在本学科优化得到的系统级变量值与系统级分配下来的目标值的差距最小，经学科级优化后，各目标函数再传回给系统级，构成系统级的一致性约束以解决各学科间系统级变量的不一致性。由于协同优化独特的计算结构，一般情况下，要经过多次系统级优化才可能达到学科间的协调。协同优化算法结构与现有工程设计分工的组织形式相一致，各学科级优化代表了实际设计过程中的某一领域，具有模块化设计的特点。计算具有并行性,各学科的分析设计可同时进行，极大地缩短设计周期，各学科分析和优化在本学科范围内进行，不考虑其他学科的影响，各学科已有的分析设计软件很容易移植到学科级优化的框架内，继承性好。学科间的协调、解耦问题由系统级一致性约束体现，通过系统级优化逐步解决，避免了直接解耦巨大的工作量和风险。并行子空间优化算法：先给出一组初始设计变量，进行系统分析，求出一组与设计变量对应的状态变量，利用这些数据构造响应面，通过响应面来近似状态变量与设计变量的关系。系统分析后各学科级进行优化，当涉及其它学科的状态变量时，可以通过响应面来获取。利用学科级优化的结果，再次进行系统分析，更新响应面。然后进行系统级优化，系统级优化中所有状态变量的计算均基于响应面近似，所以计算工作量不大。系统级优化结束后，将系统级最优设计变量再次进行系统分析，并开始再一轮的响应面构造和学科级优化。这样响应面近似越来越精确，直到相邻两次系统设计方案相差无几，认为设计过程收敛到最优解，设计过程结束。8.2 多学科设计优化的通用技术多学科设计优化由以下主要通用技术组成。图8.2多学科设计优化的通用技术1 面向设计的分析 敏度分析：进行工程设计时经常需要对某一设计结果进行粗略而迅速地估价，需要求出输出变量（状态或性能变量）对输入变量（设计变量）的导数，即敏度分析，以便有效地进行优化设计，提高设计质量。常用的敏度分析方法如有限差分法、自动差分程序、基于隐函数理论的解析方法、求解伴随敏度方程，以及系统敏度分析方法等。 近似重分析：建立非常灵活的程序组织，以尽可能少的分析次数得到反映输入数据变化后的新解，也就是以最小计算工作量来满足用户对输入输出数据改变、查询和存储的需要。 计算工作量与精度的折衷：多学科优化需要多次重分析，造成工作量非常之大。可以采用两种模型：精确模型和简化模型。为了兼顾计算精度和工作量，使用精确模型和简化模型的解之比，即相关因子。求导时，先同时使用两种模型进行计算并求出相关因子，进一步分析时只采用简化模型乘以相关因子加以修正。精确模型应周期性使用以减小误差。 数据管理与显示：多学科设计优化在面向设计分析阶段由于大量重分析积累了非常多的数据，它们要被存储表达、调用，因而子系统间数据传输、数据库的建立和高效数据管理十分必要。另外，为了用户的直接判断和培训，实现彩色可视化也很重要。2 近似技术直接使用传统的分析和优化方法求解所需模块调用次数太多，计算工作量太大，必须使用近似技术。近似技术主要分为两类：局部近似和全局近似。局部近似只是在某个设计点附近对函数关系进行近似，经常使用的是基于Taylor级数的近似方法，需要求解导数，控制步长，对高度非线性的函数容易出现错误，但计算简单。全局近似则对整个设计空间进行，常用的方法有响应面法、基于神经网络的近似方法等。这些方法可以滤除设计空间中的波峰或波谷，使设计空间的函数关系变得光滑而又简单，从而使优化收敛速度加快，容易求得全局最优点。全局近似的缺点是：构造近似函数和神经网络需要在许多初始点处进行分析计算，效率不高。近似函数和神经网络的好坏同初始设计点的选取有关，有一定盲目性。整个系统分析的次数由近似误差控制技术来确定。3 系统数学模型的建立多学科设计优化是由多个模块组成的系统，应建立一种好的数学模型，以便减少程序间的数据传输量，提高计算效率。例如可以采用减缩设计空间的方法减少数据传输量、传递方程系数联系紧密的学科合并到一个模块、利用Fourier级数近似方法减少设计变量数目、对不重要的分析模块采用粗略分析方法等降低各模块间的数据传输量。4 系统的分解多学科设计优化技术需将大的工程系统进行分解，其方法主要有：层次型分解、非层次型分解和混合型分解，见图8.3。 层次型分解 非层次型分解 图8.3系统分解类型对层次型分解，各系统模块构成一个金字塔结构，数据自顶向下流动，若干子系统接收来自同一父系统的输入，子系统间不进行通讯。