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文档简介
1 二次型 第五章 2 本章讨论把一个n元二次齐次多项式化为仅含有完全平方项的和的形式 并研究有关的性质 3 第一节基本概念 定义 一 二次型及其矩阵 称为一个 n元 二次型 本书只讨论实二次型 即系数全是实数的二次型 4 于是上述二次型可以写成如下求和形式 5 6 记 则上述二次型可以用矩阵形式表示为 A称为二次型的矩阵 7 A的秩称为该二次型的秩 A称为二次型的矩阵 A是一个实对称矩阵 事实上 由一个实对称矩阵也可构造唯一的实二次型 也就是说 实二次型与实对称矩阵是互相唯一确定的 所以 研究二次型的性质可以转化为研究A所具有的性质 8 例1 设二次型 求二次型的矩阵A和二次型的秩 解 所以r A 3 即二次型的秩等于3 9 例2 求二次型 的矩阵A和二次型的秩 解 所以二次型f的矩阵为 10 二 线性变换 在平面解析几何中 为了确定二次方程 所表示的曲线的性态 通常利用转轴公式 11 定义 关系式 记 则上述线性变换可以写成矩阵形式 12 C称为该线性变换的矩阵 如果C为正交矩阵 则此线性变换称为正交变换 容易验证 转轴公式 是一个正交变换 13 三 矩阵的合同关系 由于C是可逆矩阵 所以A和B秩相等 从而两个二次型的秩相等 14 定义 与矩阵的相似关系类似 矩阵之间的合同关系也具有以下性质 1 反身性 2 对称性 3 传递性 证明 只证 3 其
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