[研究生入学考试]1-4章习题选讲习题答案

湘潭大学数学与计算科学学院,1,概率论与数理统计习题,湘潭大学编教材,湘潭大学数学与计算科学学院,2,第一章 随机事件及概率,湘潭大学数学与计算科学学院,3,P23习题1.3 试证,证明：由概率的加法公式得任意的两个事件A,B有,故有,湘潭大学数学与计算科学学院,4,P23习题1.7 在区间(0,1)中随机地抽取两个数，求事件“两数之和小于6/5”的概率。,解：用x,y分别表示从(0,1)中取出的2个数，,则样本空间为正方形：,如图所示，K为区域：,K,所以由几何概率得:,x+y=6/5,湘潭大学数学与计算科学学院,5,解：设A=第一次取得红球，B=第二次取得红球,P23习题1.9 袋中有10个球，其中8个红球，2个白球，现从中任取两次，每次一球，作不放回抽样，求下列事件的概率： (1) 两次都取红球； (2) 两次中一次取得红球，另一次取得白球； (3) 至少一次取得白球； (4) 第二次取得白球。,湘潭大学数学与计算科学学院,6,解 (1) P(AB)=P(A)P(B|A),湘潭大学数学与计算科学学院,7,解：设A=甲译出密码,B =乙译出密码,P(A)=1/5,P(B)=1/3,P(C)=1/4,则A,B,C相互独立，且,C=丙译出密码.,则此密码被译出的概率为,P23习题1.10 甲、乙、丙三人独立地翻译一个密码，他们译出的概率分别是1/5，1/3，1/4，试求此密码被译出的概率。,湘潭大学数学与计算科学学院,8,P23习题1.11 玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率相应为0.8，0.1和0.1，一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时时，售货员随意取一箱，而顾客随机地查看4只，若无残次品，则购买下该箱玻璃杯,否则退回，求：(1) 顾客买下该箱的概率； (2) 在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率。,湘潭大学数学与计算科学学院,9,解 (1)设Ai一箱玻璃杯中含有i个残次品,i=0,1,2;,B=从一箱玻璃杯中任取4只无残次品,由题设可知,P(A0)=0.8, P(A1)=0.1, P(A2)=0.1.,根据全概率公式得,湘潭大学数学与计算科学学院,10,P23习题1.12 设8支枪中有3支未经试射校正， 5支已经试射校正，一射手用校正的枪射击时，中靶概率为0.8，而用未校正过的枪射击时，中靶概率为0.3，现假定从8支枪中任取一支进行射击，结果中靶，求所用的枪是已校正过的概率。,湘潭大学数学与计算科学学院,11,解 设A经过校正的枪,C=射击中靶,由题设可知,P(A)=5/8, P(B)=3/8, P(C|A)=0.8, P(C|B)=0.3.,根据全概率公式得,B未经校正的枪,湘潭大学数学与计算科学学院,12,P23习题1.13 对飞机进行3次独立射击, 第1次射击的命中率为0.4、第2次为0.5、第3次为0.7. 飞机被击中1次而坠落的概率为0.2,被击中2次而坠落的概率为0.6, 若被击中3次飞机必坠落,求射击3次使飞机坠落的概率.,设B=飞机坠落，Ai=飞机被击中i次, i=1,2,3,由全概率公式,则 B=A1B+A2B+A3B,解:,依题意，,P(B|A1)=0.2, P(B|A2)=0.6, P(B|A3)=1,P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2) + P(A3)P(B |A3),湘潭大学数学与计算科学学院,13,可求得:,为求P(Ai ) ,将数据代入计算得:,设 Hi=飞机被第i次射击击中, i=1,2,3,P(A1)=0.36;P(A2)=0.41;P(A3)=0.14.,湘潭大学数学与计算科学学院,14,于是,=0.458,=0.360.2+0.41 0.6+0.14 1,即飞机坠落的概率为0.458.,P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B |A3),湘潭大学数学与计算科学学院,15,P24习题1.14 某人每次射击的命中率为0.6，独立射击5次，求：（1）击中3次的概率；（2）至少有1次未击中的概率.,解:（1),(2) 考虑至少有1次未击中的对立事件，,即每次都击中，其概率为：,故至少有1次未击中的概率为,湘潭大学数学与计算科学学院,16,P24习题1.15 某车间有12台车床，由于工艺上的原因，时常发生故障，设每台车床在任一时刻出故障的概率为0.3，且各台车床的工作是相互独立的，计算在任一指定时刻有3台以上车床发生故障的概率.,解：设A=任一指定时刻有3台以上车床发生故障,又因为,湘潭大学数学与计算科学学院,17,有0台车床发生故障的概率为,有1台车床发生故障的概率为,有2台车床发生故障的概率为,故,湘潭大学数学与计算科学学院,18,P24习题1.16 若1人负责维修同类型的设备20台，设各台设备的工作是相互独立的，在一天内发生故障的概率都是0.01，维修用不了多长时间，求设备发生故障而不能得到及时处理的概率，若3人共同负责维修80台呢？,湘潭大学数学与计算科学学院,19,解: (1) 设A=设备发生故障而不能得到及时处理,故,湘潭大学数学与计算科学学院,20,解: (2) 设A=设备发生故障而不能得到及时处理,故,湘潭大学数学与计算科学学院,21,第二章 随机变量及其分布,湘潭大学数学与计算科学学院,22,P43习题2.3 一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号显示的概率为1/2。