对非层次型分解，各子系统模块是平等的，它们互相进行数据传输，没有父系统。上述两种类型的混合即为混合型分解。5 优化方法和过程在设计空间中寻求最优解的方法很多，如线性规划、非线性规划、整数规划、随机规划等数学规划方法，还有工程上更为实用的优化准则法。这些方法的选取和工程系统本身的性质有关。多学科设计优化不是简单地选用某个优化方法构成优化算子就能解决的。它要把各个计算模块，包括优化算子组成一个流程，允许并行处理和人工决策支持。流程有不同的形式，可以把优化只在学科级进行，在系统级协调；可以把设计指标分配给子系统，在系统级改变配置并进行优化；也可以在学科级和系统级进行不同级别的优化等。6 人机界面多学科设计优化决不是一个“按下按钮”即可完成的过程，它需要人的参与，其软件系统应使用户可以查看和判断实时产生的数据，根据中间结果可以修改计算模型和算法，决定何时中止计算。这要求有一个十分完善和友好的界面系统。8.3 基于层次型分解的算法（Hierarchical Decomposition）8.3.1 基本概念、数学模型、算法将一个大系统分解成许多层，每层的计算规模较小，各层次间的耦合关系也能保持，层次型分解可以与设计单位组织一致，有利于各部门的合作和通过网络进行并行设计、进行层次型分解时，不仅将设计约束按系统的层次进行分配，还要对设计变量进行分配，使设计变量不断细化，顶层的约束和设计变量与全局优化目标相关，各子层的约束和设计变量仅反映该层的设计目标，以体现设计优化由顶层到底层不断细化的过程。以顶层、中间层、底层三个层次为例加以说明。对各级设计变量赋予的值，相当于进行了最初的资源分配。顶层设计变量的当前值代表对中间层的一种资源分配方式，将作为设计参数分配给中间层，中间层设计变量的当前值代表对底层的一种资源分配方式，将作为设计参数分配给底层。下面给出详细的算法。1 底层优化系统优化的迭代循环从底层开始，底层优化的设计目标是使按照底层设计变量计算出的参数值（即设计参数的实际值）与中间层分配的值尽可能一致。这里使用KS函数作为底层目标函数，用来表示设计参数的实际值与分配值之间的差异。KS函数的定义为：KS()=ln() （8.1）式中为第i个约束，m为约束个数，为控制变量，由经验确定，取为10。KS函数有近似最大约束的特征。若KS函数由方程 ，-（i=1,2,k）构成，即：KS(f)=KS(f1, -f1, fk , -fk) （8.2）则f1,f2,fk同时为零时，KS函数最小。作为底层目标函数，应使设计参数的实际值与中间层的分配值相一致，也就是使-趋于0，即：(i=1,k) （8.3）将替换（8.2）式中的，当KS函数值最小时=0。可见KS函数作为底层目标函数，代表了底层设计参数的实际值与分配值的一致程度，KS函数值越小，一致程度越高。底层优化的数学模型为：Find Min F=KS() （8.4）s.t. 0 ( i=1,2,m ) 式中=(,),(i=1,2,k)，是底层设计变量，是底层的约束。本次迭代的最优设计变量构成的设计参数与分配值不一致。当前KS函数最优解与KS函数所能达到的最小点还有一定差距。为了让中间层能够改进资源分配。还应求出底层目标函数对设计参数的敏度,并将这些目标函数信息传入中间层。2 中间层优化与底层优化相似，中间层优化同样需要使中间层设计参数的实际值与顶层的分配值一致。因此中间层的目标函数同样为关于中间层设计参数实际值与分配值的KS函数。同时中间层还要改进对底层的资源分配。设法使底层目标函数值减少，不断解决对底层的资源分配不协调问题。因此引入近似约束，近似约束的作用是在中间层优化时，限制中间层设计变量，使中间层设计变量（即底层设计参数）改变后，底层新的目标函数最优值不断减小，以此改进中间层资源分配，使底层设计参数实际值与分配值不一致现象随大循环的进行逐步得到解决。为了避免中间层设计变量改变后重新优化底层，应该使用底层最优解的近似值来构成近似约束。近似约束定义为： （8.5）式中为中间层设计变量改变后底层最优解的近似值，为的上限。= （8.6）式中F为底层目标函数最优解，它由底层优化得到。为第t个中间层设计变量，同时也是底层第t个设计参数。