利用MATHCAD解决矩阵计算及相关应用问题.doc

利用MATHCAD解决矩阵计算及相关应用问题学院：理学院班级：数学093班姓名：马东学号：2009031045利用MATHCAD解决矩阵计算及相关应用问题摘要：Mathcad是一款工程计算软件，作为工程计算的全球标准，与专有的计算工具和电子表格不同，Mathcad 允许利用详尽的应用数学函数和动态、可感知单位的计算来同时设计和记录工程计算，我们利用Mathcad数学软件的功能来计算矩阵的相关问题。关键词：Mathcad；矩阵的计算。一、 基础知识Mathcad数学软件是一套专门进行数学计算的软件，它的主要功能有：1、 数值计算：可简单的计算函数值，矩阵的加、减、乘的运算；2、 符号演算：可计算函数的极限。3、 作函数图象：可作图程序，当输入函数时，计算机可直接作出该函数的图像。在数学中引进Mathcad软件进行辅助数学，可以分担数学思维任务，使我们能更好的了解数学中较难的问题，提高我们的思维。二、 矩阵的定义 由数域P中m*n个数（i=1,2,3,，m;j=1,2,3,n）排成的m行n列的矩阵数表 称为P上的m行n列矩阵，简称m*n矩阵。这个m*n个数称为矩阵A的元素，其中表示矩阵A的第i行第j列元素。元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。三、矩阵的计算1、矩阵的加法：（1）定义：设有两个m*n矩阵，那么m*n矩阵称为矩阵A与B的和，记住C=A+B。应该注意，只有当两个矩阵是同行矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算。（2）运算规律（设A,S,C,O为同行矩阵）交换律：A+B=B+A结合律：(A+B)+C=A+(B+C)存在零元：A+0=A存在负元：A+(-A)=（-A）+A=O1*A=A例1、已知矩阵求2*A+3*B。解：例2、设矩阵计算3*A-2*B。解：2、矩阵的乘法：（1）定义：设 构作一个m*n矩阵，其中（i=1,2,m;j=1,2，n）那么，矩阵C称为矩阵A与矩阵B的乘积，记作C=AB。注意：a、只有当左边的矩阵的列数等于右边矩阵的行数时，两个矩阵才可以相乘。b、矩阵乘积的行矩阵决定于左矩阵的行矩阵。c、矩阵乘积的列矩阵决定于右矩阵的列矩阵。（2）、运算规律：结合律：（AB）C=A（BC）数与矩阵乘法的结合律：a（AB）=（aA）B=A（aB）左分配律：A(B+C)=AB+AC右分配律：(B+C)A=BA+CA注意：矩阵的乘法与通常数的乘法有很大区别，特别应注意的是：（1）、矩阵的乘法不满足交换律，一般来说即便AB有意义，BA也未必有意义；即使AB，BA都有意义，二者也未必相等。（2）、两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵，即AB=0未必能推出A=0或B=0。（3）、消去律不成立；如果AB=AC并且A不等于0，未必有B=C。例3、求矩阵的乘积AB。解：例4、设矩阵的乘积AB。解：三、 矩阵的转置定义：设矩阵A是一个m*n矩阵，构作一个n*m的矩阵，使它的第i行第j列元素是A的第j行第i列的元素（i=1,2,3,，n;j=1,2,3,，m）,那么这个矩阵就称为A的转置矩阵，记作。注：a、由m*n矩阵变成n*m矩阵。b、行变成对应的列。例5、已知求 。解：四、矩阵的逆及逆矩阵定理1、定义：设A为n阶矩阵，如果存在n阶矩阵B，使得AB=BA=I成立，那么矩阵A称为可逆矩阵，并且矩阵B称为A的逆矩阵，简称为矩阵A的逆。如果A的逆矩阵不存在，那么A称为不可逆矩阵。注意：如果矩阵A是可逆的，那么A的逆矩阵是唯一的。2、逆矩阵的求法：（1）待定系数法（2）伴随矩阵法（3）初等变换法3、（逆矩阵定理）设A为n阶矩阵，那么下列各命题等价：（1）、A是可逆矩阵；（2）、齐次线性方程组Ax=0只有零解；（3）、A可以经过有限次初等行变换化为I；（4）、A可表示为有限个初等矩阵的乘积；（5）、若AB,BA是可逆矩阵，则A也是可逆矩阵。例6、设矩阵，求矩阵A的逆矩阵。解：五、特殊矩阵1、零矩阵：元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作O。（注意：不同型的零矩阵是不同的，同型的零矩阵相等）。2、n阶矩阵：行数和列数相同的矩阵称为n阶矩阵（或称为n阶方阵）。（注意：一个n阶矩阵的左上角与右上角之间的连线称为它的主对角线）。3、单位矩阵：4、三角形矩阵：主对角线下方的元素全为零的矩阵称为上三角形矩阵；类似地，主对角线上方的元素全为零的矩阵称为下三角形矩阵。5、对角矩阵：只有主对角线上才有可能有非零元素（其余位置上的元素全为零）的矩阵称为对角矩阵。6、对称矩阵：n阶方阵A若满足条件：，则称A为对称矩阵。性质：（1）、两个同阶（反）对称矩阵的和，仍为（反）对称矩阵。（2）、如果两个同阶（反）对称矩阵A，B可交换，即AB=BA，则它们的乘积AB必为对称矩阵。六、矩阵的秩1、定义：设在矩阵A中有一个不等于零的r阶子式D，且所有r+1阶子式（如果存在的话）全等于零，那么D称为A的最高阶非零子式，数r称为矩阵的秩，记作R（A）。并规定零矩阵的秩等于零。（即不等于零的子式的最大阶数叫做矩阵的秩）注意：对于任意矩阵A，R（A）是唯一确定的，但其最高阶非零子式不一定是唯一的。2、求矩阵的秩的方法：用初等行变换把矩阵化为行阶梯行矩阵，行阶梯行矩阵中非零行的行数就是该矩阵的秩。例7、求矩阵B的秩，其中 解：B是一个行阶梯行矩阵，其非零行有3行，即知B的所有4阶子式全为零，而以三个非零行的左边第一个非零元素为对角线元素的3阶行列式的值为2*3*4=24，因此R（B）=3.七、矩阵等价及其应用定理1：如果矩阵A经过有限次行（列）初等变换变到矩阵B，那么A的行（列）向量所成的向量组与B的行（列）向量所成的向量组等价。定理2：如果矩阵A经过有限次行（列）初等变换变到矩阵B，则B的任意k个列（行）向量所成的向量组与A的对应的k个列（行）向量所成的向量组有相同的线性关系。定理3：设A，B是数域F上n阶方阵，则A与B等价的充分必要条件是 R(A)=R(B).定理4：设A，B是数域F上n阶矩阵，则A与B等价的充分必要条件是存在n阶可逆矩阵P,Q，使PAQ=B。总结：通过以上利用MathCad数学软件解决矩阵问题，能把某些问题简单化，明了化，这充分说明了MathCad数学软件强大的数学功能在数学中有广泛的应用。利用MathCad数学软件能解决一些数学问题有不可替代的优越性