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作业1（随机过程的基本概念）1、对于给定的随机过程及实数x，定义随机过程，请将的均值函数和相关函数用的一维和二维分布函数表示。解：x1 x2?2、设，其中随机变量X，Y相互独立且都服从正态分布，证明是正态过程，并求其相关函数。提示：注意到即可证得是正态过程。按照相关函数的定义可得3、设是参数为的Wiener过程，求下列过程的协方差函数自变量：（1），其中A为常数；（2），其中，且与相互独立；（3），其中a为正常数；?（4）提示：Wiener过程就是指Brown运动即正态分布。（1）令，由定义求得 （怎么化简得到的呢？）具体在求的时候，可以先假设，然后再求（下同）。（2）令，由定义求得怎么化简？（3）（4）4、设随机过程，其中，且w为常数，X服从正态分布，求过程的一维分布密度和协方差函数。?提示：容易证明，此即过程的一维分布。由n维正态随机变量的性质，服从二维正态分布。协方差阵等等也容易求。5、设，已知二维随机变量（X，Y）的协防差矩阵为，求的协方差函数。提示：6、设有两个随机过程，为常数，服从上的均匀分布，求。(搞清楚含义)提示：7、设，独立同分布，都服从N(0,1)的随机变量，证明为二阶矩过程，也是正态过程。证明为正态过程的方法！证明为2阶过程的方法！（易证，从略）8、在独立重复试验中，若每次试验时事件A发生的概率都为，记为n次试验为止A发生的次数，证明是独立增量过程.提示：，令，则，且，得证。作业2（Poisson过程）1、设是强度为的Poisson过程，令，其中L0为常数，求的一维分布，均值函数和相关函数。(概念记忆)提示：，从而得到的一维分布（写出分布列即可？）；由，易得相关函数的稍微复杂点，但方法就是求期望，没特别的地方。给出关键步骤，其他自己补齐。 2、设是强度为的Poisson过程，证明对于任意的，证明： (条件概率)？3、通过路口的车流是一个泊松过程，设1分钟内没有车辆通过的概率为0.2，求2分钟内有多于1辆车通过的概率。提示：记表示【0，t】内通过车辆数，则是Poisson过程，4、设在时间t内向电话总机呼叫k次的概率为其中为常数，如果任意两个时间间隔内呼叫次数是相互独立的，求在2t内呼叫n次的概率。解：记A表示时间2t内呼叫n次的事件，记第一时间间隔内呼叫为，第二时间间隔内，于是（真的必须这么去写过程？后面的求和过程是怎样的呢？）5、设随机变量X，Y相互独立，并分别服从参数为的泊松分布，证明证明：如何计算的？6、设是强度为的Poisson过程，证明证明：拆开的目的是为了形成独立的变量！综上，结论成立。？7、设是复合Poisson过程，且服从(1000,2000)内的均匀分布，求X(t)的均值函数，方差函数和特征函数。？解：，其特征函数是作业3（更新过程）1、 设是独立同分布的非负随机变量序列，且，以为更新时间间隔的更新过程，求以及更新函数。解：设时间间隔服从几何分布，相当于在Bernoulli试验中第i次试验取得成功，更新时刻相当于在Bernoulli试验中第k次试验取得第n次成功，即所以？2、 某控制器用一节电池供电，电池失效时立即更换同型号新电池，设电池寿命服从（30,60）（单位：h）内的均匀分布，求（1） 长时间工作时，控制器更换电池的速率；（2） 若更换电池的时间服从（0,1）（单位：h）内的均匀分布，求长时间工作的情况下，控制器更换电池的速率。解：设N(t)表示在0,t内失效的电池数量，则在长时间工作的情况下，电池更新的速率为而所以3、 设是更新过程，更新间距的概率密度函数是求。提示：利用递推的方法，可求得4 、设是更新过程，更新间距，是它的更新函数，求。提示：由于更新函数和更新过程唯一确定，于是由是它的更新函数，可知该更新过程为Possion过程。从而更新间距相互独立同参数为的指数分布那么作业4（Markov过程）一、计算题1、设是齐次Markov链，其状态空间，一步转移概率为矩阵为设初始分布为求（1）； （2）。提示：（1）对于（2）当然也可以通过求一步转移概率矩阵的平方，然后找到对应元素求得。（1/18）2、考虑一个质点在直线上作随机游动，如果在某一个时刻质点位于状态，则下一步将以概率向前移动到达，或以向后移动到达，以表示n时刻质点的位置，且在0时刻从原点出发，则显然是一个Markov链。求 （1）写出状态空间E；（2）求一步转移概率矩阵；（3）求n步转移概率矩阵。提示：（1） E=所有整数（2）(3)每次游动只有两种可能，向前概率为p，向后概率为q，n次移动的结果是由i到j，若在n次游动中向前次，向后次，则3、设齐次Markov链的状态空间是，状态转移矩阵为（1）对状态空间进行分解；（2）求平稳分布。提示：仿照教材中的例题来做。平稳分布，其中4、设齐次Markov链的状态空间是，状态转移矩阵为其中，问该Markov链是否为遍历链，为什么？若是，求极限分布。解：由于每个元素都大于 0，从而该Markov链是遍历链，于是极限分布就是平稳分布，设平稳分布为，求解方程组可得5、设Markov链的状态空间是，转移概率矩阵为 其中，证明状态1为常返状态。？解（首达概率）所以状态1为常返状态。6、某厂的商品销售状态可分为三个：分别用1，2，3表示滞销、正常和畅销，经过对历史资料的整理分析，其销售状态的变化与初始时刻无关，状态转移概率矩阵为试对经过长时间后的销售状况进行分析。解：由一步转移概率矩阵可知状态互通，且，所以所有状态都是遍历状态，于是极限分布为平稳分布，设平稳分布为，求解方程组可得即极限分布为二、证明题1、设为相互独立的随机变量，证明（1）是Markov链；（2）是Markov链。（课堂讲过，答案略。）2、设某人有r把伞，分别放在家里和办公室里。如果他出门遇到下雨（概率为），手边也有伞，他就带一把用，如果天晴他就不带伞，证明长时间后，此人遇到下雨手边却无伞可用的概率。提示：令状态为此人身边所有的伞数，约定，则转移概率为，则易知状态空间中各状态互通，且为遍历链，于是极限分布就是平稳分布。3、设Markov链的状态空间是，转移概率为证明（1）Markov链是常返的不可约的；（2）Markov链是零常返的充分必要条件是；（3）Markov链