敏度导数 由底层敏度分析求出。 中间层优化的数字模型为：Find Min F=KS() s.t. (i=1,m) （8.7）式中=(,),(i=1,2,k) 。是中间层设计变量，是中间层设计约束，可以是强度约束，几何约束等， 是近似约束，为中间层改进对底层的资源分配提供依据。中间层优化约束后，需向顶层提供中间层的最优解和最优解对中间层设计参数的敏度，作为顶层改进对中间层资源分配的依据。3 顶层优化由于顶层优化不再有上一级，因此不需要使用KS函数作为目标函数。顶层的任务是对全局进行优化，其目标函数为全局的设计目标，约束为关于全局的约束。同时顶层优化也要改进对中间层的资源分配，因此也要引进近似约束。数学模型为：Find Min F() s.t. (i=1,m) （8.8）式中为顶层设计变量，为顶层设计约束，可以是变形、强度、几何约束等。 为近似约束。为顶层改进对中间层的资源分配提供依据。为中间层目标函数的近似值，为中间层目标函数最优解的上限。8.3.2 算例以三梁元刚架为例，进行层次型分解，实现多学科设计优化。刚架由三个梁构成，见图8.4。每个梁又被分解为上缘条、下缘条和腹板。在各个腹板上均有Z型材做加强筋。两个腹板对称。整个结构的设计目标为刚架体积最小，约束条件是梁元2右端的水平位移小于0.635cm。角位移小于0.005rad。同时保持梁元、壁板、型材满足拉、压强度,受压稳定性和结构可行性要求。对各个梁元有26个约束。对每个型材又有22个约束。整个结构约束多达265个。设计变量为梁元的结构尺寸。对设计变量设置几何约束：要求Z型材的面积不大于缘条面积的10%，腹板面积的5%。是和梁元惯性矩和梁元面积的函数。由此可见该算例设计变量数目多且关系复杂。图8.4 三梁元刚架 图8.6 结构分解现用层次型分解方法进行优化设计。将刚架进行层次型分解，结构分解后底层设计变量为加强筋的几何参数（见图8.5）底层约束条件为壁板强度约束和为了保证结构可行性而引入的几何约束。同时，上一级的设计变量 作为本级的设计参数（不是独立参数）。设计目标函数为关于的KS函数，以此表示对设计参数的满足程度。中间层优化的约束为梁元的强度约束，为使底层最优解对其设计参数的满足程度不断增加，引入近似约束。中间层设计目标函数为关于设计参数，A的KS 函数。设计变量为。顶层优化的约束为外力作用点的位移约束（图8.4）。为使中间层最优解对其设计参数的满足程度不断增加，也要引入近似约束。本级为顶层，故不再使用对上一级耦合的KS函数作为设计目标函数了。本级设计目标函数为全结构体积最小。设计变量为各梁元的截面惯性矩，和截面积A。通过多学科设计优化的层次型分解方法，其计算结果见表8.1。同常规优化方法相比，在满足同样约束条件下，结构重量减轻11.7%。表8.1 计算结果单位：cm梁元1梁元2梁元3初始值不分层最优解分层后 最优解初始值不分层最优解分层后 最优解初始值不分层最优解分层后 最优解全结构体积初始值：1929549.25； 不分层的最优解：1640116.86； 分层后的最优解：1447161.94；顶层截面积275271.6234.21231.61043.9127.71801.7356.13297.42惯性矩(X106)0.16250.16210.14011.2941.7541.655.392.5681.923中间层目标值-0.006-0.0157-0.067Xm14.19125.442.46687.382.074.4250.71.65Xm225.425.421.6588.987.3879.55111.7650.747.17Xm31.90525.42.113.30287.383.704.9250.72.0Xm41.07425.40.8994.38787.381.722.8950.71.07Xm557.1523.256.7788.998.32106.02125.7361.3458.62底层上缘条目标值-0.024-0.018-0.041Xb10.2540.2540.2262.0322.152.160.7620.750.973Xb20.2540.2540.2180.6350.6680.830.77420.4470.447Xb31.0161.0110.912