以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口数，求X的概率分布与E1/(1+X)。,湘潭大学数学与计算科学学院,23,解: X的取值为0,1, 2, 3,PX=0=1/2,X的概率分布为,(2) E1/(X+1)=11/2+1/21/4+1/31/8+1/41/8,=67/96,PX=1=1/21/2=1/4,PX=2=1/21/21/2=1/8,PX=3=1/21/21/2=1/8,湘潭大学数学与计算科学学院,24,P44习题2.8 设连续型随机变量X的分布函数为,求:(1)A; (2)P0.3X0.7; (3)X的概率密度f(x),解:(1)F(x)在x=1点连续,由右连续性得:,即:,所以,A=1,(2)P(0.3X0.7)=F(0.7)-F(0.3)=,0.72-0.32=0.4,PX=1=F(1)F(10)= 1A =0,湘潭大学数学与计算科学学院,25,0， x02x， 0x3,则P(A)=PX3=,2/3,设Y表示三次独立观测中A出现的次数,则YB(3,2/3),湘潭大学数学与计算科学学院,27,所求为,PY=2+PY=3,=20/27,设Y表示三次独立观测中A出现的次数,则YB(3,2/3),PY2=,湘潭大学数学与计算科学学院,28,内任一子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比.,P44习题2.17 设随机变量X的绝对值不大于1 ；,在事件-1X1出现的条件下， X在(-1,1),试求:,(2) X取负值的概率P,(1)X的分布函数F(x),解 (1),(2),湘潭大学数学与计算科学学院,29,F(x)的三性质都不满足,单调减,右不连续,未定义,湘潭大学数学与计算科学学院,30,分布函数F(x)三性质,湘潭大学数学与计算科学学院,31,解,由题设知,设,于是,(1) 当,当,当,上式中令 得,推导较复杂先做准备工作.,湘潭大学数学与计算科学学院,32,又,于是当 时，,湘潭大学数学与计算科学学院,33,(2),湘潭大学数学与计算科学学院,34,由题设 得,附 k 的另一求法,湘潭大学数学与计算科学学院,35,P45习题2.18 设XB(2,0.3),求下列随机变量的分布律 1、Y1=X2 2、Y2= X2-2X 3、Y3=3X-X2,解：X的概率分布为PX=k= 0.3k0.72-k k=0,1,2 列表如下：,湘潭大学数学与计算科学学院,36,则有Y1 ，Y2 ，Y3的分布律分别为,湘潭大学数学与计算科学学院,37,P45习题2.19 设随机变量X的概率密度函数为,求随机变量Y=X2的概率密度函数。,解：先求Y的分布函数FY(y)=PY y=PX2 y,当y0时,湘潭大学数学与计算科学学院,47,P73习题3.10 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为, 求随机变量X的密度函数； 求概率PX+Y1.,解:(2),y=x,x+y=1,1/2,湘潭大学数学与计算科学学院,48,P73习题3.13 设(X,Y)的联合概率密度为,求Z=X2+Y2的概率密度。,湘潭大学数学与计算科学学院,49,解,湘潭大学数学与计算科学学院,50,P73习题3.16 设(X,Y)的联合概率密度为,求： (1) P(X0的指数分布，当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作。试求电路正常工作的时间T的概率分布。,解：三个元件都无故障工作时间分别为X,Y,Z,则,T=min(X,Y,Z),且X,Y,Z的概率密度都为,湘潭大学数学与计算科学学院,61,则,故T服从参数为30的指数分布,即概率密度为,湘潭大学数学与计算科学学院,62,第四章 随机变量的数字特征,湘潭大学数学与计算科学学院,63,解：,P89习题4.1 甲乙两队比赛，若有一队先胜四场，则比赛结束。假定甲队在每场比赛中获胜的概率为0.6，乙队为0.4，求比赛场数的数学期望。,(场),湘潭大学数学与计算科学学院,64,求,解,P90习题4.6 已知,X的密度函数为,则,湘潭大学数学与计算科学学院,65,P91习题4.12 设X与Y相互独立，且,解：,求,湘潭大学数学与计算科学学院,66,P91习题4.14 设在国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量X(吨)，它在2000,4000上服从均匀分布，又设每售出这种商品一吨，可为国家挣得外汇3万元，但假如销售不出而囤积在仓库，则每吨需浪费保养费1万元。问需要组织多少货源，才能使国家收益最大。,湘潭大学数学与计算科学学院,67,下面求EZ，并求使EZ达到最大的y值，,解：设y为预备出口的该商品的数量，这个数量可只介于2000与4000之间，用Z表示国家的收益（万元）,湘潭大学数学与计算科学学院,68,即组织3500吨此种商品是最佳的决策。,湘潭大学数学与计算科学学院,69,补充习题 设工厂生产的设备的寿命X（单位：年）的概率密度为,按规定，已出售设备在一年内损坏可以包换.若工厂售出一台设备盈利100元，调换一台设备厂方需花费300元. 求一台设备的平均寿命 求厂方售出一台设备净赢利的期望值.,湘潭大学数学与计算科学学院,70,解: 一台设备的平均寿命为EX=4年, 厂方售出一台设备净赢利为随机变量Y，则,故,p+q=1,湘潭大学数学与计算科学学院,71,例(08) 设随机变量,且,考查：相关系数的性质：,存在a,b,使,以及正