.0322.152.160.7620.9730.973Xb42.542.542.545.085.415.415.084.134.13Xb52.542.542.555.085.415.415.084.134.13Xb67.627.597.4717.7819.0419.045.084.134.13底层下缘条目标值-0.041-0.027-0.04Xb10.7620.760.8891.271.260.720.44450.4420.183Xb20.2540.750.401.0160.940.7750.44450.4420.234Xb30.7620.760.821.271.260.421.271.254.58Xb42.542.543.232.542.542.545.085.054.23Xb52.542.543.152.542.544.375.084.994.23Xb610.1610.08.6917.7817.7819.705.085.056.41底层腹板目标值-0.011-0.016-0.014Xb10.1830.1830.2180.7620.7620.7240.1830.1880.165Xb20.2540.2530.1601.58751.5881.3030.1830.1880.178Xb30.4450.4440.3930.5080.4750.4750.8890.8590.582Xb45.085.043.925.084.7144.7142.542.542.54Xb52.545.072.537.627.0717.0712.542.542.58Xb65.0817.784.957.623.0357.2427.627.4637.953迭代次数：238.4 协同优化(Collaborative Optimization, CO)协同优化方法是近期发展起来的一种多学科设计优化方法，数学上它也是一种二级优化算法。协同优化的基本思想在于“使某一学科的专家除了能进行本学科的分析外还能自主地参与本学科领域内的设计决策，同时在这一过程中不必关注由于其他学科的变化而带来的整个系统的变化”。由这一段论述可以看出协同优化设计过程本质上是一个分布式并行的优化决策过程。8.4.1 协同优化的基本概念、数学模型及其特点协同优化将原有的优化设计问题分为两级：一个系统级和并行的多个学科级。系统级向各学科级分配系统级变量的目标值，各学科级在满足自身约束的条件下，其目标函数应使在本学科优化得到的系统级变量值与系统级分配下来的目标值的差距最小，经学科级优化后，各目标函数再传回给系统级，构成系统级的一致性约束以解决各学科间系统级变量的不一致性。由于协同优化独特的计算结构，一般情况下，要经过多次系统级优化才可能达到学科间的协调。下面介绍协同优化的数学表达形式。协同优化的系统级优化问题表述如下 （8.9）其中：f(z)：系统级目标函数；：系统级设计变量向量，共有个，表示第个系统级设计变量，被分配到了第个学科中；：系统级设计参数向量，它是学科级优化的设计变量最优解，共有个，表示第个设计变量最优解，由第个学科级优化传来，它是系统级分配给学科级优化的设计变量的函数；J ：系统级约束，共有个；：系统级分配到第个学科级的设计变量个数。协同优化的学科级优化问题表述如下（以第i个学科为例）： （8.10）式中：学科级优化目标变量，等于系统级分配下来的系统级设计变量；：学科级优化设计变量；：学科级优化约束； 系统级优化同学科级优化的关系如下： （8.11）上式表明，学科级优化时用到的参数q就是系统级优化的设计变量的最优解，而系统级优化时用到的参数p是学科级优化的设计变量的最优解。在协同优化中，系统级一致性约束和学科级目标函数之间的关系比较复杂但十分重要。协同优化算法的结构及各模块间信息通讯如图8.6所示。协同优化方法在解决复杂系统的设计问题时，有其独到的长处，初步总结有如下几方面：（1） 其算法结构与现有工程设计分工的组织形式相一致，各学科级优化问题代表了实际设计过程中的某一学科领域，如气动、结构、推进等等，具有模块化设计的特点，因此计算结构清晰明了，易于组织管理。（2） 各学科级保持了各自的分析设计自由，即在进行本学科的分析设计过程中可以不考虑其他学科的影响，这一点是协同优化最显著的特点，也是保证其计算并行性的基础，在目前已有的多学科设计优化方法中，协同优化的学科自由度是最高的。（3） 各学科已有的分析设计软件能够很容易地移植到相应学科级的分析设计过程中，不需要做进一步的变动，有利于分析设计的继承性。（4） 计算具有并行性，即各学科的分析设计过程同时进行，能极大地缩短设计周期。（5） 协同优化方法各子学科间的协调、解耦问题已由系统级的一致性约束体现，避免了求解高次非线性耦合方程组的困难。图8.6 协同优化算法结构图8.4.2 协同优化算法及算例 由以上论述可见，协同优化中，系统级优化使系统目标函数最小，同时设法使系统级设计变量最优解的约束违背程度（本质上是学科间的不一致性）趋近于零，然后系统级优化将系统级设计变量最优解q分配到各个学科中，而学科级优化则设法找到本学科可行域内与系统级优化分配的最优解最近的点p，并且将该点返回给系统级，系统级优化将利用各个学科返回的解进一步使系统级设计变量最优解的约束违背程度趋近于零，这个过程不断进行，直到迭代收敛为止。在解决协同优化的具体方法中，基于响应面近似的协同优化算法是常用的十分有效的方法。这种方法利用一系列的系统级设计点和学科级优化结果按照响应面方法进行二次拟合，形成新的系统级约束，取代原有系统级等式约束，然后按传统优化方法求解，其中响应面的更新可采用修正的置信域方法进行。响应面技术用于近似一些变量同另外一些变量之间的函数关系，在协同优化计算过程中，我们利用响应面来近似系统级约束Ji与系统级设计变量z之间的关系，即： (8.12）其中，代表近似误差，代表近似函数，通常被取为关于的低阶多项式，即： （8.13）式中，为未知系数需要计算求得。在协同优化方法中运用响应面方法进行求解的具体步骤如下：（1） 确定系统级设计变量的初始设计点集z；（2） 将这些设计点传递给学科级优化，求解出设计点对应的学科级目标函数最优解集J；（3） 利用系统级设计点z和设计点对应的学科级目标函数最优解J构造出响应面近似函数。 （8.14）在得到（8.14）式后，我们就可以将其代入式（8.9）作为新的系统级约束替代原有的系统级约束，进行系统级优化。 下面给出一个协同优化的数值算例。为了图形表示的形象直观，更好地理解协同优化的算法过程，我们选用了一2维问题： （8.15）其中是可变参数。该算例在有关多学科优化的论文中曾被广泛引用，现取=0.1。根据有关文献，该问题最优解为（0.198,1.98），此时目标函数值为3.959604。该问题的约束及目标函数等高线情况如图8.7所示：可行域c2c1图8.7采用协同优化方法计算时，假定约束c1、c2分别代表学科1和学科2，则该问题重新表述为如下形式（按照式（8.9）的形式）：系统级优化问题： （8.16）式中，为系统级设计变量学科级1优化问题： （8.17）式中，为学科的优化目标变量，等于系统级分配下来的系统级设计变量 、为学科1的设计变量学科级2优化问题： （8.18）式中，、为学科2的设计变量基于响应面近似的协同优化算法是一种迭代算法，现在我们以第一个迭代循环为例，对其进行具体说明。（1） 选取系统级设计变量样本点集（根据中心组合设计的方法选取8个样本点）：z=（ 1.0000 1.0000），（ 1.0000 0.0000），（ 1.0000 -1.0000），（0.0000 -1.0000），（-1.0000 -1.0000），（-1.0000 0.0000），（-1. 0000 1.0000），（0.0000 1.0000）（2） 将这8个样本点作为系统级目标值分别传入学科级1和学科级2，构成学科级优化问题，并进行优化求解，求得的最优解如下：学科级1： J1=0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000学科级2： J2=0.8020 3.5743 8.3267 8.9109 9.5149 4.3663 1.1980 0.9901由于在该次迭代过程中所选的8个样本点都在约束c1的可行域内，故而学科级1目标函数的8个最优值都是0。（3） 根据已得到的z及J1、J2构造响应面方程，利用最小二乘法求出其中的未知系数，这样就得到了学科级目标函数的二次响应面（如式（8.14）所示）。（4） 将（3）中得到的二次响应面作为新的系统级约束代替原有的系统级约束，进行系统级优化，得到一个系统级最优解，然后以这个最优解为中心，按照中心组合设计法再选取一组样本点。按照上述方法即可进行下一步的迭代计算。下面我们再来看看原约束和响应面近似约束之间的关系，图8.8表示计算结束时的约束情况，由于本算例中由响应面方法得到的近似主动约束十分精确地逼近原主动约束，为了醒目起见，我们采用了放大图。图8.8由基于响应面近似的协同优化方法得到该问题的最终解如下：设计变量最优解 0.1970 , 1.9702目标函数最优值 3.9205目标函数值迭代历史如图8.9所示：图8.9系统级设计变量最优解的迭代历史如表8.2所示：表8.2迭代次数1234系统级最优解000.2579 1.96320.1970 1.97020.1970 1.9702由上表可以看出，在基于响应面近似的协同优化方法中仅进行了4次迭代就收敛了，但是在实际计算中每一次完整的迭代过程还包括了一些小的子迭代，而且为了构造响应面，在每一次迭代过程中都要进行多次学科级优化运算，因此响应面方法的计算量是比较大的。8.5 协同优化的近似方法本节是我们近年来的研究成果，这些近似方法可以有效地解决多学科设计优化问题，效率高，又有一定精度。8.5.1 序列超球子空间代替方法这种方法是以学科级的最优设计点为球心构造一个设计空间里的超球，该超球在数学上实际是对原始的系统级的每个约束进行松弛，将一致性等式约束化为不等式约束。几个约束形成的超球的相交部分构成了新的系统级的设计空间，然后利用传统优化方法求解。在该方法中，确定松弛量的大小是一个十分关键的问题，太小了系统级问题仍然是不可行的，太大了又失去了一致性约束的意义，因此必须进行权衡。此外随着迭代的进行，如果每一迭代步骤都使用同一松弛量，可能出现该松弛量对某一步是合适的，而对其他步则极有可能过大或者过小，因此松弛量本身也应该是一动态量，必须按一定规则进行变化。我们也对此进行了研究，提出了一套规则，简单描述如下。该方法的计算结构与协同优化十分相似，不同之处在于系统级优化的约束由一致性等式约束变为不等式约束，如式（8.19）所示。 （8.19）以两学科问题为例，设经第一学科优化得到了最优设计点X1，经第二学科优化得到了最优设计点X2，就代表了设计变量空间里两个最优设计点之间的距离，令 （8.20）则s就是松弛量的大小。于是新的系统级约束就转化为： （8.21）我们可以看到，原来的等式约束经过这样的松弛处理后，变成了不等式约束，新形成的系统级优化问题保证是可行的。在数学上，s实际上代表了学科间的不一致性,即同一系统级变量在不同学科间的差异。随着迭代的进行，s的值不断减小，它表示学科间越来越趋近一致，直到最后满足精度要求。这种方法的最大好处在于克服了标准协同优化方法的计算困难，直观简洁，程序编制简单，计算量小，有明显的数学意义，系统级设计者在每一次迭代后都能明确当前各学科间的一致性状况信息，对当前结果有一个正确评估。同样以式(8.15)所示的优化问题为例，在利用超球子空间优化时原问题表述为如下形式：系统级优化问题： （8.22）学科级1优化问题： （8.23）学科级2优化问题： （8.24）以下是用超球子空间方法计算得到的结果：设计变量最优解 0.1978 1.9774目标函数最优值 3.9494目标函数值迭代历史如下图8.10所示，学科间不一致性信息如图8.11所示：图8.10 图8.11设计变量优化结果见表8.3：表8.3迭代次数12345最优设计变量系统级0.0000 0.00000.0891 0.89110.1381 1.38120.1651 1.65070.1799 1.7990学科级10.0000 0.00000.0891 0.89110.1381 1.38120.1651 1.65070.1799 1.7990学科级20.1980 1.98020.1980 1.98020.1980 1.98020.1980 1.98020.1980 1.980267891011120.1881 1.88050.1926 1.92540.1950 1.95000.1964 1.96360.1971 1.97110.1976 1.97520.1978 1.97740.1881 1.88050.1926 1.92540.1950 1.95000.1964 1.96360.1971 1.97110.1976 1.97520.1980 1.98020.1980 1.98020.1980 1.98020.1980 1.98020.1981 1.98020.1981 1.9802 由表8.3与图8.11我们可以看出，随着迭代的进行，系统级设计变量在学科级1和学科级2之间越来越趋向一致，体现出了协同优化的思想，即各学科在满足自身约束的条件下，独立并行完成优化设计任务，系统级对系统级变量在不同学科间的不一致性进行协调，使其逐步达到协调一致。超球方法的数学意义明确，计算的鲁棒性好而且程序编制简单，系统级与学科级间需交换的信息较少，计算效率高，系统级设计者获得的信息多，是一种简洁高效的方法。8.5.2 子空间近似法子空间近似法也是将一个具有很多约束的复杂问题分解为一个系统级和若干学科级优化。学科级优化只涉及与该学科相关的约束，含有本学科的设计分析模块，采用适于本学科的优化方法，具有较强的独立性。学科级和系统级具有相同的设计变量，在系统级进行各学科间的权衡、解耦，并寻求整个设计问题的最优解。子空间近似法的算法框架如图8.12所示。 图8.12子空间近似算法框架1 系统级优化： （8.25)式中，为学科数，为设计变量数，为设计变量绝对值的上限，为第i个学科的约束边界近似方程，是过学科级最优点约束边界的切平面。2 学科级优化：第个学科级优化如下式： （8.26）式中，为学科i的目标变量，等于系统级分配的设计变量，为在学科i要计算的设计变量。学科级优化的几何含义就是在学科级的可行域内寻找一个设计点，使之与系统级分配值距离最近。3 约束边界近似方程：学科级优化的最优解，目标函数的最优解为。目标函数可以视为以为圆心，以为半径的超球，它与约束边界相切于。过超切平面方程： （8.27）而： （8.28）于是（8.27）式经简化后得： （8.29）设与超球相切的约束边界的函数表达式为，超球外法线方向指向使的方向，于是的近似不等式约束为： （8.30）将（8.30）式代表的约束边界近似方程代入（8.25）式的系统级优化的题中求解。4 算例：与基于响应面近似的协同优化方法相同的数值算例。 （8.31） 取=0.1，已知最优解为（0.198，1.98），目标函数最优值为3.9596。系统级优化： （8.32） 学科级1优化： （8.33）学科级2优化： （8.34）经两次迭代达到最优设计。表8.4 最优设计变量迭代次数系统级设计变量学科级1设计变量学科级2设计变量系统级优化目标函数第1次迭代-3-5-3-5-2.2772.22834第2次迭代0.1971.9780.1971.980.1971.9783.9548.6 并行子空间优化（Concurrent Subspace Optimization, CSSO）8.6.1 并行子空间优化的基本概念并行子空间优化算法是一种非层次型分解的多学科设计优化算法。该算法将设计优化问题分解为若干个学科级优化问题和一个系统级优化问题。在学科级（子空间）优化中，本学科的状态变量计算通过该学科的精确模型来获取，所涉及的其它学科的状态变量计算通过某种近似模型来得到。各学科优化计算相互独立，可并行进行，因此称为并行子空间优化算法。近似方法的不同，衍生出不同的CSSO算法。目前经常采用响应面近似技术来构造学科间近似关系，称为基于响应面近似的并行子空间优化算法。设有如下一个工程设计优化问题： （8.35）其中：X：设计变量组成的向量，有n维，以下简称设计向量Y：状态变量组成的向量，分别是y1、y2，以下简称状态向量 （为了说明问题方便，状态变量设为2维）C：约束向量，有h维即h个约束在飞机设计中，这样的优化问题是可以碰到的，如一个考虑到气动扭转的机翼优化设计，其展长、展弦比、厚度等构成了该机翼的设计向量X，气动力y1和扭转角y2构成状态向量。此外，许用结构应力等因素构成该设计问题的约束向量C。8.6.2 并行子空间优化算法及算例在式（8.35）所示的设计优化问题中，式（a）和式（b）代表两个耦合的学科，按照并行子空间优化的思想，原来的设计优化问题